2021年新高考数学考前必记50个知识点
考前必记的50个知识点
1.集合
(1)集合间关系的两个重要结论
①A⊆B包含A=B和A⫋B两种情况,两者必居其一,若存在x∈B且x∉A,说明A≠B,只能是A⫋B.
②集合相等的两层含义:若A⊆B且B⊆A,则A=B;若A=B,则A⊆B且B⊆A .
提醒①任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.
②含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
(2)集合之间关系的判断方法
①A⫋B⇔A⊆B且A≠B,类比于a
0且a≠1)
y=logax(a>0且a≠1)
定义域
R
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
R
图象
关系
互为反函数
奇偶性
非奇非偶
非奇非偶
单调性
当01时,在R上是增函数
当01时,在(0,+∞)上是增函数
提醒直线x=1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即为底数值,直线y=1与所给对数函数图象的交点的横坐标即为底数值.
9.函数零点的判断方法
(1)利用零点存在定理判断法:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0.这个c也就是方程f(x)=0的根.口诀:函数零点方程根,数形本是同根生,函数零点端点判,图象连续不能忘.
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(3)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
10.导数
(1)基本初等函数的导数公式
①(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x.
②(ln x)'=1x(x>0),(logax)'=1xlna(x>0,a>0,且a≠1).
③(ex)'=ex,(ax)'=axln a(a>0,且a≠1).
(2)导数的四则运算法则
①(u±v)'=u'±v'.
②(uv)'=vu'+v'u⇒(cv)'=cv'(c为常数).
③uv'=vu'-v'uv2(v≠0).
提醒(1)若两个函数可导,则它们的和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
(2)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn)'=nxn-1中n∈Q,(cos x)'=-sin x.
(3)注意公式不要用混,如(ax)'=axln a,而不是(ax)'=xax-1.
(4)导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形,即[u(x)±v(x)±…±w(x)]'=u'(x)±v'(x)±…±w'(x).
(5)一般情况下,[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x),[f(x)·g(x)]'≠f'(x)+g'(x),f(x)g(x)'≠f'(x)g'(x),f(x)g(x)'≠f'(x)-g'(x).
11.利用导数判断函数的单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f'(x)>0,那么f(x)在该区间内为增函数;如果f'(x)<0,那么f(x)在该区间内为减函数;如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在该区间内为常函数.
12.极值与最值
(1)判断极大、极小值的方法
当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)是极大值.
②如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)是极小值.
提醒(1)可导函数在极值点处的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,如函数f(x)=x3,x=0就不是极值点,但f'(0)=0.
(2)极值点不是一个点,而是一个数x0,当x=x0时,函数取得极值.在x0处有f'(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.
(3)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值,函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值.
(2)极值与最值的区别与联系
①区别:
函数的极值
函数的最值
函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点
使函数取得最大值,最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点
函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的
函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的
函数的极值可能不止一个,也可能一个没有
函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个
函数的极大值不一定大于函数的极小值
函数的最大值一定大于函数的最小值
②联系:(ⅰ)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点;
(ⅱ)极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值.
13.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商的关系:tan α=sinαcosαα≠kπ+π2,k∈Z.
提醒(1)公式常见变形:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sin α=±1-cos2α,cos α=±1-sin2α,sin α=cos αtan α,cos α=sinαtanα(α≠kπ,k∈Z)等.
(2)对“同角”的理解:只要是同一个角,基本关系式就成立,不拘泥于角的形式,比如sin2α+π3+cos2α+π3=1,tan 3α=sin3αcos3αα≠kπ3+π6,k∈Z等都成立,但sin2α+π3+cos2α+π6=1就不一定成立.
14.三角函数的诱导公式
公式一:
sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α,tan(2kπ+α)=tan α,k∈Z.
公式二:
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.
公式三:
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
公式四:
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
公式五:
sinπ2-α=cos α,cosπ2-α=sin α.
公式六:
sinπ2+α=cos α,cosπ2+α=-sin α.
推广公式:
sin3π2+α=-cos α,cos3π2+α=sin α,
sin3π2-α=-cos α,cos3π2-α=-sin α.
提醒奇变偶不变,符号看象限
“奇、偶”指的是π2的倍数是奇数还是偶数.“变与不变”指的是三角函数名称的变化,“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦).“符号看象限”的含义是:把角α看作锐角,看n·π2±α(n∈Z)是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号.
