高中数学选修2-3教学课件数学归纳法证明不等式

高中数学选修2-3教学课件数学归纳法证明不等式

思考 1 思考 2 复习引入 练习答案 1. 验证第一个命题成立 ( 即 n ＝ n 0 第一个命题对应的 n 的值，如 n 0 ＝ 1) ( 归纳奠基） ； 2. 假设当 n = k 时命题成立，证明当 n = k ＋ 1 时命题也成立 ( 归纳递推） . 数学归纳法 : 关于正整数 n 的命题 ( 相当于多米诺骨牌 ), 我们可以采用下面方法来证明其正确性： 由 (1) 、 (2) 知，对于一切 n ≥ n 0 的自然数 n 都成立！ 用上假设，递推才真 注意 : 递推基础不可少 , 归纳假设要用到 , 结论写明莫忘掉 . 答案 证明贝努利不等式你有第二种方法吗？ 例 4 、已知 x >  1 ，且 x  0 ， n  N * ， n ≥ 2 ． 求证： (1+ x ) n >1+ nx. （ 2 ）假设 n = k ( k ≥ 2) 时，不等式成立，即 (1+ x ) k >1+ kx 当 n = k +1 时，因为 x >  1 ，所以 1+ x >0 ，于是 左边 =(1+ x ) k +1 证明 :(1) 当 n =2 时，左＝ (1 ＋ x ) 2 =1+2 x + x 2 ∵ x  0 ，∴ 1+2 x + x 2 >1+2 x = 右 ,∴ n =2 时不等式成立 =(1+ x ) k (1+ x )>(1+ x )(1+ kx )=1+( k +1) x + kx 2 ； 右边 =1+( k +1) x ． 因为 kx 2 ＞ 0 ，所以左边＞右边，即 (1+ x ) k +1 >1+( k +1) x ． 这就是说，原不等式当 n = k +1 时也成立． 根据 (1) 和 (2) ，原不等式对任何不小于 2 的自然数 n 都成立 . 1 答案 2 答案 你能根据上面不等式推出均值不等式吗？ 1. 求证 : 证 :(1) 当 n =1 时 , 左边 = , 右边 = , 由于 故不等式成立 . (2) 假设 n = k ( ) 时命题成立 , 即 则当 n = k +1 时 , 即当 n = k +1 时 , 命题成立 . 由 (1) 、 (2) 原不等式对一切 都成立 . 1. 求证 :