2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得： ，所以， ，即焦点到准线的距离为，故选C.‎ ‎ ‎ ‎2．若角满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，选D.‎ ‎3．离心率为，且过点的焦点在轴上的椭圆的标准方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆过点，则，又由其离心率为，即，则， ，即，此时椭圆的方程为，故选D.‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，如果输出，则输入的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】该程序框图表示的是通项为的前项和，‎ ‎ ， 输出结果为， ，得，故选B.‎ ‎5．由公差为的等差数列重新组成的数列是（　　）‎ A. 公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列 C. 公差为的等差数列 D. 非等差数列 ‎【答案】B ‎【解析】设新数列的第项是，则 ， ， 此新数列是以为公差的等差数列，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法： （是常数），则数列是等差数列(2) 等差中项法： （），则数列是等差数列；(3) 通项公式： (为常数)， 则数列是等差数列；(4) 前n项和公式： (为常数) ， 则数列是等差数列.本题先利用方法(1)‎ 判定出数列是等差数列后再进行解答的.‎ ‎6．已知，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，，因为，，所以 ‎ （当且仅当 时等号成立），故选D.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎7．在中， （分别为角的对边），则的形状为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】因为，由正弦定理当 可得， ，因为 ，所以 ， 的形状为直角三角形，故选A.‎ ‎8．已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：在中令，得，此时，所以的图象恒过，所以命题为假，为真．由为偶函数和，即，所以的对称轴为，所以命题为假，为真，所以为真，故选D．‎ ‎【考点】1、指数函数的图象；2、抽象函数的对称性；3、逻辑联结词．‎ ‎【方法点睛】（1）求形如（且）的图象所过的定点，通常令，求得相应的值，进而得到定点坐标，而对求形如（‎ 且）的函数图象所过的定点坐标，通常令，，求得相应的值，进而确定点坐标；（2）若函数满足，则的图象的对称轴为或满足，则的图象的对称轴为．‎ ‎9．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， 对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值． ∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，∴中， ，所以，即，∴，可得，∴，∵，∴．故选B．‎ ‎【考点】椭圆的几何性质．‎ ‎【思路点睛】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， 对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得结论．本题将角的问题转化为三角形边的问题，再用椭圆的几何性质解决．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎10．如图，在中， ，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎， ，又， ，故选D.‎ ‎11．数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由数列的通项公式为可知数列是一个周期为的周期数列，其前四项分别为，故.‎ ‎【考点】1、特殊角的三角函数；2、周期数列的和.‎ 二、填空题 ‎12．命题“”的否定是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】特称命题“”的否定为全称命题“ ”。‎ ‎13．在数列中，已知其前项和为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】时， 两式相减可得， 时， ， ，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式 的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.‎ ‎14．设实数满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ 表示可行域内的点 到原点距离的平方，出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知原点到直线的距离,就是点 到原点距离的最近距离，由点到直线距离公式可得 ，所以的最小值为 ，故答案为.‎ ‎15．下列命题中，假命题的序号有__________．‎ ‎（1）“”是“函数为偶函数”的充要条件；‎ ‎（2）“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直平面”的充分条件；‎ ‎（3）若，则；‎ ‎（4）若，则.‎ ‎【答案】（2）（3）‎ ‎【解析】（1）若“函数为偶函数”，则，‎ 即，则，‎ 平方得，‎ 即，则，即，‎ 则“”是“函数为偶函数”的充要条件；正确；‎ ‎（2）“直线垂直平面内无数条直线”则“直线垂直平面”不一定成立，故（2）错误；‎ ‎（3）当时，满足，但不成立，故（3）错误；‎ ‎（4）若： ，则： 正确．‎ 故答案为：（2）（3）‎ 三、解答题 ‎16．已知函数.‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若，解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1），结合图像可得不等式解集（2），所以根据根的大小进行分类讨论： 时，为； ，为； 时，为 试题解析：（1）当时，不等式，‎ 即，解得．‎ 故原不等式的解集为．‎ ‎（2）因为不等式，‎ 当时，有，‎ 所以原不等式的解集为；‎ 当时，有，‎ 所以原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为 ‎17．已知数列是等差数列, 满足,数列满足,且数列为等比数列.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由等差数列的定义可求得的通项公式，设等比数列的公比为,由等比数列的定义可求得的值，进而得到的表达式，则可得到的通项公式；（2）根据（1）中的通项公式所具有的特征，等差数列和等比数列之和，故可采用分组求和得结果.‎ 试题解析：（1）设等差数列的公差为,由题意得,设等比数列的公比为,由题意得,解得,.‎ ‎（2）由（1）知,, .‎ ‎【考点】（1）求数列的通项公式；（2）数列求和.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）已知是三边长，且的面积.求角及的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】试题分析：（2）由函数的结构形式可得，应用正弦的和差的展开式公式，以及余弦的二倍角逆运算公式，将函数化简，再通过应用角和差的逆运算公式，将函数化简，即可求得最小正周期，和单调递增区间.‎ ‎（2）在三角形中，根据（Ⅰ）的结论，求出角C.又由已知面积、c边长这三个条件即可解三角形，及求出的值.本小题在解关于的方程组时要用到整体的思想.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ Com]‎ ‎,，‎ 函数的递增区间是 ‎（2）或a=5,b=8‎ ‎【考点】1.三角形函数的恒等变换公式.2.解三角形的知识.3.整体的数学思想.‎ ‎19．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知过原点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ ‎【答案】(1）（2）(4,0)‎ ‎【解析】试题分析：（1）直线的方程为: ，与抛物线方程联立，利用弦长公式根据列方程可求得，从而可得该抛物线的方程；（2）‎ 直线的方程为： ，联立，得，根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，从而可得结果.‎ 试题解析：（1）拋物线的焦点，∴直线的方程为: .‎ 联立方程组，消元得: ，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 解得.‎ ‎∴抛物线的方程为： .‎ ‎（2）由（1）直线的斜率不为0，设直线的方程为： ，‎ 联立，得，‎ 则①.‎ 设，则.‎ 所以或（舍）,‎ 所以直线DE过定点（4,0）.‎ ‎20．已知数列满足，且（且）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项之和，求证： .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由,可得，即，可得出{{}}为等差数列.最终可求出{an}的通项公式；‎ ‎(2)采用错位相减法求出,再变形即可求证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N）∴∴，∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列； ∴；‎ ‎（2）∵Sn=，∴2Sn=，两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）•2n﹣3，∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴．‎ ‎21．已知椭圆，其长轴为，短轴为.‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率.‎ ‎（2）直线经过定点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件可得， 即得椭圆的方程，及离心率．（2）先设直线方程为： ，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最大值 试题解析：解：（Ⅰ） ， ， ，‎ ‎∴椭圆的方程为： ，离心率： ．‎ ‎（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为： ，‎ 由，得，‎ ‎，‎ 由得： ，‎ 设， ，则 ‎， ，‎ ‎，‎ 又∵原点到直线的距离，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 此时面积的最大值为．‎ 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