15.三角函数的图象变换
(1)y=sin x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y=sin(x+φ)的图象(当φ<0时,则向右平移|φ|个单位长度).
(2)y=sin x的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的1ω倍,得到y=sin ωx的图象.
(3)y=sin x的图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asin x的图象.
提醒(1)由y=sin ωx的图象经过平移变换得到y=sin(ωx+φ)的图象,平移的单位长度不是|φ|,而是φω.
(2)函数图象平移、伸缩变换的实质是点的变化,所以可以借助三角函数图象上特征点坐标的变化寻找平移、伸缩变换的规律,一般借助于两个函数图象上的最高点或最低点的坐标来分析.
16.三角函数的对称性
(1)曲线y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z,对称轴方程为x=kπ+π2,k∈Z.
(2)曲线y=cos x的对称中心为kπ+π2,0,k∈Z,对称轴方程为x=kπ,k∈Z.
(3)曲线y=tan x的对称中心为kπ2,0,k∈Z,无对称轴.
(4)求曲线y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ))的对称中心(或对称轴),只需令ωx+φ等于对应的值,求出x即可.
17.三角恒等变换
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β.
tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ
(2)二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α.
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan 2α=2tanα1-tan2α.
18.正弦定理、余弦定理及其推论
(1)正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC外接圆的半径)⇔a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C⇔a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(2)余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.
(3)三角形内角和定理
在△ABC中,有A+B+C=π⇔C=π-(A+B)⇔C2=π2-A+B2⇔2C=2π-2(A+B).
(4)三角形面积公式
S△ABC=12bcsin A=12acsin B=12absin C(A,B,C是△ABC的三边a,b,c所对的角).
19.平面向量
(1)平面向量共线的坐标表示的两种形式
①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2=x2y1,此形式对任意向量a,b(b≠0)都适用.
②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x2y2≠0,则a∥b⇔x1x2=y1y2.
需要注意的是可以利用x1x2=y1y2来判定a∥b,但是反过来不一定成立.
(2)有关数量积应用的常见结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
①a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
②|a|=a·a=x12+y12.
③cos=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22.
20.等差数列
(1)等差数列的判断方法
①定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列.
②通项公式法:an=a1+(n-1)d(其中a1,d为常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列.
③等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
④前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(2)等差数列前n项和的最大值、最小值的求法
①通项公式法:当a1>0,d<0时,Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0求得n,从而求出Sn的最大值;当a1<0,d>0时,Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0求得n,从而求出Sn的最小值.
②二次函数法:用求二次函数最值的方法求Sn的最值.
值得注意的是n∈N*,因此等差数列前n项和取得最值时n的值可能不是一个值,也有可能是两个值.
21.等比数列的判断方法
(1)定义法:an+1an=q(q为常数且q≠0,n∈N*)或anan-1=q(q为常数且q≠0,n≥2)⇔{an}为等比数列.
(2)等比中项法:an+12=an·an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列.
(3)通项公式法:an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.
提醒判断一个数列是否是等比数列,还有一种直观的判断方法,即前n项和公式法:若Sn表示数列{an}的前n项和,且Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}是公比为q的等比数列.但此方法不能用于证明一个数列是等比数列.
22.数列中项的最值的求法
(1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数f(n)=an,利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解,但要注意自变量的取值必须是正整数的限制.
(2)利用数列的单调性求解,由不等式an+1≥an(或an+1≤an)求解出n的取值范围,从而确定数列单调性的变化,进而确定相应的最值.
(3)转化为关于n的不等式组求解:若求数列{an}的最大项,则可解不等式组an≥an-1,an≥an+1;若求数列{an}的最小项,则可解不等式组an≤an-1,an≤an+1,求出n的取值范围之后再确定取得最值的项.
23.不等式的解法
(1)分式不等式的解法
分式不等式f(x)g(x)>0(或<0)的求解可应用同解原理,转化为整式不等式求解.
f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0);f(x)g(x)≥0(≤0)⇔
g(x)≠0,f(x)·g(x)≥0(≤0).
提醒对于解分式不等式,将分式不等式转化成整式不等式时,如果不等式是含有等号的不等式形式,则很容易忘掉分母不为0的情形,从而导致出错;另一种可能出现错误的情形是在将两边进行平方时,容易扩大或缩小不等式的范围.
