湖北省武汉一中2020届高三下学期4月模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

湖北省武汉一中2020届高三下学期4月模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法表示集合，然后用集合交集的定义求出.‎ ‎【详解】因为，，所以，因此有 ‎，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的交集运算.用列举法表示集合是解题的关键.‎ ‎2.已知i为虚数单位，则复数的虚部是( )‎ A. 3i B. i C. 3 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的混合运算，对复数进行化简，再求其虚部即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 故可得的虚部为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的混合运算，涉及复数虚部的辨析，属基础题.‎ ‎3.已知数列为等差数列，前项和为，且则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 根据等差数列的前项和公式和等差中项的概念，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为数列为等差数列且，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题.‎ ‎4.已知直线，，平面、、，给出下列命题：‎ ‎①，，，则；‎ ‎②，，，则；‎ ‎③，，则；‎ ‎④，，，则.‎ 其中正确的命题有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若，，则与平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④.‎ ‎【详解】①由线面平行的性质定理可知①正确；‎ ‎②由面面平行的性质定理可知，，因为，所以，即②正确；‎ ‎③若，，则与平行或相交，即③错误；‎ ‎④由面面垂直的判定定理可知④正确.‎ 所以正确的命题有①②④，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查点、线，面的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.‎ ‎5.若=，=2，且（），则与的夹角是 A. B. C. D. ‎ - 20 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,,所以与的夹角是 .‎ ‎6.计算结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用诱导公式将化为，然后用余弦的差角公式逆用即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.‎ ‎7.已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ）‎ A. x2﹣y2＝1 B. y2＝1 C. y2＝1 D. y2＝1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，得，解得，即可得到本题答案.‎ - 20 -‎ ‎【详解】因为抛物线的焦点为，的其中一条渐近线为，‎ 由题，得，解得，‎ 所以双曲线得标准方程为，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查双曲线标准方程的求法，其中涉及抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程.‎ ‎8.若，满足约束条件，则的最小值为( )‎ A. 9 B. 6.5 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得.‎ ‎【详解】不等式组所表示的可行域为下图中的，‎ 因为目标函数与直线平行，‎ 故当目标函数对应的直线经过点时，取得最小值3.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题.‎ ‎9.定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（ ）‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵函数为奇函数，‎ ‎∴，‎ 即,‎ 整理得在上恒成立，‎ ‎∴,‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎,‎ ‎ ∴函数的零点在区间内．选C．‎ ‎10.若直线与圆相切，则实数的值为　　‎ A. B. C. 或1 D. 或1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得，解可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，圆，其圆心为，半径；‎ 若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离，‎ 解可得；‎ 故选：A．‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查圆的切线方程、涉及点到直线的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题。‎ ‎11.已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为的正方形，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，设四棱锥中，球半径为，底面中心为且球心为，可得OP⊥底面ABCD．，，在中，利用勾股定理解得R，即可得出球的表面积．‎ ‎【详解】如图所示，设球的半径为，底面中心为且球心为.‎ ‎∵四棱锥中，，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴中，，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴该球的表面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查几何体的外接球问题，此类问题常常构造直角三角形利用勾股定理进行求解，属于中等题.‎ - 20 -‎ ‎12.关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，先做出图像，然后找到最大根，利用斜率公式可得与的大小关系.‎ ‎【详解】由题意作出与在的图象，如图所示：‎ ‎ ‎ ‎∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.‎ ‎∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，‎ ‎，则，‎ 斜率则 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数和导函数的综合知识，解题的关键是在于数形结合以及导数的几何意义，属于较难题目.‎ 二、填空题（共4小题）‎ ‎13.在中，，是边上一点，，，，则的长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 先由余弦定理得，求得，再由正弦定理得，解出得 ‎【详解】由余弦定理得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 由正弦定理得：，‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，在解三角形时要灵活运用这两个定理，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力.‎ ‎14.已知正实数，满足，则的最小值是 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，当且仅当时，等号成立，‎ ‎∴，即的最小值是．‎ 考点：基本不等式求最值．‎ ‎15.设，点为抛物线上一点，为焦点，以为圆心为半径的圆被轴截得的弦长为6，则圆的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 结合已知，利用垂径定理和勾股定理可求出的值，进而求出的值；把代入抛物线方程，求出的值，可得圆心坐标和半径，从而得到所求的圆的标准方程.‎ ‎【详解】由题意可得点到轴的距离为，又已知圆被轴截得的弦长为6，‎ 得，‎ 则，‎ 所以，‎ 因为点为抛物线上一点，且，‎ 所以，‎ 故圆的标准方程为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题是一道关于圆和抛物线的题目，求出圆心坐标和半径是关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.