数学理卷·2018届湖北省部分重点中学、齐鲁名校教科研协作体（临沂一中等）高考冲刺模拟（二）（2018

数学理卷·2018届湖北省部分重点中学、齐鲁名校教科研协作体（临沂一中等）高考冲刺模拟（二）（2018

齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）‎ 理科数学试题 命题：湖北天门中学(孙有林) ‎ 审题：湖北随州一中（刘丽） 湖南常德一中（朱纯刚） 山东沂水一中（杜元钦）‎ 本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. （原创.容易）已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，由可得，.故选C.‎ ‎【考点】考查对数不等式的解法及集合运算.‎ ‎2. (原创.容易)已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（ ）.‎ A. B. C.或 D.或 ‎【答案】C ‎【解析】设，则，所以得，‎ 所以或.故选C.（用验证法即可得C）‎ ‎【考点】考查复数的模的运算.‎ ‎3. (原创.容易)正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ）‎ A.6 B.16 C.32 D.64‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，即，‎ 又，所以.故选D.‎ ‎【考点】考查积分的运算及等比数列的性质.‎ ‎4. （原创.容易） 一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形.则这个几何体的体积为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成.长方体的体积为，三棱锥的体积为,‎ 所以几何体的体积为.故选B.‎ ‎【考点】考查立体几何三视图及体积运算.‎ ‎5. (原创.容易)已知如图所示的程序框图中输出的结果为，则二项式展开式中的常数项为（ ）‎ ‎ A.15 B.-15 C.20 D.-20 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由赋值运算，输入值为-1，则第1次运算结果为，第2次结果为2，第3次结果为-1，结果数字以3为周期循环出现，要运算12次，此时输出的数为-1.这样二项式的展开通项为，当时为常数项，所以常数项为.故选C.‎ ‎【考点】考查算法框图及二项式定理的展开式.‎ ‎6.(原创.容易)函数的部分图象为 ‎【答案】A ‎【解析】当时，，所以排除C,D；当时，.故选A.‎ ‎【考点】考查三角函数的值的变化及图象.‎ ‎7.(原创.容易)一个圆形电子石英钟由于缺电，指针刚好停留在整，三个指针(时针、分针、秒针)所在射线将时钟所在圆分成了三个扇形，一只小蚊子（可看成是一个质点）随机地飞落在圆面上，则恰好落在时针与分针所夹扇形内的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】观察时钟所在圆被12个刻度十二等分，指针转过一等分就旋转，时针转过一等分就是1小时，分针转过一等分就是5分钟，所以的时候秒针指向12，分针指向4，时针的指向是从刻度8再转过一等分的三分之一即.这样分针与时针这间的扇形的圆心角为.又同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比，所以.故选C.‎ ‎【考点】考查几何概率 ‎8. (原创.容易)在中，，为的中点，将向量绕点按逆时针方向旋转得向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，以为轴建立平面直角坐标系，则，得，所以向量在向量方向上的投影为.故选C. ‎ ‎【考点】考查平面向量的投影的定义及计算.‎ ‎9. (原创.中等) 在三棱锥中，平面，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.以上结论都不对 ‎【答案】B ‎【解析】如图，取中点为，连结，因为分别为的中点，所以∥，所以就是异面直线与所成角，令，由勾股定理得，又.易证平面，平面，， .‎ 在中，.故选B.‎ ‎【考点】考查空间异面直线所成角的大小.‎ ‎10. (原创.中等) 下面有四个命题：‎ ①设，则.‎ ②已知，则.‎ ③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到的图象.‎ ④设，则函数有最小值无最大值.‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】①曲线关于对称，所以，正确. ②可知，即，所以，错误. ③正确. ‎ ④得，又，，可知在单调递减，在单调递增，所以正确.故选C.‎ ‎【考点】考查了正态分布的概率计算，用指数函数的单调性比较大小，图象变换及函数的最值的求解.‎ ‎11. (原创.中)已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线交双曲线于两点，为直线上一点，当最大时，点恰好在（或）处.则双曲线的离心率为（ ）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】当过的圆与直线相切于点时，直线上其它点都在圆外，此时最大，由切割线定理得，点恰好在处，所以，由双曲线可知，所以，所以双曲线的离心率为.故选A.（也可用正切的和差公式求解）‎ ‎【考点】考查求双曲线的离心率.‎ ‎12. （改编，难）已知函数.若函数有两个极值点，记过点和的直线斜率为，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，函数的导函数为，‎ 由函数有两个极值点得，又为奇函数，不妨设，则有，可得： .‎ 由直线的斜率公式得，，‎ 又，，（当时，，不合题意）‎ 令得，‎ 在上单调递增，又，‎ 由得：，所以.故选B.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值、零点及不等式问题.‎ 二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. (书本题改编.容易)已知抛物线的准线方程为，点为抛物线上的一点，则点到直线的距离的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设得抛物线方程为，设点坐标为，则点到直线的距离为，当时取最小值.‎ ‎【考点】考查抛物线的性质，点到直线的距离及最值的求解.‎ ‎14. (原创.容易) 我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步. ‎ ‎（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,‎ 令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）‎ ‎【答案】1255步 ‎【解析】如图，设岛高步，与前标杆相距步，则有，解得：步.‎ ‎【考点】考查解直角三角形，利用相似成比例的关系. ‎ ‎15. (原创.容易)若实数满足.若的最小值为，则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出可行域如图所示，过点时取最小值.由得，则得.‎ ‎【考点】考查利用线性规划求字母的值.‎ ‎16. (改编.难) 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，‎ 两式作差得，所以 两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列. ‎ 若对恒成立，当且仅当.‎ 又，，‎ 所以，解得：.‎ ‎【考点】数列递推的应用.