(2)指数、对数不等式的解法
①解指数、对数不等式的依据是指数、对数函数的概念和性质,因而同底法是解指数、对数不等式的基本方法.当然最终的目的是将它们转化为代数不等式,其主要类型和解法有:
(ⅰ)af(x)>aφ(x)⇔f(x)>φ(x)(a>1)或f(x)<φ(x)(0logaφ(x)⇔f(x)>φ(x)>0(a>1)或00(<0)恒成立,则a>0(a<0),且Δ<0,反之也成立;ax2+bx+c≥0(≤0)恒成立,则a>0(a<0),且Δ≤0,反之也成立.
②若一元二次不等式在某一区间上恒成立,则可结合相应二次函数的图象,判断函数图象在这个区间上与对称轴的相对位置,列出不等式恒成立时满足的条件即可.
③一般地,不等式恒成立问题通常转化为函数的最值问题来解决.如f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a,f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a.
24.基本不等式
(1)基本不等式的变形
①根式形式:a+b≥2ab(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立.
②整式形式:ab≤a+b22(a,b∈R),a2+b2≥2ab(a,b∈R),(a+b)2≥4ab(a,b∈R),a+b22≤a2+b22(a,b∈R),以上不等式当且仅当a=b时,等号成立.
③分式形式:ba+ab≥2(ab>0),当且仅当a=b时,等号成立.
④倒数形式:a+1a≥2(a>0),当且仅当a=1时,等号成立;a+1a≤-2(a<0),当且仅当a=-1时,等号成立.
(2)利用基本不等式求最值
①对于正数x,y,若积xy是定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2p.
②对于正数x,y,若和x+y是定值s,则当x=y时,积xy有最大值14s2.
③已知a,b,x,y为正实数,若ax+by=1,则有1x+1y=(ax+by) 1x+1y=a+b+byx+axy≥a+b+2ab=(a+b)2.
④已知a,b,x,y为正实数,若ax+by=1,则有x+y=(x+y)ax+by=a+b+ayx+bxy≥a+b+2ab=(a+b)2.
提醒利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”,即:①所求式中的相关项必须是正数;②求积xy的最大值时,要看和x+y是否为定值.求和x+y的最小值时,要看积xy是否为定值.求解时,常用到“拆项”“凑项”等解题技巧;③当且仅当各项相等时,才能取等号.以上三点应特别注意,缺一不可.
25.空间几何体的表面积和体积
(1)直棱柱的侧面积:S侧=cl(c是底面周长,l为侧棱长).
正棱锥的侧面积:S侧=12ch'(c是底面周长,h'为斜高).
正棱台的侧面积:S侧=12(c+c')h'(c,c'分别是上、下底面周长,h'为斜高).
圆柱的侧面积:S侧=cl=2πrl(c是底面周长,l为母线长).
圆锥的侧面积:S侧=12cl=πrl(c是底面周长,l为母线长).
圆台的侧面积:S侧=12(c+c')l=π(r+r')l(c,c'分别是上、下底面周长,l为母线长).
球的表面积:S=4πR2.
(2)柱体的体积:V柱=Sh(S为底面积,h是柱体的高).
锥体的体积:V锥=13Sh(S为底面积,h是锥体的高).
球的体积:V球=43πR3=13S表R.
26.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a正四面体高63a的14,外接球的半径为64a正四面体高63a的34.
27.证明空间位置关系的方法
(1)线面平行:a∥bb⊂αa⊄α⇒a∥α,α∥βa⊂β⇒a∥α,α⊥βa⊥βa⊄α⇒a∥α.
(2)线线平行:a∥αa⊂βα⋂β=b⇒a∥b,a⊥αb⊥α⇒a∥b,α∥βα⋂γ=aβ⋂γ=b⇒a∥b,a∥ba∥c⇒c∥b.
(3)面面平行:a⊂α,b⊂αa⋂b=Oa∥β,b∥β⇒α∥β,a⊥αa⊥β⇒α∥β,α∥βγ∥β⇒α∥γ.
(4)线线垂直:a⊥αb⊂α⇒a⊥b.
