山西省阳泉市2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

山西省阳泉市2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试试题 高三理科数学 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则的值是 A. B. C. D.‎ ‎2.若复数满足，则的值是 A. B. C. D.‎ ‎3.若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎4.随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：‎ 记录时间 累计里程 ‎（单位：公里）‎ 平均耗电量（单位：公里）‎ 剩余续航里程 ‎（单位：公里）‎ ‎2020年1月1日 ‎5000‎ ‎0.125‎ ‎380‎ ‎2020年1月2日 ‎5100‎ ‎0.126‎ ‎246‎ ‎（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，）‎ 下面对该车在两次记录时间段内行驶‎100公里的耗电量估计正确的是 A. 等于 B.到之间 C.等于 D.大于 ‎5.已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是 A. B. C. D.‎ ‎6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的的值是 A. B. C. D.‎ ‎7.函数在的图像大致为 ‎ A B C D ‎ ‎8.在中，,是线段上一点，且则是 A. B. C. D.‎ ‎8.在中，,是边上一点，则是 A. B. C. D.‎ ‎9.记为等差数列的前项和.已知则 A. B. C. D.‎ ‎10.设是双曲线上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且,的面积是7，则是 A. B. C. D.‎ ‎11.如图，在直角梯形中，,过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是 ‎①‎ ‎②∥平面 ‎③与平面所成的角等于与平面所成的角 ‎④与所成的角等于与所成的角 A. B. C. D.‎ ‎12.已知，若不等式在上有解，则实数的取值范围是 A. 　B. ‎ C. D.‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ 本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则_____.‎ ‎14.若展开式中的系数为30，则________.‎ ‎15.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若，则_______________．‎ ‎16.已知数列满足,数列的前项和，则数列的前n项和___________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若，且边上的中线长为，求的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面为等边三角形且垂直于底面， 是的中点.‎ ‎（1）在棱上取一点使直线∥平面并证明；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当棱上存在一点，使得直线与底面所成角为 时，求二面角的余弦值.‎ ‎19.（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别是，离心率，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.‎ （1） 求椭圆的方程.‎ （2） 过焦点的直线与圆相切于点，交椭圆于两点，证明：.‎ ‎20.（本小题满分12分）某市创卫办为了了解该市开展创卫活动的成效，对市民进行了一次创卫满意程度测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”计5分，“不合格”计0分，现随机抽取部分市民的回答问卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：‎ 等级 不合格 合格 得分 频数 ‎6‎ ‎24‎ （1） 求的值；‎ （2） 按照分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的问卷中随机抽取10份进行问题跟踪调研，现再从这10份问卷中任选4份，记所选4份问卷的量化总分为，求 的分布列及数学期望.‎ （1） 某评估机构以指标来评估该市创卫活动的成效.若,则认定创卫活动是有效的；否则认为创卫活动无效，应该调整创卫活动方案.在（2）的条件下，判断该市是否应该调整创卫活动方案？‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，若且有两个零点，求的取值范围．‎ 请考生在第22，23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.满分10分.‎ 选修4－4：坐标系与参数方程 ‎22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的平面直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，，均异于原点，且，求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）已知的最小值为t.‎ ‎（1）求t的值；（2）若实数a，b满足，求的最小值.‎ 山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试 高三理科数学参考答案与评分标准 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分， ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C D B C A D B A D A 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，‎ ‎13.e14. 