‎ 三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（本小题满分12分）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（原创.易）已知中，，为内一点，且.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的长；‎ ‎（Ⅱ）若，令，求的值.‎ 解析：（Ⅰ）如图，在中，，，.所以，.……………2分 由余弦定理得：‎ ‎，……………4分 ‎.……………6分 ‎ (另解：取中点为，连，证明三点共线，求出，又，则.此法请酌情给分) ‎ ‎ （Ⅱ），，‎ 由内角和定理得.……………8分 在直角中，，……………9分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 在中，由正弦定理得：‎ 即，……………11分 解得.……………12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎（原创.中）如图，五边形中，四边形为长方形，三角形为边长为2的正三角形，将三角形沿折起，使得点在平面上的射影恰好在上.‎ ‎（Ⅰ）当时，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值.‎ 解析：（Ⅰ）作，垂足为，依题意得平面，，‎ 又，平面，.……………2分 利用勾股定理得，同理可得.‎ 在中，……………4分 平面，又平面，‎ 所以平面平面.……………5分 ‎（Ⅱ）连结，，，‎ ‎，又四边形为长方形，.‎ 取中点为，得∥，连结，‎ 其中，，……………7分 由以上证明可知互相垂直，不妨以为 轴建立空间直角坐标系. ，‎ ‎,……………8分 设是平面的法向量，‎ 则有即，‎ 令得.……………9分 设是平面的法向量，‎ 则有即 令得.……………10分 则……………11分 所以平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值为.……………12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎（原创.易）我校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间（每月用手机时间总和）的长短将学生分为三类： 第一类的时间区间在，第二类的时间区间在，第三类的时间区间在（单位：小时），并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导.现对我校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习.由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图. ‎ ‎(I) 求这1000名学生每月用手机时间的平均数；‎ ‎(II)利用分层抽样的方法从1000名选出10位学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；‎ ‎(III)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1‎ 名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设为获奖学生人数，求的数学期望与方差.‎ 解析：(Ⅰ) 平均数为: ‎ ‎（小时）. ……………………4分 ‎(Ⅱ) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，则从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为…………8分 ‎(Ⅲ) 由题可知，这1000名学生中第一类学生80%，‎ 则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8，‎ 则连续10个月抽取，获奖人数，其数学期望（小时），方差.……………12分 ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎（原创.中难）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求的面积的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）设，则.……………1分 设，则.……………3分 解得.‎ 所以椭圆的方程为.……………4分 ‎（Ⅱ）设方程为，联立，‎ 得，‎ ‎，……………5分 因为关于轴对称的两条不同直线的斜率之和为0‎ 即，即，……………7分 得，‎ 即.解得：.……………8分 直线方程为：，所以直线过定点.……………9分 又 令……………11分 又.……………12分 ‎（其它解法酌情给分）‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎（原创.难）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数为单调函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎， ‎ 为单调函数等价为恒成立或恒成立，‎ 令得，‎ 所以在单调递减，在单调递增，……………………2分 又，‎ 当时，时，；‎ 当时，时，；‎ 不可能恒成立，归纳得恒成立. ……………………3分 又，‎ 所以 . ‎ 令，‎ ‎，‎ 得在单调递增，在单调递减，‎ ‎，即， ……………………5分 所以，即. ……………………6分 ‎（Ⅱ）令，‎ ‎(1)当时，，‎ 所以，. ……………………7分 因为，所以即；‎ 因为，可知函数在处取最小值即，‎ 即.‎ 由不等式的性质得，‎ 所以. ……………………9分 ‎(2)当时，，‎ 因为，所以，即，‎ ‎，即 由（Ⅱ）证明可知，所以. ……………………11分 由（1）（2）得. ……………………12分 ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. （本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（原创.易）在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，为直线倾斜角）.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（Ⅰ）当时，求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，当面积最大时，求直线的普通方程.‎ 解：（Ⅰ）当时，直线的参数方程为，‎ 消去得直线的普通方程为. ……………………2分 曲线的极坐标方程是，两边乘以为，由得：‎ ‎，‎ 所以曲线的直角坐标方程为. ……………………5分 ‎（Ⅱ）曲线是以为圆心，2为半径的圆，‎ ‎. ……………………7分 当时面积最大.此时点到直线的距离为，所以 ‎，解得：， ……………………9分 所以直线的普通方程为. ……………………10分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎（原创.易）设.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的最小值； ‎ ‎（Ⅱ）若为奇函数，且，当时，.‎ 若有无数多个零点，作出图象并根据图象写出的值（不要求证明）.‎ 解：（Ⅰ）当时，，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 的最小值为4. ……………………4分 ‎（Ⅱ）的图象是夹在与之间的周期为4的折线，如图，…………6分 又， 的图象是两条射线与中间一段线段组成. ……………………8分 若有无数多个零点，则的图象的两条射线中至少有一条是平行于轴的，所以或得.‎ 此时，经验证符合题意， ……………………10分