(5)线面垂直:a⊂α,b⊂αa⋂b=Ol⊥a,l⊥b⇒l⊥α,α⊥βα⋂β=la⊂α,a⊥l⇒a⊥β,α∥βa⊥α⇒a⊥β,a∥ba⊥α⇒b⊥α.
(6)面面垂直:a⊂βa⊥α⇒α⊥β,a∥βa⊥α⇒α⊥β.
提醒利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征,尤其要注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质,进行空间线面关系的相互转化.
28.空间向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a·b=a1b1+a2b2+a3b3;
(2)a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0);
(3)a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(b≠0);
(4)|a|=a·a=a12+a22+a32;
(5)cos=a·b|a|·|b|=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32(a≠0,b≠0);
(6)点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之间的距离d=|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.
29.空间向量的应用
(1)夹角公式:设非零向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cos=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32.
推论:(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32).
(2)异面直线所成的角:cos θ=|cos|=|a·b||a|·|b|=|a1b1+a2b2+a3b3|a12+a22+a32·b12+b22+b32,其中θ(0°≤θ≤90°)为异面直线a,b所成的角,a,b分别表示异面直线a,b的方向向量.
(3)直线AB与平面α所成的角θ满足:sin θ=|cos|=|AB·m||AB|·|m|(m是平面α的法向量).
(4)二面角α-l-β的平面角θ满足:|cos θ|=|cos|=|m·n||m|·|n|(m,n分别是平面α,β的法向量).
提醒在处理实际问题时,要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角,以确定角的大小.
30.直线
(1)直线方程的5种形式
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
y-y0=
k(x-x0)
(x0,y0)是直线上一定点,k是斜率
不垂直于x轴
斜截式
y=kx+b
k是斜率,b是直线在y轴上的截距
不垂直于x轴
两点式
y-y1y2-y1=
x-x1x2-x1
(x1,y1),(x2,y2)是直线上两定点
不垂直于x轴和y轴
截距式
xa+yb=1
a是直线在x轴上的非零截距,b是直线在y轴上的非零截距
不垂直于x轴和y轴,且不过原点
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不同
时为零)
A,B都不为零时,斜率为-AB,在x轴上的截距为-CA,在y轴上的截距为-CB
任何位置的直线
(2)两条直线的位置关系
①已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,A2,B2全不为0),则l1,l2相交⇔A1A2≠B1B2,l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2,l1,l2重合⇔A1A2=B1B2=C1C2.
当A1,B1,A2,B2中有0时,应单独讨论.
②直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0垂直⇔A1A2+B1B2=0.
提醒讨论两条直线的位置关系时应注意斜率不存在或斜率为0的情况,当两条直线中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,它们也垂直.
31.圆
(1)圆的四种方程
①圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
②圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
③圆的参数方程:x=a+rcosθ,y=b+rsinθ(θ为参数).
④圆的直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的端点是A(x1,y1),B(x2,y2)).
(2)直线与圆的位置关系
直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)有相交、相离、相切三种情况.可从代数和几何两个方面来判断:
①代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况):Δ>0⇔相交;Δ<0⇔相离;Δ=0⇔相切;
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d,则dr⇔相离;d=r⇔相切.
(3)圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0),则其位置关系的判断方法如下表:
位置关系
几何法
代数法
公
切
线
的
条
数
圆心距d与r1,r2的关系
联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1+r2
无解
4
外切
d=r1+r2
一组实数解
3
相交
|r1-r2|b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图形
续 表
标准方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
几
何
性
质
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0);
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a);
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
线段A1A2,B1B2分别是椭圆的长轴和短轴,长轴长为2a,短轴长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
焦距与长轴长的比值:e∈(0,1)
a,b,c的关系
b2=a2-c2
提醒椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度,e的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的圆扁程度.因为a2=b2+c2,所以ba=1-e2,因此,当e越趋近于1时,ba越趋近于0,椭圆越扁;当e越趋近于0时,ba越趋近于1,椭圆越接近于圆.所以e越大椭圆越扁,e越小椭圆越圆.当且仅当a=b,c=0时,椭圆变为圆,方程为x2+y2=a2.
