2017-2018学年福建省三明市三地三校高二下学期期中联考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年福建省三明市三地三校高二下学期期中联考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省三明市三地三校高二下学期期中联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若复数（为虚数单位）则+在复平面内对应的点的坐标是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:利用复数加法法则求出+，然后得到其在复平面内对应的点的坐标.‎ 详解：∵，∴‎ ‎∴+‎ ‎∴+在复平面内对应的点的坐标是 故选：D 点睛：本题考查了复数的加法运算及其几何意义，属于基础题.‎ ‎2．下列关于回归分析的说法中错误的有（ ）个 ‎(1). 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高. ‎ ‎(2). 回归直线一定过样本中心。‎ ‎(3). 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好。‎ ‎(4) .甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好.‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析: 可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．‎ 详解：对于(1) 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故（1）错误；‎ 对于（2），回归直线一定过样本中心，（2）正确；‎ 对于（3），两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，（3）正确；‎ 对于（4），越大，拟合效果越好，故（4）错误；‎ 故选：C 点睛：本题主要考查线性相关指数的理解，解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，属于基础题．‎ ‎3．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）．‎ ‎①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数， 2019不能被2整除； ‎ ‎②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方；‎ ‎③在数列中，，，由此归纳出的通项公式；‎ ‎④由“三角形内角和为”得到结论：直角三角形内角和为 .‎ A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析: 演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果③是一个归纳推理，②是一个类比推理，①④是演绎推理．‎ 详解：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，‎ 演绎推理的特点是从一般到特殊，‎ 根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，‎ ‎①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数， 2019不能被2整除，是演绎推理，故①不选；‎ ‎②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方，是类比推理，‎ 不是演绎推理，故选②；‎ ‎③在数列中，，，由此归纳出的通项公式，是归纳推理 不是演绎推理，故选③；‎ ‎④由“三角形内角和为”得到结论：直角三角形内角和为，是演绎推理，‎ 故④不选；‎ 总上可知②③符合要求，‎ 故选：B 点睛：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，解题关键明确各推理的定义，属于基础题.‎ ‎4．对于命题：，若用反证法证明该命题，下列假设正确的是（ ）．‎ A. 假设，都不为0 B. 假设，至少有一个不为0‎ C. 假设，都为0 D. 假设，中至多有一个为0‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析: 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．‎ 详解：用反证法证明命题“”时，‎ 假设正确的是：假设，都不为0．‎ 故选：A．‎ 点睛：反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.‎ ‎5．某校高二年级航模兴趣小组共有10人，其中有女生3人，现从这10人中任意选派2人去参加一项航模比赛，则有女生参加此项比赛的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析: 设“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件，利用互斥事件的概率公式即可求解 详解：“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件．‎ 从10名同学中任选2人共有10×9÷2=45种选法（即45个基本事件），‎ 而事件A包括3×7个基本事件，事件B包括3×2÷2=3个基本事件，‎ 故P=P（A）+P（B）=+==‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查了古典概型与互斥事件相结合的问题，考查学生的逻辑推理能力及计算能力，属于中档题．‎ ‎6．给出下列类比推理命题(其中为有理数集，为实数集，为复数集)，其中类比结论正确的是（ ）‎ A. “若，则”类比推出“若，则”.‎ B. 类比推出 C. 类比推出 D. “若，则”类比推出“若，则”.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析: 在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，故而合理的进行发散联想以及合理的外推，是解得本题的关键．‎ 详解：A．当a，b∈C，两个复数的虚部相等且不为0，即使a﹣b＞0，这两个虚数仍无法比较大小，故A错误；‎ B．“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若x∈C，|z|＜1表示复数模小于1，不能⇒﹣1＜z＜1，故B错误；‎ C．在复数集C中，若z1，z2∈C，z12+z22=0，则可能z1=1且z2=i．故C错误；‎ D．若a，b∈C，则|a+b|≤|a|+|b|”，可知D正确．‎ 故选：D．‎ 点睛：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．‎ ‎7．将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两次点数之和为6点”，事件B为“两次点数相同”，则概率的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:分两步走，先得到“两次点数之和为6点”的情况，再得到“两次点数相同”的情况，‎ 最后作商即可.‎ 详解：根据条件概率的含义，其含义为在A发生的情况下，B发生的概率，‎ 即在“两次点数之和为6点”的情况下，“两次点数相同”的概率，‎ ‎“两次点数之和为6点”的情况，共5种，‎ ‎“两次点数相同”则只有一个，‎ 故=．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎8．