【数学】2018届一轮复习人教A版选修4-5第1讲绝对值不等式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版选修4-5第1讲绝对值不等式学案

知识点 考纲下载 绝对值不等式 理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：‎ ‎(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.‎ ‎(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ 不等式的证明 ‎1.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．‎ ‎2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：‎ ‎(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n为大于1的正整数)．‎ 了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．‎ ‎3．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．‎ ‎4．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．‎ 柯西不等式与排序不等式 ‎1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．‎ ‎(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.‎ ‎(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.‎ ‎(3)＋≥.‎ ‎(此不等式通常称为平面三角不等式)‎ ‎2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：‎ a·b≥(aibi)2 .‎ ‎3．会用向量递归方法讨论排序不等式．‎ 第1讲　绝对值不等式 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P222])‎ ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<－a}‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．‎ ‎　绝对值不等式的解法[学生用书P223]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　解下列不等式：‎ ‎(1)x＋|2x＋3|≥2；‎ ‎(2)|x－1|－|x－5|<2.‎ ‎【解】　(1)原不等式可化为或 解得x≤－5或x≥－.‎ 综上，原不等式的解集是.‎ ‎(2)①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ 所以－4<2，不等式恒成立，所以x≤1.‎ ‎②当12，‎ 所以x>2.‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ ‎　绝对值三角不等式的证明及应用[学生用书P223]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)如果a，b∈R.求证|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.‎ ‎【证明】　(1)当ab≥0时，ab＝|ab|，‎ 所以|a＋b|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝|a|＋|b|.‎ 当ab<0时，ab＝－|ab|，‎ 所以|a＋b|＝ ‎＝ ‎＝ ‎< ‎＝ ‎＝|a|＋|b|.‎ 所以|a＋b|≤|a|＋|b|，‎ 当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.‎ 所以由绝对值不等式的性质，得 ‎|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|‎ ‎≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|‎ ‎＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.‎ 即|x＋5y|≤1.‎ 如果a，b，c∈R，求证|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎[证明] 由a，b∈R，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立，‎ 有|a－c|＝|(a－b)＋(b－c)|≤|a－b|＋|b－c|，‎ 当且仅当(a－b)(b－c)≥0时等号成立．‎ ‎(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．‎ ‎(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．确定“|x－a|a恒成立⇔f(x)min>a.　 ‎ ‎(3)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．‎ ‎　已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.‎ ‎(1)当a＝－2时，求不等式f(x)－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．‎ ‎[解] (1)当a＝－2时，不等式f(x)0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．‎ ‎[解] (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.‎ 由此可得x≥3或x≤－1.‎ 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．‎ ‎(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.‎ 此不等式可化为 或即或 结合a>0，解得x≤－，即不等式f(x)≤0的解集为.‎ 因为不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，‎ 所以－＝－1，故a＝2.‎ ‎3．设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．‎ ‎(1)证明：f(x)≥2；‎ ‎(2)若f(3)<5，求a的取值范围．‎ ‎[解] (1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.当且仅当“a＝1”时等号成立．‎ 所以f(x)≥2.‎ ‎(2)f(3)＝＋|3－a|.‎ 当a>3时，f(3)＝a＋，‎ 由f(3)<5得36的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立，求m的取值范围．‎ ‎[解] (1)当m＝3时，f(x)>6，即|x＋3|－|5－x|>6，‎ 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集．‎ ，解得x≥5；‎ 或，解得46的解集为{x|x>4}．‎ ‎(2)f(x)＝|x＋m|－|5－x|≤|(x＋m)＋(5－x)|＝|m＋5|，‎ 由题意得|m＋5|≤10，则－10≤m＋5≤10，解得－15≤m≤5，‎ 故m的取值范围为[－15，5]．‎ ‎6．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解] (1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.‎ 当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，‎ 解得－1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4.‎ 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|‎ ‎＝ 所以当x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，即01的解集；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解，求实数m的取值范围．‎ ‎[解] (1)函数f(x)可化为f(x)＝ 当x≤－2时，f(x)＝－3<0，不合题意；‎ 当－21，得x>0，即01，即x≥1.‎ 综上，不等式f(x)>1的解集为(0，＋∞)．‎ ‎(2)关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解等价于(f(x)＋4)max≥|1－2m|，‎ 由(1)可知f(x)max＝3(也可由|f(x)|＝||x＋2|－|x－1||≤|(x＋2)－(x－1)|＝3，得f(x)max＝3)，‎ 即|1－2m|≤7，解得－3≤m≤4.‎ ‎8．(2017·云南省统考)已知a、b都是实数，a≠0，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.‎ ‎(1)若f(x)>2，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．‎ ‎[解] (1)f(x)＝ 由f(x)>2得或 解得x<或x>.‎ 所以所求实数x的取值范围为∪.‎ ‎(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得 ≥f(x)．‎ 又因为≥＝2，‎ 所以f(x)≤2.‎ 因为f(x)>2的解集为，‎ 所以f(x)≤2的解集为，‎ 所以所求实数x的取值范围为.‎ ‎9．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.‎ ‎(1)解不等式|g(x)|<5；‎ ‎(2)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解] (1)由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，‎ 所以－7<|x－1|<3，解得－2

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