33.双曲线
(1)双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2a2-y2b2=1
(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1
(a>0,b>0)
图形
几
何
性
质
范围
|x|≥a,y∈R
|y|≥a,x∈R
对称性
对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
线段A1A2,B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
焦距与实轴长的比值:e∈(1,+∞)
渐近线
y=±bax
y=±abx
a,b,c的关系
b2=c2-a2
提醒①离心率e的取值范围是(1,+∞).当e越接近于1时,双曲线开口越小;当e越接近于+∞时,双曲线开口越大.
②满足||PF1|-|PF2||=2a的点P的轨迹不一定是双曲线,当2a=0时,点P的轨迹是线段F1F2的中垂线;当0<2a<|F1F2|时,点P的轨迹是双曲线;当2a=|F1F2|时,点P的轨迹是两条射线;当2a>|F1F2|时,点P的轨迹不存在.
(2)双曲线方程与渐近线方程的关系
①若双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,则渐近线的方程为x2a2-y2b2=0,即y=±bax.
②若渐近线的方程为y=±bax,即xa±yb=0,则双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0).
③若所求双曲线与双曲线x2a2-y2b2=1有公共渐近线,其方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ>0,焦点在x轴上;λ<0,焦点在y轴上).
④焦点到渐近线的距离总是b.
34.抛物线
(1)抛物线的标准方程及几何性质
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形
几
何
性
质
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
焦点
Fp2,0
F-p2,0
F0,p2
F0,-p2
准线
方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
离心率
e=1
(2)抛物线焦点弦的常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α为直线AB的倾斜角,则
①焦半径|AF|=x1+p2=p1-cosα,|BF|=x2+p2=p1+cosα.
②x1x2=p24,y1y2=-p2.
③弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α.
④1|FA|+1|FB|=2p.
⑤以弦AB为直径的圆与准线相切.
⑥S△OAB=p22sinα(O为抛物线的顶点).
35.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)弦长的求解方法
设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线AB的斜率存在(设为k),则|AB|=1+k2·|x1-x2|;若k≠0,则|AB|=1+1k2·|y1-y2|,其中|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2,|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2.
当直线AB的斜率不存在时,可直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标,利用两点间的距离公式求弦长.
(2)圆锥曲线中的最值问题
①利用圆锥曲线的定义进行转化,一般在三点共线时取得最值.
②求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值,当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时,两平行线间的距离即为所求.
③利用基本不等式求最值.
36.频率与概率的区别与联系
(1)区别
①频率具有随机性,在不同的试验中,同一事件发生的频率可能不同;
②概率是频率的稳定值,是一个确定的常数,不管进行多少次试验,同一事件发生的概率是不变的.
(2)联系
①频率和概率都是用来刻画随机事件发生的可能性大小的量;
②概率可看作频率在理论上的期望值,随试验次数的增加,频率可近似地作为这个事件的概率.
37.事件的关系与运算
(1)包含关系:如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A,记作B⊇A(或A⊆B).
(2)相等事件:如果B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等,记作A=B.
(3)并(和)事件:若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作A∪B(或A+B).
(4)交(积)事件:若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB).
(5)互斥事件:若A∩B为不可能事件(即A∩B=⌀),那么称事件A与事件B互斥,其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.
(6)对立事件:若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,其含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生.
提醒互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生以外,还要求二者必须有一个发生.因此,对立事件一定是互斥事件,而互斥事件未必是对立事件.
38.概率的几个基本性质
(1)任何事件A的概率都在0~1之间,即0≤P(A)≤1.
(2)若A⊆B,则P(A)≤P(B).
(3)必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0.
(4)当事件A与事件B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B).注意没有事件A与事件B互斥这一条件时,这个公式不成立.
(5)若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1.
提醒当一事件的概率不易直接求,但其对立事件的概率易求时,可运用(5),即用间接法求概率.
39.古典概型的概率公式
如果随机事件A包含的基本事件数为m,总的基本事件数为n,则
P(A)=事件A包含的基本事件的个数总的基本事件的个数=mn.
提醒求解古典概型问题的步骤
(1)判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求的事件A.
(2)分别计算总的基本事件的个数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m.
(3)利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事件A的概率.
40.均值的相关结论
(1)E(k)=k(k为常数).
(2)E(aX+b)=aE(X)+b.
(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
(4)若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).
(5)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p.
(6)若X服从二项公布,即X~B(n,p),则E(X)=np.
提醒E(X)是一个常数,由X的分布列唯一确定,它描述X取值的平均状态,作为随机变量X是可变的,可取不同的值.