1 15.6 16.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，）‎ ‎17.(1)由已知可得,‎ 所以………………………………………………………………1‎ 在中，……………………………………………………………2‎ 所以.‎ 因为在中，,…………………………………………………………………3‎ 所以,…………………………………………………………………………………4‎ 因为,…………………………………………………………………………………5‎ 所以.………………………………………………………………………………………6‎ ‎（2）由（1）得，又边上的中线长为，所以，……………7‎ 所以，即，‎ 所以，①……………………………………………………………………8‎ 由余弦定理得，所以，②……………………9‎ 由①②得：，………………………………………………………………………10‎ 所以.……………………………………………………………12‎ ‎18.（1）在上取中点，在上取中点,连接，由于平行且等于，平行且等于，所以平行且等于，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以∥.……………2‎ 直线，‎ ‎，…………………………………………3‎ 所以∥平面.…………………………………………………………………………4‎ ‎（2）取中点，连接，由于为正三角形 ‎∴‎ 又∵平面平面，平面平面 ‎∴平面，连接，四边形为正方形。‎ ‎∵平面，∴平面平面 而平面平面 过作，垂足为，∴平面 ‎∴为与平面所成角，…………………………………6‎ ‎∴‎ 在中，，∴，‎ 设，，，‎ ‎∴，∴‎ 在中，，∴‎ ‎∴，，…………………………………………8‎ 以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，，，，‎ ‎，…………………………………………………9‎ 设平面的法向量为，∴‎ ‎∴法向量可取，………………………………………………………………10‎ 而平面的法向量为……………………………………………………11‎ 设二面角的平面角为 ‎∴.………………………………………………12‎ ‎19．（1）由椭圆性质知，，…………………………………………………………1‎ ‎，…………………………………………………………………………………2‎ 解得………………………………………………………………………………3‎ 所以椭圆的方程为.………………………………………………………………4‎ ‎（2）证明：由（1）可得的斜率存在，故的方程可设为.‎ 因为直线与圆相切，‎ 所以圆心到的距离，解得.………………6‎ 当时，直线的方程为 由联立，可得，显然，‎ 设，则.所以…………………………8‎ 设，由可得，又，‎ 所以.由此可得线段中点重合，故.………………10‎ 同理当时也有.…………………………………………………………11‎ 综上.………………………………………………………………………………12‎ ‎20.（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，‎ 故抽取的市民答卷数为：，‎ 又由频率分布直方图可知，得分在的频率为，‎ 所以，…………………………………………………………………………1‎ 又，所以.……………………………………………………………2‎ ‎.……………………………………………………………………………3‎ ‎（2）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人.‎ 所以有共种可能的取值.‎ 的分布列为 ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎，，，‎ ‎，.‎ 所以.……………………………9‎ ‎（3）由（2）可得 ‎……………………………………10‎ 所以，…………………………………………………………11‎ 故我们认为该市的创卫活动是有效的，不需要调整创卫活动方案.…………………………12‎ ‎21．（1）的定义域为，，‎ ‎，……………………………………………………………1‎ 对于，，‎ 当时，，则在上是增函数.………………………2‎ 当时，对于，有，则在上是增函数.………3‎ 当时，令，得或，‎ 令，得，‎ 所以在，上是增函数，‎ 在上是减函数.………………………………………4‎ 综上，当时，在上是增函数；‎ 当时，在，上是增函数，‎ 在上是减函数.‎ ‎（2）由已知可得，因为，所以，而，所以，所以，所以在上单调递增.‎ 所以.………………………………………………………………………6‎ 故在内有两个零点.………………………………………………7‎ 令，定义域为，，‎ 当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不合题意.……………………………………………………………………………………8‎ 当时，令得，若，则，在上单调递增；若，则，在上单调递减，…………………9‎ 所以，时，‎ 取得极大值，也是最大值，为.…………10‎ 时，，‎ 若有两个零点，则，解得.‎ 所以的取值范围是.……………………………………………………………12‎ 另解：有两根，显然不是方程的根，‎ 因此原方程可化为，‎ 设，，由解得，‎ 由解得，‎ 故在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以，所以，所以.‎ ‎22.【解析】（1）由消去参数，得的普通方程为.‎ 由，得，又，，‎ 所以的直角坐标方程为..……………..5分 ‎（2）由（1）知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为.‎ 设点，的极坐标分别为，，则，，‎ 所以，‎ 所以，即，解得，‎ 又，所以..……………..10分 ‎23.【解析】（1），‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）min＝f（﹣1）＝2，∴t＝2；.……………..5分 ‎（2）由（1）可知‎2a2+2b2＝2，则a2+b2＝1，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即，时取等号，‎ 故的最小值为9．.……………..10分