河北省部分重点高中2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

河北省部分重点高中2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

‎2020年河北省部分重点高中高三年级期末考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,集合,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合, 再求即可.‎ ‎【详解】解: 已知全集，集合，‎ 则,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查集合的交并补运算,属于基础题.‎ ‎2.复数（其中为虚数单位）的虚部等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：,所以虚部为，故应选B.‎ 考点：复数的运算．‎ 点评：本题直接考查复数的运算，我们要熟练掌握复数的运算．属于基础题型．‎ ‎3.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于数列为等比数列，将已知条件转化为的形式，解方程组可求得的值.‎ ‎【详解】由于数列为等比数列，故，，由于数列各项为正数，故，选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解等比数列的有关计算问题.要注意题目给定公比是正数.属于基础题.‎ ‎4.某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表：‎ 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲 ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ 学生乙 ‎81‎ ‎83‎ ‎85‎ 学生丙 ‎90‎ ‎86‎ ‎82‎ 则下列结论正确的是（　　）‎ A. 甲，乙，丙第三次月考物理成绩的平均数为86‎ B. 在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C. 在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D. 在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表格中数据，利用平均数公式以及方差的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可．‎ ‎【详解】由表格中数据知，甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为 ‎，错误；‎ 这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分为85，‎ 丙的成绩平均分最高为，∴错误；‎ 这三次月考物理成绩中，乙的成绩波动性最小，最稳定，∴正确；‎ 这三次月考物理成绩中，甲的成绩波动性最大，方差最大，∴错误．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了平均数公式、方差的定义与性质，是基础题．方差反映了随机变量稳定于均值的程度，， .‎ ‎5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )‎ A. 54 B. ‎27 ‎C. 18 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为矩形，两边为6,3，棱锥的高为3，所以体积为 考点：三视图 ‎6.已知且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解的值即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 由于，故，‎ 据此可知.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7.已知抛物线为双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出的坐标，将代入抛物线方程求出双曲线的三参数的关系，则双曲线的离心率可求.‎ ‎【详解】抛物线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，‎ ‎，‎ 点是两曲线的一个交点，且轴，‎ 将代入双曲线方程得到，‎ 将的坐标代入抛物线方程可得,‎ ‎，‎ 即，解得，‎ ‎，‎ 解得，故选A .‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ ‎8.下列命题中真命题的个数是　　‎ 中，是的三内角A，B，C成等差数列的充要条件；‎ 若“，则”的逆命题为真命题；‎ 是或充分不必要条件；‎ 是的充要条件．‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中中，的三内角A，B，C成等差数列；在中，当时不成立；在中，是或的逆否命题是真命题；在中，是的充分不必要条件．‎ ‎【详解】中，的三内角A，B，C成等差数列，故正确；‎ 若“，则”的逆命题“若，则”，‎ 当时不成立，故若“，则”的逆命题为假命题，故错误；‎ 是或逆否命题是：‎ 若且，则，真命题，‎ 或，‎ 是或充分不必要条件，故正确；‎ 在定义域范围内是单增函数：可得到 在定义域范围内是单增函数：可得到 可见，，但是当时，推不出，‎ 不存在，是的充分不必要条件，故错误．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意充分条件、必要条件、充要条件和四种命题的合理运用．‎ ‎9.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的安排方法共有（ ）‎ A. 252种 B. 112种 C. 70种 D. 56种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，所以可以考虑先把7名学生分成2组，再把两组学生安排到两间不同的宿舍，分组时考虑到每个宿舍至少安排2名学生，所以可按一组2人，另一组5人分，也可按照一组3人，令一组4人分，再把分好组的学生安排到两间宿舍，就是两组的全排列．‎ ‎【详解】分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，‎ 一种是：一组2人，另一组5人，有C72＝21中分法； 另一种是：一组3人，另一组4人，有C73＝35中分法，‎ ‎∴共有21+35＝56种分组法．‎ 第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，共有A22＝2种分配方法，‎ 最后，把两步方法数相乘，共有（C72+C73）A22＝（21+35）×2＝112种方法，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了排列与组合相结合的排列问题，做题时要分清是分步还是分类，属于中档题．‎ ‎10.设，则二项式展开式中含项的系数是（ ）‎ A. B. ‎193 ‎C. D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由于 则含项的系数为,故选择A.