41.方差的相关性质结论
(1)D(k)=0(k为常数).
(2)D(aX+b)=a2D(X).
(3)D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
(4)若X1,X2,…,Xn两两独立,则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn).
提醒①随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动,集中与离散程度,其中标准差与随机变量本身有相同的单位.
②方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负的.
42.二项分布与正态分布
(1)条件概率的计算公式:当P(B)>0时,在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率为P(A|B)=P(AB)P(B);类似地,当P(A)>0时,在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率为P(B|A)=P(AB)P(A).
(2)二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=k)=Cnkpk(1-p)n-k,其中k=0,1,…,n.
(3)①若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(a0).
②正态分布密度函数的性质:函数图象关于直线x=μ对称;σ(σ>0)的大小决定函数图象的“胖”“瘦”;P(μ-σ0时,不能否定函数y=f(x)在(a,b)内有零点.函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”,对于“不变号零点”函数的零点存在性定理是“无能为力”的,在解决函数的零点问题时要注意这个问题.
8.求函数图象的切线方程失误
混淆y=f(x)的图象在某点(x0,y0)处的切线与y=f(x)过某点(x0,y0)的切线,导致求解失误.若求y=f(x)的图象在某点(x0,y0)处的切线方程,点(x0,y0)一定是切点,若求y=f(x)过某点(x0,y0)的切线方程,点(x0,y0)不一定是切点.
9.确定函数极值点失误
对于可导函数y=f(x),错以为f'(x0)=0是函数y=f(x)在x=x0处有极值的充分条件,从而认为x0是函数的极值点.函数在某点处有极值,不仅要看其对应的导数是否为0,还要看这点的左、右区间对应的函数的单调性是否相反.
10.求y=Asin(ωx+φ)的单调区间失误
(1)不注意A或ω的符号,把单调性弄反,或把区间左右的值弄反;
(2)忘掉写+2kπ,或+kπ等,忘掉写k∈Z;
(3)书写单调区间时,错把弧度和角度混在一起.
11.图象平移的单位长度失误
由f(x)=Asin ωx(ω>0)的图象变换到y=Asin(ωx+φ)=Asin ωx+φω的图象.当φ>0时,向左平移φω个单位长度;当φ<0时,向右平移φω个单位长度,而不是|φ|个单位长度.
12.复数的概念不清致误
对于复数a+bi(a,b∈R),a叫做实部,b叫做虚部.当且仅当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0,且b≠0时,z=bi叫做纯虚数.解决复数概念类试题,要仔细区分以上概念差别,防止出错.另外,i2=-1是实现实数与虚数互化的桥梁,要适时进行转化,解题时极易丢掉“-”而出错.
13.忽视零向量致误
零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为0,其方向是任意的,零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中0的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微考虑不到就会出错,考生应给予足够的重视.
14.向量夹角范围不清致误
解题时要全面考虑问题.数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素,能不能在解题时把这些因素考虑到,是解题成功的关键,如当a·b<0时,a与b的夹角不一定为钝角,要注意θ=π的情况;当a·b>0时,a与b的夹角不一定为锐角,要注意θ=0的情况.
15.an与Sn关系不清致误
在数列问题中,数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系:当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1.这个关系对任意数列都是成立的,但要注意的是这个关系式是分段的,在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式,这也是解题中经常出错的一个地方,在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.
16.对数列的定义、性质理解错误
等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数.一般地,有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R),则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是等差数列.
17.数列中的最值错误
在数列问题中,其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数,要善于从函数的观点认识和理解数列问题.数列的通项an与其前n项和Sn的关系是高考的命题重点,解题时要注意先把n=1和n≥2分开讨论,再看能不能统一.在关于正整数n的二次函数中,其取最值的点要根据正整数距离二次函数图象的对称轴的远近而定.
18.错位相减求和处理不当致误
错位相减求和法的适用条件:数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的,求其前n项和,基本方法是设这个和式为Sn,在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式,这两个和式错一位相减,就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为主的求和问题.这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理.
19.不等式性质应用不当致误
在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确,特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数(式)、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时,一定要注意使其能够成立的条件,如果忽视了不等式性质成立的前提条件就会出现错误.
