2018年达利教育卓越奖初中学科竞赛高一数学参考答案

2018年达利教育卓越奖初中学科竞赛高一数学参考答案

‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛 高一数学试题参考答案 试卷总分：100分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线段，垂足分别为，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 答案A. ‎ 解析：设则，所以.‎ ‎2．在边长为1的正方体中，异面直线与间的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案B.‎ 解析：，则异面直线与间的距离转化为与之间的距离，转化为点到的距离。‎ 利用等体积法，易得.‎ ‎3．方程的实数解为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案A.‎ 解析：，考虑，‎ 又,所以取等条件为 ‎4．如图，在中，点为边上的一点，且.过点的直线分别交直线于不同的两点.若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案C.‎ 解析：，‎ 由三点共线，则 7‎ ‎5．若对所有正数不等式都成立，则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案D.‎ 解析：依题由则.‎ ‎6．设参数，若动直线，则在平面内所围成的封闭区域面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案C.‎ 解析：原点到直线的距离，则动直线表示单位圆的所有切线，因此围城区域面积即为单位圆面积，故为 ‎7．已知上一点,分别是圆与 圆上的点,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案C.‎ 解析：由，，‎ 则.‎ 求点关于直线的对称点为，‎ 则 ‎ 当且仅当三点共线时，取得最大值为5‎ ‎8．一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，且，则的最小值为( )‎ A. B. C. 1 D. ‎ 答案D 解析：设内切球的半径为，过球心作轴截面如图. ‎ 则圆柱的底面半径为，高为，‎ 设圆锥的底面半径为，高为，则，‎ 由，则 ‎,故，‎ 7‎ 其中，当取等. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎9．设是定义在上的函数，对任意的，都有≤，‎ ‎≥，如果，则的值为 .‎ 答案2019.‎ 解析：；‎ 则，取等条件为，.‎ 故,则.‎ ‎10．设常数使得方程在平面直角坐标系中表示两条 相交直线，交点为. 若点，分别在这两条直线上，且，则 ‎ .‎ 答案 解析：原方程因式分解为：，则.‎ 直线与直线交于.设直线的倾斜角分别为，则两直线夹角，‎ 则，故 ‎11．若为一个平方数，则正整数 ‎ 答案10.‎ 解析：当，‎ 下证：当时，不可能为平方数.‎ 假设为完全平方数，‎ 则，（其中为奇数，且）整理得，‎ 故，相减可得，其中 方程左边除以4的余数为2，右边除以4的余数为0，矛盾 ‎（此处也可以解得,并说明唯一解，但这与矛盾）.‎ ‎12．已知集合，，定义函数：.设点，，，的外接圆圆心为，且，则满足条件的函数有 _______个．‎ 答案16.‎ 7‎ 解析：设中点为，则，所以落在中线上.由为外心，故为中垂线。即.由距离公式可得或.‎ 若，则 ‎，共12种；‎ 若，则 ‎，共4种;‎ 所以共有12+4=16种.‎ 三、解答题（本大题共3小题，共40分）‎ ‎13.（12分）已知向量，的夹角为，，,，，‎ 在时取得最小值，若＜＜，求的取值范围.‎ 解析：法一设 ………………………………4分 则， ………………………………8分 据题解得故………………12分 法二：，………………4分 由所以，‎ ‎，则……8分 据题解得故 ………………12分 ‎14.（12分）‎ 过点作抛物线的两条切线,切点分别为, . ‎ ‎(Ⅰ) 证明: 为定值；‎ ‎(Ⅱ) 记的外接圆的圆心为点, 定点,对任意实数,试判断 以为直径的圆是否恒过点?并说明理由.‎ 解：(Ⅰ)解法1: 因为点和在抛物线上, 所以,.‎ 设切线斜率为，则切线方程为：‎ 与抛物线联立，消可得，，‎ 7‎ 则，故 同理 所以直线的方程为. ‎ ‎（此处可利用求导得）…………………………………2分 ‎ 因为点在直线上,‎ 所以,即. ‎ 同理, . ………………………………4分 所以是方程的两个根.‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 又, ‎ 所以为定值. ………………………………6分 解法2：设过点且与抛物线相切的切线方程为, ‎ 由消去得, …………………………2分 由, 化简得. ‎ 所以. ……………………………4分 由于的，根据求根公式，‎ 从而，同理 所以, 即. 又, ‎ ‎ 所以为定值. …………………………………………6分 ‎(Ⅱ) 法1：直线的垂直平分线方程为, ……………7分 ‎ 由于,,‎ ‎ 所以直线的垂直平分线方程为. ① ……………8分 ‎ 同理直线的垂直平分线方程为. ② ……………9分 7‎ ‎ 由①②解得, , 所以点. ‎ ‎ 则 ‎ 由于， 所以 ‎ 所以以为直径的圆恒过点 另法: 以为直径的圆的方程为 ……11分 把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.‎ 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 法2：设点的坐标为，‎ ‎ 则△的外接圆方程为，‎ ‎ 由于点在该圆上，‎ ‎ 则，‎ ‎ .‎ ‎ 两式相减得, ① …………6分 ‎ 由(Ⅰ)知,代入上式得 ‎ , ……………………………………8分 ‎ 当时, 得, ② ‎ ‎ 假设以为直径的圆恒过点,则即,‎ ‎ 得, ③ ‎ ‎ 由②③解得, …………………………………………………10分 所以点. ‎ 当时, 则,点.‎ 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 7‎ ‎15. （16分）已知函数是定义域和值域都在上的严格增函数，满足，‎ 求的值.‎ 解析：①首先证明：.‎ 若，则，而，矛盾。…………………2分 若，则由函数严格单调递增，可知，矛盾。‎ 综上可知， …………………………………4分 ‎②再证.‎ 由，可得，‎ 故…………………………………6分 所以，则…………8分 由于，且，‎ 所以，其中……………………………12分 ‎③其中……………14分 故…………………………………16分 7‎