2019九年级数学上册 专题突破讲练 圆中辅助线添加技巧试题 (新版)青岛版

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2019九年级数学上册 专题突破讲练 圆中辅助线添加技巧试题 (新版)青岛版

圆中辅助线添加技巧 ‎1. 辅助线方法:连半径、作垂直、构造直角三角形。‎ 说明:此方法多用于求半径或弦长,利用勾股定理求长度。‎ 方法依据:(垂径定理)‎ 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。‎ ‎2. 辅助线方法:连中点 说明:在圆中如果出现弦的中点或弧的中点,连接圆心和中点的线段。‎ 方法依据:(垂径定理推论)‎ ‎①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。‎ ‎②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。‎ ‎3. 与切线有关的辅助线作法: ‎ ‎(1)点已知,连半径,证垂直 说明:当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径,然后证明直线垂直于这条半径。 ‎ ‎(2)点未知,作垂直,证半径 说明:当直线和圆的公共点没有明确时,过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离(d)等于半径(r)。‎ ‎(3)见切线,连半径,得垂直 说明:有圆的切线时,常常连接圆心和切点得切线垂直半径。‎ 方法依据:切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。‎ 例题1 ⊙O的弦AB、CD相交于点P,且AC=BD。求证:PO平分∠APD。‎ 解析:由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD,进一步得出弧AB等于弧CD 14‎ ‎,从而可证等弦AB=CD,由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦,因此可作辅助线OE⊥AB,OF⊥CD,易证△OPE≌△OPF,得出PO平分∠APD。‎ 答案:证明:作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F ‎∵AC=BD ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴AB=CD ‎∴‎ ‎∴∠OPE=∠OPF ‎ ‎∴ PO平分∠APD.‎ 点拨:在解决与弦、弧有关的问题时,常常需要作出弦心距、半径等辅助线,以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。‎ 例题2(鞍山一模)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以AC为直径作圆O,与BC交于点E,过点E作ED⊥AB,垂足为点D。‎ 求证:DE为⊙O的切线。‎ 解析:连接OE,根据等边对等角,由AB=AC得到∠B=∠C,再由半径OC与OE相等得到∠C=∠CEO,利用等量代换得到∠B=∠CEO,由同位角相等两直线平行,得到AB与EO平行,再根据两直线平行内错角相等,由角BDE为直角得到角DEO为直角,又OE为圆O的半径,根据切线的判断方法得到DE为⊙O的切线。‎ 答案:证明:连接OE,‎ ‎∵AB=AC,∴∠B=∠C 14‎ ‎∵OC=OE,∴∠C=∠CEO, ‎ ‎∴∠B=∠CEO,∴AB∥EO,‎ ‎∵DE⊥AB,∴EO⊥DE,‎ ‎∵EO是圆O的半径,‎ ‎∴D为⊙O的切线。 ‎ 点拨:证明切线的方法有两种:有连接圆心与这点,证明夹角为直角;无点作垂线,证明垂线段长等于半径。此题属于前一种情况。‎ ‎【思路点拨】‎ 几何证明中添加辅助线,其作用主要在于沟通“条件”和“结论”。具体来说,就是把分散的条件集中。使隐蔽的条件显露。将复杂的问题化简,为推证创造条件,促成问题的最终解决。