20.忽视基本不等式应用条件致误
利用基本不等式ab≤a+b2以及变式ab≤a+b22等求函数的最值时,务必注意a,b为正数(或a,b非负),ab或a+b其中之一应是定值,特别要注意等号成立的条件.对形如y=ax+bx(a,b>0)的函数,在应用基本不等式求函数最值时,一定要注意ax,bx的符号,必要时要进行分类讨论,另外要注意自变量x的取值范围,在此范围内等号能否取到.
21.不等式恒成立问题致误
解决不等式恒成立问题的常规求法是:借助相应函数的单调性求解,其中的主要方法有数形结合法、变量分离法、主元法.通过最值产生结论.应注意恒成立与存在性问题的区别,如对任意x∈[a,b]都有f(x)≤g(x)成立,即f(x)-g(x)≤0的恒成立问题,但对存在x∈[a,b],使f(x)≤g(x)成立,则为存在性问题,即f(x)min≤g(x)max,应特别注意两函数的最大值与最小值的关系.
22.面积、体积计算转化不灵活致误
面积、体积的计算既需要学生有扎实的基础知识,又要用到一些重要的思想方法,是高考考查的重要题型.因此要熟练掌握以下几种常用的思想方法:(1)还台为锥的思想:
这是处理台体时常用的思想方法.(2)割补法:求不规则图形面积或几何体体积时常用.(3)等积变换法:充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底面的特点,灵活求解三棱锥的体积.(4)截面法:尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合问题,常画出轴截面进行分析求解.
23.随意推广平面几何中结论致误
平面几何中有些概念和性质,推广到空间中不一定成立.例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立.
24.对折叠与展开问题认识不清致误
折叠与展开是立体几何中的常用思想方法,此类问题注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量,不仅要注意哪些变了,哪些没变,还要注意位置关系的变化.
25.点、线、面位置关系不清致误
关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是高考全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握程度的理想题型,历来受到命题者的青睐,解决这类问题的基本思路有两个:一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断,但要注意定理应用准确,考虑问题全面细致.
26.忽视斜率不存在致误
在解决两直线平行的相关问题时,若利用l1∥l2⇔k1=k2来求解,则要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在.如果忽略k1,k2不存在的情况,就会导致错解.这类问题也可以利用如下的结论求解,即直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0平行的必要条件是A1B2-A2B1=0,在求出具体数值后代入检验,看看两条直线是不是重合,从而确定问题的答案.对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况.利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1时,要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.利用直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0,就可以避免讨论.
27.忽视零截距致误
解决有关直线的截距问题时应注意两点:一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式.因此解决这类问题时要进行分类讨论,不要漏掉截距为零时的情况.
28.忽视圆锥曲线定义中条件致误
利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
29.误判直线与圆锥曲线的位置关系
过定点的直线与双曲线的位置关系问题,基本的解决思路有两个:一是利用一元二次方程的判别式来确定,但一定要注意,利用判别式的前提是二次项系数不为零,当二次项系数为零时,直线与双曲线的渐近线平行(或重合),也就是直线与双曲线最多只有一个交点;二是利用数形结合的思想,画出图形,根据图形判断直线和双曲线的各种位置关系.在直线与圆锥曲线的位置关系中,抛物线和双曲线都有特殊情况,在解题时要注意,不要忘记其特殊性.
30.两个计数原理不清致误
分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理,故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.在解题时,要分析计数对象的本质特征与形成过程,
按照事件的结果来分类,按照事件的发生过程来分步,然后应用两个基本原理解决.对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理,又要用到分步乘法计数原理,一般是先分类,每一类中再分步,注意分类、分步时要不重复、不遗漏,对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外,还可以用间接法处理.
31.排列、组合不分致误
为了简化问题和表达方便,解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化,建立适当的模型,再应用相关知识解决.建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是组合问题,其依据主要是看元素的组成有没有顺序性,有顺序性的是排列问题,无顺序性的是组合问题.
32.混淆项系数与二项式系数致误
在二项式(a+b)n的展开式中,其通项Tr+1=Cnran-rbr是指展开式的第r+1项,因此展开式中第1,2,3,…,n项的二项式系数分别是Cn0,Cn1,Cn2,…,Cnn-1,而不是Cn1,Cn2,Cn3,…,Cnn,而项的系数是二项式系数与其他数字因数的积.