若随机变量的分布列为：‎ 已知随机变量 ，且，则与的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:‎ 详解：由随机变量的分布列可知，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选：C 点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9．设，则( )‎ A. - B. C. - D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析: 在已知等式中分别取与，即可得到：，，‎ 从而得到结果.‎ 详解：令，得到，‎ 再令，得到 ‎∴‎ 故选：B 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，解题的关键是根据目标的结构特点合理的赋值，属于中档题.‎ ‎10．某校从6名教师（含有甲、乙、丙）中选派3名教师同时去3个边远地区支教（每地1人），其中甲和丙不同去，甲和乙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（ ）‎ A. 120种 B. 90种 C. 42种 D. 36种 ‎【答案】C ‎【解析】分析: 先从6名教师中选出3名，因为甲和丙不同去，甲和乙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把3名老师分配去3个边远地区支教，3名教师进行全排列即可．‎ 详解：分两步，‎ 第一步，先选三名老师，又分两类 第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有C31=3种不同选法 第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C43=4种不同选法 ‎∴不同的选法有3+4=7种 第二步，三名老师去3个边远地区支教，有A33=6，‎ 根据分步计数原理得不同的选派方案共有，7×6=42．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．‎ ‎11．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有种不同的方案，其中的值为（ ）‎ A. 543 B. 425 C. 393 D. 275‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，易得5‎ 名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．第二种先分组再排列，问题得以解决．‎ 详解：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x==243种，‎ 当每项比赛至少要安排一人时，先分组有（+）=25种，再排列有=6种，所以y=25×6=150种，‎ 所以x+y= 393．‎ 故选：C．‎ 点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．‎ ‎12．把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，‎ 记表示第行的第个数，例如 = ，若=，则（ ）‎ A. 36 B. 37 C. 38 D. 45‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析: 由A（，）表示第行的第个数可知，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的，根据规律求得．‎ 详解：由A（，）表示第行的第n个数可知，‎ 根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的 所以第44行的最后一个项的项数为442=1936，即为a1936；‎ 所以第45行的最后一个项的项数为452=2025，即为a2025；‎ 所以若A（，）=a2014，一定在45行，即 =45，‎ 所以a1937是第所以第45行的第一个数，2018﹣1937+1=82，‎ 故 =82．‎ 所以．‎ 故选：B．‎ 点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ 二、填空题 ‎13．如果复数 （为虚数单位）为纯虚数，则实数 = _______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析: 复数z为纯虚数，则它的实部为零，虚部不为零，可求a的值．‎ 详解：∵复数 （为虚数单位）为纯虚数，‎ ‎∴，∴ =2‎ 故答案为：2‎ 点睛：对于复数z=a+bi，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0‎ ‎14．设随机变量～，若,则________.‎ ‎【答案】0.5‎ ‎【解析】分析:由正态密度曲线的对称性得到，从而得到结果.‎ 详解：∵随机变量～，,‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ 点睛：本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．‎ ‎15．二项式展开式中各项二项式系数之和是各项系数之和的倍,则展开式中的常数项为________‎ ‎【答案】-10‎ ‎【解析】分析: 根据二项式的展开式各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A=4B，得到次数n的值，写出通项式，当x的指数是0时，得到结果．‎ 详解：令x=1，得A=4n， ‎ 而B=2n， ‎ 所以4n=4•2n，解得n=2 ‎ 所以展开式中的常数项为，‎ 故答案为：10．‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎16．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有___________种不同的种花方法.‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】分析: 根据题意，分4步进行分析：依次分析区域1、2、3、4和5的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ 详解：根据题意，分4步进行分析：‎ ‎①，对于区域1，有4种颜色可选，即有4种着色方法，‎ ‎②，对于区域2，与区域1相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，‎ ‎③，对于区域3，与区域1、2相邻，有2种颜色可选，即有2种着色方法，‎ ‎④，对于区域4，若其颜色与区域2的相同，区域5有2种颜色可选，‎ 若其颜色与区域2的不同，区域4有1种颜色可选，区域5有1种颜色可选，‎ 则区域4、5共有2+1=3种着色方法；‎ 则一共有4×3×2×（1+2）=72种着色方法；‎ 故答案为：72‎ 点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．‎ 三、解答题 ‎17．（1）设复数，是虚数单位，且 ,求的值.‎ ‎（2）图中复平面内点表示复数，若复数对应的点在第二象限，求实数取值范围. ‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）根据复数的模长公式进行化简即可；‎ ‎（2）先化简复数，再根据复数的几何意义得到结果．‎ 详解：（1）∵，，‎ ‎∴ ， ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ， ‎ ‎（2）由图可得, ‎ ‎∴， ‎ 又∵复数对应的点在第四象限， ‎ ‎∴ ‎ ‎∴．‎ 点睛：本题主要考查复数的基本运算以及复数的几何意义的应用，考查学生的运算能力，属于基础题.‎ ‎18．