‎ 圆中的辅助线的画法比较多,具体的题应该选用怎样的辅助线,关键还是要充分地顺推已知和逆推求证,配合恰当的辅助线找到已知和求证的衔接点。‎ 例题 (合山市模拟)如图,大半圆O与小半圆O1相切于点C,大半圆的弦AB与小半圆相切于点F,且AB∥CD,AB=‎6cm,CD=‎12cm,则图中阴影部分的面积是(  )cm2‎ A. B. C. D. ‎ 解析:将⊙O1移动到O1与O重合,则F和F′重合,连接OB,得出阴影部分的面积是:S=(π×OB2-π×OF′2)-(S扇形AOB-S三角形AOB),求出OF′⊥AB,由垂径定理求出AF′=BF′=‎3cm,代入即可得出答案。‎ 答案:‎ 解:将⊙O1移动到O1与O重合,则F和F′重合,连接OB,AO,‎ ‎∵AB∥CD,AB=‎6cm,CD=‎12cm,AB切⊙O1于F,‎ ‎∴O‎1F⊥AB,‎ ‎∴OF′⊥AB,‎ ‎∴由垂径定理得:AF′=BF′=‎3cm,‎ 在Rt△BOF′中,BF′=‎3cm,BO=CD=‎6cm,‎ 即BF′=OB,‎ ‎∵∠BOF′=30°,由勾股定理得:OF′= cm,‎ 同理∠AOF′=30°,‎ ‎∴∠AOB=60°,‎ ‎∴阴影部分的面积是S=(π×OB2-π×OF′2)-(S扇形AOB-S△AOB)‎ 14‎ ‎=π×(OB2-OF′2)- +×6×‎ ‎=π×BF′2-6π+9‎ ‎=π×9-6π+9 ‎ ‎=(9-π)cm2。‎ 故选A。‎ 点拨:本题考查了勾股定理,垂径定理,切线性质等知识点,解此题关键是得出阴影部分的面积S=(π×OB2-π×OF′2)-(S扇形AOB-S三角形AOB)=π×BF′2-(S扇形AOB-S三角形AOB),题目的综合性较强。‎ ‎(答题时间:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1. (毕节地区)如图,已知⊙O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是(  )‎ A. 6 B. ‎5 ‎C. 4 D. 3‎ ‎2. (娄底)如图,⊙O1、⊙O2相交于A、B两点,两圆半径分别为‎6cm和‎8cm,两圆的连心线O1O2的长为‎10cm,则弦AB的长为(  )‎ A. ‎4.8‎cm‎ B. ‎9.6cm C. ‎5.6cm D. ‎‎9.4cm ‎3. (内江)如图,半圆O的直径AB=‎10cm,弦AC=‎6cm,AD平分∠BAC,则AD的长为(  )‎ A. cm B. cm C. cm D. ‎‎4cm 14‎ ‎**4. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,⊙O为△ABC的外接圆,AC=‎6cm,BC=‎8cm,P为BC的中点。动点Q从点P出发,沿射线PC方向以‎2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆。设点Q运动的时间为t s。若⊙P与⊙O相切,则t的值是(  )‎ A. t=1 B. t=‎3 ‎C. t=2或t=3 D. t=1或t=4‎ ‎**5.(日照三模)如图,AB是半圆的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则=(  )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎6. (南京)如图,在⊙O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接BC,若AB=‎2‎cm,∠BCD=22°30′,则⊙O的半径为   cm。‎ ‎7. (自贡)一个边长为‎4cm的等边三角形ABC与⊙O等高,如图放置,⊙O与BC相切于点C,⊙O与AC相交于点E,则CE的长为   cm。‎ ‎*8. (高淳县一模)如图,半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P,过O1作⊙O2的两条切线,切点分别为A、B,与⊙O1分别交于C、D,则弧APB与弧CPD的长度之和为   。‎ 14‎ ‎**9. (温州)如图,在矩形ABCD中,AD=8,E是边AB上一点,且AE= AB。