2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第二次统测数学（理）试题

2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第二次统测数学（理）试题

中山市第一中学2017-2018学年高二第二次统测 数学（理）试题 命题人： 审题人：‎ 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共12个小题，每小题5分）‎ ‎1．“”是“”是的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．在数列1，2，，，，…中，是这个数列的第（ ）‎ A．16项　　　 B．24项 C．26项 D．28项 ‎3．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）‎ A．或 B． C． D．或 ‎4．下列各式中最小值是2的是（ ）‎ A．＋ B． C． D．‎ ‎5．数列满足且，则使的的值为（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8 ‎6．在中，角，，的对边分别为，，，且，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在等比数列中，若，则的最小值为（ ）‎ A． B．4 C．8 D．16‎ ‎8．不等式的解集是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．或 ‎9．已知正数，满足，则＋的最小值为（ ）‎ A．　　　 B．　　　　　　C．　　　　　 D．‎ ‎10．已知，，，，若为假命题，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎11．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则角的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．定义为个正数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若数列的前项和，则它的通项公式为________．‎ ‎14．已知一个动圆与圆C：相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________．‎ ‎15．已知，其中，满足，且的最大值是最小值的4倍，则实数的值是________． ‎ ‎16．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则 ____________．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）在中，角，，的对边分别为，，．‎ ‎（1）已知，，，求的大小；‎ ‎（2）已知，，，求的大小．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知椭圆C：（）上一点到它的左右焦点，的距离的和是6．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率的值；‎ ‎（2）若轴，且在轴上的射影为点，求点的坐标．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长．‎ ‎20．（本小题满分12分）某种设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种设备的维修费各年为：第一年2千元， 第二年4千元， 第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增．问这种设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）?‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，，其前项和满足(为常数，且)．‎ ‎（1）求数列的通项公式及的值；‎ ‎（2）比较与的大小．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知为数列的前项和且满足，在数列中满足，‎ ‎（）‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列；‎ ‎（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求．‎ ‎ ‎ 中山市第一中学2017-2018学年高二第二次统测 数学（理）试题参考答案 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共12个小题，每小题5分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A D C D B D A A C C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．； 14．； 15．； 16．．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，．‎ ‎（1）已知，，，求的大小；（2）已知，，，求的大小．‎ 解：（1），所以在中，， ……………2分 由正弦定理有；…………………………………5分 ‎（2）由余弦定理有，………7分 于是，， ……………………………………9分 ‎． ………………………………………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：（）上一点到它的左右焦点，的距离的和是6．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率的值；‎ ‎（2）若轴，且在错误！未找到引用源。轴上的射影为点，求点的坐标．‎ 解：（1）依题意得：， ………………………2分 又，，………………………4分 ‎； ……………………………………6分 ‎（2），， ………………………8分 将代入得， ………………………10分 点在轴上的射影为为或．……………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长．‎ 解：（1）∵，∴，………………………1分 由正弦定理可得：，…………………………………2分 ‎∴． ……………………………………3分 又角为内角，∴， ……………………………………4分 ‎∴．又， ……………………………………5分 ‎∴． ……………………………………6分 ‎（2）由，得， ……………………………………8分 又， ……………………………………10分 ‎∴， ……………………………………11分 所以的周长为． ……………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 某种设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种设备的维修费各年为：第一年2千元， 第二年4千元， 第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增．问这种设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）?‎ 解：设使用x年的年平均费用为y万元．‎ 由已知得： ………………………3分 即（） ………………………………………………5分 由均值不等式知： ………………………………………8分 当且仅当=即时取“等号”， …………………………………10分 因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．…………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，，其前项和满足(为常数，且)．‎ ‎（1）求数列的通项公式及的值；‎ ‎（2）比较与的大小．‎ 解：（1）由题意得：，即，解得，‎ ‎；‎ 设数列的公差为d，‎ 于是，即，即，‎ 解得或（舍去），．…………………………………4分 ‎ （2）由（1）知数列的前项和为，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎， ① …………………………………8分 而数列的前项和为，‎ ‎， ②‎ 由①②可知．…………………………………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知为数列的前项和且满足，在数列中满足，（）‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列；‎ ‎（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求．‎ 解：（1）， 当时，，‎ 两式相减得，‎ 又当时，，‎ 综上，数列是公比为2，首项为2的等比数列，于是； …………………4分 ‎（2）∵，∴，‎ 又∵ ，∴‎ 综上，数列是公差为1，首项为1的等差数列，；………………8分 ‎（3）令 两式相减得 ‎． …………………………………12分 ‎ ‎