设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an－2 (n∈N)‎ ‎（1）求的值，并由此猜想数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）由Sn＝2an－2 (n∈N)，将n=1，2，3，4代入上式计算，猜想即可；‎ ‎（2）对于an=（n∈N），用数学归纳法证明即可．①当n=1时，证明结论成立，②假设当n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，利用归纳假设，去证明当n=k+1时，结论也成立即可．‎ 详解：(1)当n＝1时，， ‎ 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×a2－2，∴a2＝4. ‎ 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×a3－2，∴a3＝8. ‎ 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16. ‎ 由此猜想： (n∈N)． ‎ ‎ (2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立． ‎ ‎②假设n＝k(k≥1且k∈N)时，猜想成立，即， ‎ 那么n＝k＋1时，‎ ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak ‎ ‎∴ak＋1=2ak， ‎ 这表明n＝k＋1时，猜想成立，‎ 由①②知猜想 成立．‎ 点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.‎ ‎19．为缓减人口老年化带来的问题，中国政府在2016年1月1日作出全国统一实施全面的“二孩”政策，生“二孩”是目前中国比较流行的元素。某调查机构对某校学生做了一个是否同意父母生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”．现已得知100人中同意父母生“二孩”占75%，统计情况如下表：‎ ‎（1）请补充完整上述列联表；‎ ‎（2）根据以上资料你是否有95%把握，认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由．‎ 参考公式与数据：，其中 ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意，补充完整2×2列联表；‎ ‎（2）计算，结合临界值表，作出判断.‎ 详解：（1）由题意可得列联表如下：‎ ‎（2） ‎ 没有95﹪的把握认为同意父母生“二孩”与性别有关.‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III） 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）‎ ‎20．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，某地要求这种产品在进入市场前必须进行两轮苛刻的核辐射检测，只有两轮检测都合格才能上市销售，否则不能销售。已知该产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，每轮检测结果只有“合格”、“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响。‎ ‎（1）求该产品不能上市销售的概率；‎ ‎（2）如果这种产品可以上市销售，则每件产品可获利50元；如果这种产品不能上市销售，则每件产品亏损80元（即获利为80元）。现有这种产品4件，记这4件产品获利的金额为元，求的分布列。‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析:（1）记“该产品不能销售”为事件A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；‎ ‎（2）由已知可知X的取值为﹣320，﹣190，﹣60，70，200，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列．‎ 详解：（1）记“该产品不能上市销售”为事件，‎ 则， ‎ 所以该产品不能上市销售的概率为. ‎ ‎（2）由已知可知X的取值为. ‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎. ‎ 所以X的分布列为：‎ ‎（注：设4件产品能上市销售的件数为，用为0，1，2，3，4，分别求出的可酌情给分）‎ 点睛：求解离散型随机变量的分布列的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确.‎ ‎21．经观测，某昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度xi和产卵数yi（i=1，2，…，10）的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表．‎ 表中 , ‎ ‎（1）根据散点图判断， , 与 哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表中数据． ‎ ‎①试求y关于x回归方程；‎ ‎②已知用人工培养该昆虫的成本h（x）与温度x和产卵数y的关系为h（x）=x（lny﹣2.4）+170，当温度x（x取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？ ‎ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…（un，vn），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=，α=﹣β．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，可得结论；‎ ‎（2）①由变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合，即可求出y对x的回归方程；‎ ‎②代入转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的图象与性质可得结论．‎ 详解：（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为y与x之间的回归方程模型； ‎ ‎（2）① 令z=lny ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎② ‎ 时，培养成本的预报值最小．‎ 点睛：求线性回归直线方程的步骤 ‎（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；‎ ‎（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；‎ ‎（3）求： ；‎ ‎（4）写出回归直线方程．‎ ‎22．设实数成等差数列，实数成等比数列，非零实数是与的等差中项.‎ 求证：.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：由题意易得，再结合目标合理变形即可.‎ 详解：依题意可得 ‎ 所以y=2m-x ,y=2n-z ‎ 由y2=xz 得 (2m-x)(2n-z) =xz ‎ 即4mn-2nx-2mz+xz= xz ‎ 即2mn=nx+mz ‎ 所以 ‎ 点睛：‎ 所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．‎ 所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法．‎ 应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：“若要证明A，则先证明B；‎ 若要证明B，则先证明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，‎ 必先C成立，……”。‎