⊙O经过点E,与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线交于另一点F,且EG︰EF=︰2。当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时,AB的长是   。‎ 三、解答题 ‎10. (宜宾)已知:在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于点G,交⊙O于H。‎ ‎(1)求证:AC丄BH;‎ ‎(2)若∠ABC=45°,⊙O的直径等于10,BD=8,求CE的长。‎ ‎*11. (浦东新区二模)已知:如图,∠PAQ=30°,在边AP上顺次截取AB=‎3cm,BC=‎10cm,以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点,求:‎ ‎(1)圆心O到AQ的距离;‎ ‎(2)线段EF的长。‎ 14‎ ‎**12. (上海)如图1,已知在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8,cosB= ,点P是边BC上的动点,以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F(点F在点E的右侧),射线CE与射线BA交于点G。‎ ‎(1)当圆C经过点A时,求CP的长;‎ ‎(2)连接AP,当AP∥CG时,求弦EF的长;‎ ‎(3)当△AGE是等腰三角形时,求圆C的半径长。‎ 14‎ 一、‎ ‎1. B 解:过O作OC⊥AB于C,‎ ‎∴AC=BC= AB=12,‎ 在Rt△AOC中,由勾股定理得:OC= =5。‎ 故选B。‎ ‎2. B 解:连接AO1,AO2。‎ ‎∵⊙O1,⊙O2相交于A、B两点,两圆半径分别为‎6cm和‎8cm,两圆的连心线O1O2的长为‎10cm,‎ ‎∴O1O2⊥AB,‎ ‎∴AC= AB,‎ 设O‎1C=x,则O‎2C=10-x,‎ ‎∴62-x2=82-(10-x)2,‎ 解得:x=3.6,‎ ‎∴AC2=62-x2=36-3.62=23.04,‎ ‎∴AC=‎4.8cm,‎ ‎∴弦AB的长为‎9.6cm。‎ 故选B。‎ ‎3. A 解:连接OD,OC,作DE⊥AB于E,OF⊥AC于F,‎ ‎∵∠CAD=∠BAD(角平分线的性质),‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD,‎ ‎∴△AOF≌△ODE,‎ ‎∴OE=AF= AC=3(cm),‎ 在Rt△DOE中,DE= =4(cm),‎ 14‎ 在Rt△ADE中,AD= =4(cm)。‎ ‎ 故选A。‎ ‎4. D 解:作直线OP交⊙O于M和N,‎ 根据相切两圆的连心线过切点可得M、N为切点,‎ ‎①如图1,‎ ‎∵∠ACB=90°,AC=‎6cm,BC=‎8cm,由勾股定理得:AB=‎10cm,‎ 即⊙O的半径是‎5cm,‎ ‎∵O为AB中点,P为BC中点,‎ ‎∴OP= AC=‎3cm,‎ ‎∴PM=OM-OP=‎5cm-‎3cm=‎2cm,‎ 即PQ=2;时间t=2÷2=1(s);‎ ‎②如图2,‎ PN=ON+OP=‎5cm+‎3cm=‎8cm,‎ PQ=PN=‎8cm,‎ 时间t=8÷2=4(s)。‎ 故选D。‎ ‎5. D 解:连接OE、BC,OE与AC交于点M。‎ ‎∵E为弧AC的中点,‎ 易证OE⊥AC,‎ ‎∵∠C=90°,∠AOE=45°,‎ ‎∴OE∥BC,‎ ‎ 设OM=1,则AM=1,‎ ‎∴AC=BC=2,OA=,‎ ‎∴OE=,‎ ‎∴EM=-1,‎ ‎∵OE∥BC,‎ 14‎ ‎∴。‎ 故选D。‎ 二、‎ ‎6. 2 解:连接OB,如图,‎ ‎∵∠BCD=22°30′,‎ ‎∴∠BOD=2∠BCD=45°,‎ ‎∵AB⊥CD,‎ ‎∴BE=AE= AB=×2 =,△BOE为等腰直角三角形,‎ ‎∴OB=BE=2(cm)。‎ ‎7. 3 解:连接OC,并过点O作OF⊥CE于F,‎ 且△ABC为等边三角形,边长为4,‎ 故高为2,即OC=,‎ 又∠ACB=60°,故有∠OCF=30°,‎ 在Rt△OFC中,可得FC=OC•cos30°=,‎ OF过圆心,且OF⊥CE,根据垂径定理易知CE=2FC=3。