‎ ‎16.定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由知，可构造函数，在上为减函数；于是，由与可得：，于是可得答案.‎ ‎【详解】∵，‎ - 20 -‎ ‎∴构造函数，‎ 则，‎ ‎∴‎ ‎∴在上为减函数.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的解集的解集为 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 三、解答题（共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（一）必考题 ‎17.记为等比数列的前项和，，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）已知，且的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等比数列通项公式及求和公式，代入即可求得公比，进而求得通项公式．‎ ‎（2）根据等比数列的乘积，表示为指数为等差数列求和，进而求得 - 20 -‎ ‎，再根据二次函数的单调性求得最大值即可．‎ ‎【详解】（1）设的公比为，由题意得：‎ 所以，即 则 所以.‎ ‎（2）‎ 当或4时，取得最大值，且.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，等差数列求和公式的应用及最值求法，属于基础题．‎ ‎18.在直三棱柱中，是的中点，是上一点.‎ ‎（1）当时，证明：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明 与两线垂直，利用线面垂直的判定定理得出 平面 - 20 -‎ ‎ ；（2）若 ，则 ，可求 ，即可求三棱锥 体积.‎ 试题解析：（1）证明：因为是的中点，所以，‎ 在直三棱柱中，因为底面，底面，所以,‎ 因为，所以平面，因为平面，所以.‎ 在矩形中，因为，‎ 所以，所以，所以,‎ ‎（或通过计算，得到为直角三角形）‎ 所以，因为，所以平面.‎ ‎（2）解：因为平面，,‎ 因为是的中点，所以，在中，,‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以.‎ ‎19.在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如表：‎ - 20 -‎ 参考数据：，其中.‎ ‎（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？‎ ‎（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为组，使用手机且成绩优秀的同学记为组，计划从组推选的4人和组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验.求挑选的两人中一人来自组、另一人来自组的概率.‎ ‎【答案】（1）有的把握认为中学生使用手机对学习有影响（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.‎ ‎【详解】（1）根据题意计算观测值为，‎ 所以有的把握认为中学生使用手机对学习有影响；‎ ‎（1）记组推选的4人为、、、，组推选的2人为、，‎ 则从这6人中任取2人，基本事件为：‎ ‎、、、、、、、、、、、、、、共15种；‎ 其中1人来于组，1人来于组的基本事件为：‎ - 20 -‎ ‎，、、、、、、共8种；‎ 故所求的概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20.已知;为椭圆的左、右焦点,过作斜率为的直线交椭圆于两点，且 ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）过线段上任意一点(不含端点)，作直线与垂直，交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）已知得，由和椭圆的定义，得，结合三角形面积可求得，然后得，从而得椭圆方程；‎ ‎（2）直线求出两点坐标，得，设方程为，由两点坐标求出的范围，设，由韦达定理得，由椭圆中弦长公式求得弦长，由的范围可得范围，从而得四边形面积范围．‎ ‎【详解】解：由已知得 所以由和椭圆的定义，得 并且.又 得.故 所以椭圆 直线，代入，得 - 20 -‎ 从而得，此时 又设直线. 由条件知 将代入，得，‎ 设.‎ 则 所以 又 ‎，当且仅当时取等号 综上，四边形面积的取值范围是 ‎【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．本题直线与椭圆相交的两条弦长问题反映了解析几何中的两种方法：一是直线求出交点坐标，由两点间距离公式求得弦长，一是设直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得两根之和与两根之积，然后由弦长公式计算．对含有参数的弦长第二种方法较适用．‎ ‎21.已知函数f（x）＝（x﹣a）cosx﹣sinx，g（x）x3ax2，a∈R ‎（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；‎ ‎（2）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．‎ ‎【答案】（1）零点的个数为0，（2）无极值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ ‎（1）结合函数的单调性和极值，即可得到本题答案；‎ ‎（2）先求导，再分类讨论，即可得到的单调区间和极值，由此即可得到本题答案.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎∴，‎ 因为当时，，‎ 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，‎ 当时，函数取得最大值，‎ 所以函数在区间上零点的个数为0；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 令，则，‎ 所以在上为增函数，又，‎ 所以当时，，‎ 当时，.‎ ‎①若时，‎ 当时，恒成立，故在上单调递增，‎ 当时，恒成立，故上单调递增，‎ 当时，恒成立，故在上单调递减，‎ 故有2个极值；‎ ‎②若时，‎ 当时，恒成立，故在上单调递增，‎ - 20 -‎ 当时，恒成立，故在上单调递增，‎ 当时，恒成立，故上单调递减，‎ 故有2个极值点；‎ ‎③当时，，‎ 当时，恒成立，故在上单调递增，‎ 当时，恒成立，故在上单调递增，‎ ‎∴在R上单调递增，无极值点．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值的问题，考查学生的运算能力和转化能力，以及分类讨论思想的运用.‎ ‎（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积（其中为坐标原点）.‎ ‎【答案】(1) 曲线:,曲线：.‎ ‎(2)1.‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问首先将参数方程消参化为普通方程，之后应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得结果，第二问联立对应曲线的极坐标方程，求得对应点的极坐标，结合极径和极角的意义，结合三角形面积公式求得结果.‎ - 20 -‎ 详解：（1）由曲线：（为参数），消去参数得：‎ 化简极坐标方程为：‎ 曲线：（为参数）消去参数得：‎ 化简极坐标方程为：‎ ‎（2）联立 即 联立 即 故 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在求解的过程中，需要明确由参数方程向普通方程转化的过程中，即为消参的过程，注意消参的方法，再者就是直角坐标与极坐标之间的转换关系，在求有关三角形面积的时候，注意对极坐标的意义的把握，求得结果.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若不等式有解，求实数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数，满足，证明：.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)原问题等价于.由绝对值三角不等式可得，则，实数的最大值.‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数，满足，由柯西不等式可知 - 20 -‎ ‎，即(当且仅当时取“=”).‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)若不等式有解，只需的最大值即可.‎ 因为，所以，解得，‎ 所以实数的最大值.‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数，满足，由柯西不等式可知，‎ 所以，，因为，均为正实数，所以(当且仅当时取“=”).‎ - 20 -‎ - 20 -‎