专题06+函数+函数的基本性质+--函数的单调性（与最值+）-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试
2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试
06 函数 函数的基本性质 --函数的单调性（与最值 ）
【考点讲解】
一、 具本目标：
1.理解函数的单调性及其几何意义.
2.会用基本函数的图象分析函数的性质.
3.理解函数的最大值、最小值及其几何意义．
4.命题是以函数的单调性为主，其中基本知识和基本技能是高考的热点.
2. 本节在高考中的分值为5分左右，属于中档题型.
二、知识概述：
1．增函数与减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的__任意两个__自变量的值x1，x2，当x1
f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__减函数__.
2．单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D叫做y＝f(x)的__单调区间__.
3．函数的最大值与最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有__f(x)≤M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)对于任意的x∈I，都有__f(x)≥M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么我们称M是函数y＝f(x)的最小值．
4．函数单调性的常用结论
区间D上单调递增
区间D上单调递减
定义法
x1f(x2)
图象法
函数图象是上升的
函数图象是下降的
导数法
导数大于零
导数小于零
运算法
递增＋递增＝递增
递减＋递减＝递减
复合法
内外层单调性相同
内外层单调性相反
5．对勾函数的单调性
对勾函数y＝x＋(a>0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；递减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数．
【真题分析】
1.【2017·全国卷Ⅱ】函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
【答案】D
【变式】【2014 天津理4】函数的单调递增区间是（ ）.
A. B. C. D.
【解析】本题考点是对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性.切记同增异减的规则.
由题意可知，解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为
.
【答案】D
2. 【2018·全国卷Ⅱ】若在是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【变式】【2015四川理9】如果函数在区间上单调递减，那么的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】 当时，抛物线的对称轴为；
当时，，即.因为，所以.
由且，得；
当时，抛物线开口向下，根据题意可得，，即.
因为，所以.由且，得，故应舍去.
要使得取得最大值，应有.
法二：本题还可从二次函数的角度考查，由整理得对任意成立.因为，函数的对称轴，故函数在区间
上单调递增.所以当时，有最小值，由，得.故的取值范围为.
【模拟考场】
1．【2016·北京卷】下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
【答案】D
2.【2014 北京理2】下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）.
A. B. C. D.
【解析】A选项，函数在 上为增函数，符合要求；
B选项，函数在 上为减函数，不符合题意；
C选项，函数在 上为减函数，不符合题意；
D选项，函数在 上为减函数，不符合题意；
【答案】A
3.【2014 陕西理 7】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）.
A. B. C. D.
【解析】A选项:由，，得到，所以A错.
B选项，，得到，所以B错.
C选项，函数是定义在R上的减函数，所以C错误.
D选项，，，得到，又函数
是定义在R上的增函数，所以D正确.
【答案】D
4.f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f (x)＋f(x－8)≤2的解集为________．
【答案】(8,9]
5．【2018·山东日照调研】函数f(x)＝的最大值为____.
【解析】当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝1；当x<1时，易知函数
f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
【答案】2
6.【2017·浙江高考】若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
【解析】
法一：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.
∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B．
法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，故函数f(x)在区间[0,1]的最大值M和最小值m变化，
则M－m的值在变化，故与a有关．故选B．
【答案】B
7.【2017·浙江卷】已知函数f(x)＝ln(x＋)＋在区间[－k，k](k>0)上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝__ __.
【答案】4
8.【2014 大纲理22】函数.
（1）讨论的单调性；（2）设，求证：.
解：（I）的定义域为．
（i） 当时，若，则在上是增函数；
若则在上是减函数；
若则在上是增函数．
（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数．
（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则
在上是减函数；若，则在上是增函数．
（II）由（I）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，
，即．下面用数学归纳法证明．
（i）当时，由已知，故结论成立；
（ii）假设当时结论成立，即．当时，
，
即当时有，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何结论都成立．