‎ ‎8. 2π 解:连接O1O2、O‎2A、O2B ‎∵O‎1A是切线,∴O‎2A⊥O‎1A,‎ 又∵O1O2=2O‎2A,∴∠AO1O2=30°,‎ ‎∴∠AO1B=60°,∠AO2B=120°,‎ CPD的弧长=,‎ 14‎ APB的弧长=‎ ‎∴APB与CPD的弧长之和为2π。‎ ‎9. 12或4 边AB所在的直线不会与⊙O相切;边BC所在的直线与⊙O相切时,‎ 如图,过点G作GN⊥AB,垂足为N,‎ ‎∴EN=NF,‎ 又∵EG︰EF=︰2,‎ ‎∴EG︰EN=︰1,‎ 又∵GN=AD=8,‎ ‎∴设EN=x,则,根据勾股定理得:‎ ‎,解得:x=4,GE=,‎ 设⊙O的半径为r,由OE2=EN2+ON2‎ 得:r2=16+(8-r)2,‎ ‎∴r=5。∴OK=NB=5,‎ ‎∴EB=9,‎ 又AE= AB,‎ ‎∴AB=12。‎ 同理,当边AD所在的直线与⊙O相切时,AB=4。‎ 三、‎ ‎10. (1)证明:连接AD,‎ ‎∵∠DAC=∠DEC,∠EBC=∠DEC,‎ 14‎ ‎∴∠DAC=∠EBC,‎ ‎∵AC是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADC=90°,‎ ‎∴∠DCA+∠DAC=90°,‎ ‎∴∠EBC+∠DCA=90°,‎ ‎∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°,‎ ‎∴AC⊥BH。‎ ‎(2)解:∵∠BDA=180°-∠ADC=90°,∠ABC=45°,‎ ‎∴∠BAD=45°,‎ ‎∴BD=AD,‎ ‎∵BD=8,∴AD=8,‎ 在直角三角形ADC中,AD=8,AC=10,‎ 根据勾股定理得:DC=6,则BC=BD+DC=14,‎ ‎∵∠EBC=∠DEC,∠BCE=∠ECD,‎ ‎∴△BCE∽△ECD,‎ ‎∴,即CE2=BC•CD=14×6=84,‎ ‎∴CE= =2。‎ ‎11. 解:(1)过点O作OH⊥EF,垂足为点H,‎ ‎∵OH⊥EF,‎ ‎∴∠AHO=90°,‎ 在Rt△AOH中,∵∠AHO=90°,∠PAQ=30°,‎ ‎∴OH= AO,‎ ‎∵BC=‎10cm,‎ ‎∴BO=‎5cm。‎ ‎∵AO=AB+BO,AB=‎3cm,‎ ‎∴AO=3+5=‎8cm,‎ ‎∴OH=‎4cm,即圆心O到AQ的距离为‎4cm。‎ ‎(2)连接OE,‎ 在Rt△EOH中,‎ 14‎ ‎∵∠EHO=90°,∴EH2+HO2=EO2,‎ ‎∵EO=‎5cm,OH=‎4cm,‎ ‎∴EH= =‎3cm,‎ ‎∵OH过圆心O,OH⊥EF,‎ ‎∴EF=2EH=‎6cm。‎ ‎12. 解:(1)如图1,设⊙O的半径为r,‎ 当点A在⊙C上时,点E和点A重合,过点A作AH⊥BC于H,‎ ‎∴BH=AB•cosB=4,‎ ‎∴AH=3,CH=4,‎ ‎∴AC= =5,‎ ‎∴此时CP=r=5。‎ ‎(2)如图2,若AP∥CE,APCE为平行四边形,‎ ‎∵CE=CP,‎ ‎∴四边形APCE是菱形,‎ 连接AC、EP,则AC⊥EP,‎ ‎∴AM=CM=,‎ 由(1)知,AB=AC,则∠ACB=∠B,‎ ‎∴CP=CE=,‎ ‎∴EF=。‎ ‎(3)如图3:过点C作CN⊥AD于点N,‎ 14‎ ‎∵cosB=,‎ ‎∴∠B<45°,‎ ‎∵∠BCG<90°,‎ ‎∴∠BGC>45°,‎ ‎∴∠BGC>∠B=∠GAE,即∠BGC≠∠GAE,‎ 又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE,‎ ‎∴当∠AEG=∠GAE时,A、E、G重合,则△AGE不存在。‎ 即∠AEG≠∠GAE ‎∴只能∠AGE=∠AEG,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴△GAE∽△GBC,‎ ‎∴,即,‎ 解得:AE=3,EN=AN-AE=1,‎ ‎∴CE=。‎ ‎∴圆C的半径为。‎ 14‎
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