数学理卷·2018届湖北省天门、仙桃、潜江三市高二下学期期末考试（2017-06）

数学理卷·2018届湖北省天门、仙桃、潜江三市高二下学期期末考试（2017-06）

天门 仙桃 潜江 ‎ 2016~2017学年度第二学期期末联考试题 高二数学(理科)‎ 本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，集合，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设随机变量x服从正态分布N（2，9），若，则m=‎ ‎ A． B． C． D．2‎ ‎4．设复数，若，则的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设x，y满足约束条件 则的最大值是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若抛物线上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为 ‎ ‎ A． B． ‎ C．或 D．或 ‎9．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 ‎ A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 ‎10．公元前300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示。‎ 若输入m=98，n=63，则输出的m= ‎ ‎ A．7 B．28‎ C．17 D．35‎ ‎11．在三棱锥中，，为等边三角形，，‎ 是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义：如果函数在上存在，满足，‎ ‎ ，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）‎ ‎13．如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），‎ 函数．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点 取自阴影部分的概率等于 ▲ ． ‎ ‎14．的展开式中，的系数是 ▲ ．（用数字填写答案） ‎ ‎15．设圆的切线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为 ▲ ． ‎ ‎16．设表示不超过x的最大整数，如：．给出下列命题：‎ ‎①对任意实数x，都有；‎ ‎②若，则；‎ ‎③；‎ ‎④若函数，则的值域为．‎ 其中所有真命题的序号是 ▲ ． ‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 已知各项均不相等的等差数列的前四项和，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前n项和，若对恒成立，求实数的最小值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 某城市一汽车出租公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：‎ A车型 B车型 出租天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 出租天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 车辆数 ‎5‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎15‎ ‎3‎ ‎2‎ 车辆数 ‎14‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；‎ ‎（Ⅲ）（ⅰ）试写出A，B两种车型的出租天数的分布列及数学期望；‎ ‎ （ⅱ）如果两种车辆每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆（注：两种车型的采购价格相当），请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图所示的平面图形中，ABCD是边长为2的正方形，△HDA和△GDC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，点E是线段GC的中点．现将△HDA和△GDC分别沿着DA，DC翻折，直到点H和G重合为点P．连接PB，得如图的四棱锥．‎ ‎ （Ⅰ）求证：PA//平面EBD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆，抛物线的焦点均在x轴上，的中心和的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是，，，．‎ ‎（Ⅰ）求，的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）是否存在直线l满足条件：①过的焦点F；②与交于不同的两点M，N且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数的图象在点两处的切线分别为l1，l2．若，且，求实数c的最小值．‎ 请考生在22，23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4—4坐标系与参数方程选讲】‎ 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合。曲线（t为参数），曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）将曲线，分别化为普通方程、直角坐标方程，并说明表示什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）设F（1，0），曲线与曲线相交于不同的两点A，B，求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4—5不等式选讲】‎ 已知的最小值为b．‎ ‎（Ⅰ）求b；‎ ‎（Ⅱ）已知，求证：．‎ 天门、仙桃、潜江2016~2017学年度第二学期期末联考 高二数学（理科）参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎ CBBDB CBCBA BD 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14．10 15． 16．①②④‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．解：（Ⅰ）设公差为 ‎ 由已知得………………………………3分 ‎ 解得或（舍去），则，故………………………6分 ‎（Ⅱ）因为 ‎ 所以…………………9分 ‎ 因为对恒成立， 即对于恒成立 ‎ 又 ‎ 所以的最小值为…………………………………………………………12分 ‎18．解：（Ⅰ）这辆汽车是A型车的概率约为 ‎ 故这辆汽车是A型车的概率为0.6………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）设 “事件表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”， “事件表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中，则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 ‎…………………………5分 ‎ ‎ ‎ 故该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为 ‎4天的概率为………………………………………………………………8分 ‎（Ⅲ）（ⅰ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P ‎0.05‎ ‎0.10‎ ‎0.30‎ ‎0.35‎ ‎0.15‎ ‎0.03‎ ‎0.02‎ ‎ 设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为 Y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P ‎0.14‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.16‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎ ‎ ‎ …10分 ‎（ⅱ）一辆A类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.48天，故选择A类车型的出租车更加合理……12分 ‎19．解：（Ⅰ）证明：连接AC交BD于点O，‎ 连接EO，因为四边形ABCD 是正方形，所以O为AC的中点，‎ 又因为E为PC中点，‎ 所以EO为△CPA的中位线，‎ 所以EO//PA ……………………………………2分 因为EO平面EDB，PA平面EDB 所以PA//平面EDB………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由题意有，‎ ‎ 故DA，DC，DP两两垂直 ‎ 如图，以D为原点建立空间直角坐标系……………………6分 ‎ 有 ‎ 由题知 ‎ 又因为AC平面ABCD，所以，‎ ‎ 又，，所以 ‎ 所以平面PBD的法向量是………………………………8分 ‎ 设平面PBC的法向量，‎ ‎ 由于，‎ ‎ 则有，所以 ‎ 令，得……………………………………………………10分 ‎ 则 ‎ 由图可知求二面角的平面角为锐角，‎ ‎ 所以二面角的大小为60o…………………………………12分 ‎20．解：（Ⅰ）设抛物线，则有，‎ ‎ 据此验证四个点知，在抛物线上，‎ ‎ 易得，抛物线的标准方程为………………………………2分 ‎ 设椭圆，把点，代入可得 ‎ 所以椭圆的标准方程为……………………………………5分 ‎ （Ⅱ）由椭圆的对称性可设的焦点为F（1，0），‎ ‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ‎ 直线l交椭圆于点 ‎ ，不满足题意…………………………………………6分 ‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 并设 ‎ 由，消去y得， ，‎ ‎ 于是 ‎ ①，‎ 由得 ②‎ ‎ 将①代入②式，得，解得 ‎ 所以存在直线l满足条件，且l的方程为或…12分 ‎21．解：函数，求导数 ‎（Ⅰ）当时，‎ 若，则恒成立，‎ 所以在上单调递减；若，则 令，解得或（舍）‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增．‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是……5分 ‎ （Ⅱ）由知，，而，则， ‎ 若， 则 ‎ 所以， 解得，不符合题意…………………………………7分 ‎ 故，则 ‎ 整理得由得…………………………10分 ‎ 令，则， 所以 ‎ 设，当时，，在上单调递减；‎ ‎ 当时，，在上单调递增 ‎ 所以函数的最小值为，故实数c的最小值为…12分 ‎22．解：（Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程得，表示一条直线．‎ ‎ 曲线的方程可变形为，化为直角坐标方程可得 曲线表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线……………………5分 ‎（Ⅱ）由，消去y，可得 ‎ 设，则，易知F（1，0）为曲线的焦点 ‎ 所以=…………………………10分23．解：（Ⅰ）………………………………3分 ‎ 所以………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设，则 ‎ ‎ ‎ …………10分 ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