【数学】2018届一轮复习人教A版第四章三角函数、解三角形第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第四章三角函数、解三角形第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

第5讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 最新考纲　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).‎ 知 识 梳 理 ‎1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.‎ cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ tan 2α＝.‎ ‎3.有关公式的逆用、变形等 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β).‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，‎ sin α±cos α＝sin.‎ ‎4.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)‎ ‎(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β ‎＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)‎ ‎(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)‎ 解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z.‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.‎ 答案　D ‎3.(2015·重庆卷)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝，故选A.‎ 答案　A ‎4.(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2＝＝＝＝，故选B.‎ 答案　B ‎5.(必修4P‎137A13(5)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.‎ 解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°‎ ‎＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.‎ 答案　 ‎6.(2017·宁波调研)已知cos＝－，θ为锐角，则sin 2θ＝________，sin ‎＝________.‎ 解析　由题意得，cos＝－⇒(cos θ－sin θ)＝－⇒(1－2sin θcos θ)＝⇒sin 2θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝⇒sin θ＋cos θ＝⇒cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cos θ＋sin θ)·(cos θ－sin θ)＝－·＝－，∴sin＝sin 2θcos＋cos 2θsin＝×＋×＝.‎ 答案　　 考点一　三角函数式的化简 ‎【例1】 (1)(2017·杭州模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(　　)‎ A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α ‎(2)化简：(0<α<π)＝________.‎ 解析　(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝.‎ 因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cos α.‎ 答案　(1)D　(2)cos α 规律方法　三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.‎ ‎【训练1】 (1)＋2的化简结果是________.‎ ‎(2)化简：＝________.‎ 解析　(1)原式＝＋2 ‎＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，‎ 因为π<4<π，所以cos 4<0，且sin 40，又α∈(0，π)，‎ ‎∴0<α<，又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 答案　(1)　(2)－　(3)－ 规律方法　(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.‎ ‎(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.‎ ‎【训练2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D.2－1‎ ‎(2)已知sin＋sin α＝－，－<α<0，则cos α的值为________.‎ ‎(3)(2017·绍兴月考)已知cos α＝，cos(α－β)＝(0<β<α<)，则tan 2α＝________，β＝________.‎ 解析　(1)原式＝4sin 40°－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，故选C.‎ ‎(2)由sin＋sin α＝－，得sin α＋cos α＝－，sin＝－.‎ 又－<α<0，所以－<α＋<，‎ 于是cos＝.‎ 所以cos α＝cos＝.‎ ‎(3)∵cos α＝，0<α<，‎ ‎∴sin α＝，tan α＝4，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝－.‎ ‎∵0<β<α<，∴0<α－β<，‎ ‎∴sin(α－β)＝，‎ ‎∴cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝，‎ ‎∴β＝.‎ 答案　(1)C　(2)　(3)－　 考点三　三角变换的简单应用 ‎【例3】 已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量.‎ ‎(1)求角A；‎ ‎(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.‎ 解　(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，则sin‎2A＝.‎ 又A为锐角，所以sin A＝，则A＝.‎ ‎(2)y＝2sin2 B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin＋1.‎ 因为B∈，所以2B－∈，所以当2B－＝时，函数y取得最大值，此时B＝，ymax＝2.‎ 规律方法　解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.‎ ‎【训练3】 (2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；‎ ‎(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值.‎ 解　(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ‎＝cos 2xsin 2x＋cos 4x ‎＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝.‎ 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z，‎ 得＋≤x≤＋，k∈Z.‎ ‎∴f(x)的单调减区间为，k∈Z.‎ ‎(2)∵f＝，即sin＝1.‎ 因为α∈(0，π)，－<α－<，‎ 所以α－＝，故α＝.‎ 因此tan＝＝＝2－.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.‎ ‎(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.‎ ‎2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“‎1”‎的各种变通.‎ ‎2.在(0，π)范围内，sin α＝所对应的角α不是唯一的.‎ ‎3.在三角求值时，往往要借助角的范围求值. ‎