‎ 考点：积分运算、二项式定理 ‎11.已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．‎ 详解：由，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 设（为常数），‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴当x=0时，；‎ 当时，，‎ 故当时，，当时等号成立，此时；‎ 当时，，当时等号成立，此时．‎ 综上可得，‎ 即函数的取值范围为．‎ 故选B．‎ 点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．‎ ‎12.已知为直角坐标系的坐标原点，双曲线上有一点 ‎（m>0），点P在轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A,B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设平行线方程为，由，解得，则，又点到直线的距离，化简得：，又，又，解得，所以方程是，故选A.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.‎ ‎13.设满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】-5‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．‎ ‎【详解】由x，y满足约束条件作出可行域如图，‎ 由图可知，目标函数的最优解为A，‎ 联立，解得A（﹣1，1）．‎ ‎∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．‎ 故答案为﹣5．‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎14. ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：定积分 ‎15.已知函数 的图象过点（0，‎ ‎ ），最小正周期为 ，且最小值为－1.若 ，的值域是 ，则m的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意易求,，由图象过（0， ），，可得，从而得函数解析式，由可得，由余弦函数性质及值域，可得，求解即可.‎ ‎【详解】由函数最小值为－1，，得，‎ 因为最小正周期为，所以，故，‎ 又图象过点（0， ）,所以 而，所以，‎ 从而，‎ 由，可得．‎ 因为,且，‎ 由余弦函数的图象与性质可知：，解得，‎ 故填.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦型函数的解析式，图象与性质，重点考查了单调性，属于中档题.‎ ‎16.数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论和两种情况即可求得的值.‎ ‎【详解】当时，恒成立，当时：‎ 当数列的公差时，即，‎ 据此可得，则，‎ 当数列的公差时，由题意有：，，‎ 两式作差可得：，‎ 整理可得：，即：，①‎ 则，②‎ ‎②-①整理可得：恒成立，‎ 由于，故，据此可得：，‎ 综上可得：的值为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的定义，数列的前n项和与通项公式的关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知数列的前项和满足，且，数列中，，，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，求的前项的和.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过，当时，可以求出的表达式，两式相减，得到 ‎，这样可以判断出数列是等比数列，再求出数列的通项公式.‎ ‎（2）观察，它是一个等差数列乘以一个等比数列，这样可以采用错位相减法为求的前项的和．‎ ‎【详解】（1）由得（）．两式相减得，即（）．又得，所以数列是等比数列，公比为2，首项为1，故．由可知是等差数列，公差，‎ 则．‎ ‎（2），‎ ‎ ①，‎ ‎ ②． ‎ ‎①②得 故．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、用错位相减法求数列和的方法.‎ ‎18.已知四棱锥的底面是菱形，，的中点是顶点在底面的射影，是的中点．‎ ‎　　　‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)根据菱形性质得MB⊥BC，再根据射影定义得PM⊥平面ABCD ，即得PM⊥BC ，由线面垂直判定定理得BC⊥平面PMB，最后根据面面垂直判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解平面PMC法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.‎ 试题解析: (1)证明　∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，‎ 且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.‎ 又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，‎ ‎∴PM⊥平面ABCD，‎ 又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，‎ 而PM∩MB＝M，PM，MB⊂平面PMB，‎ ‎∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，‎ ‎∴平面MPB⊥平面PBC ‎(2)解　法一　过点B作BH⊥MC，连接HN，‎ ‎∵PM⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，‎ 又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC＝M，‎ ‎∴BH⊥平面PMC，‎ ‎∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，‎ ‎∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，‎ 在菱形ABCD中，设AB＝‎2a，则MB＝AB·sin 60°＝a，‎ MC＝＝a.‎ 又由(1)知MB⊥BC，‎ ‎∴在△MBC中，BH＝＝a，‎ 由(1)知BC⊥平面PMB，PB⊂平面PMB，‎ ‎∴PB⊥BC，∴BN＝PC＝a，‎ ‎∴sin∠BNH＝＝＝.‎ 法二　由(1)知MA，MB，MP两两互相垂直，以M为坐标原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系M－xyz，不妨设MA＝1，‎ 则M(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，C(－2，，0)，‎ ‎∵N是PC的中点，∴N，‎ 设平面PMC的法向量为n＝(x0，y0，z0)，‎ 又∵＝(0，0，)，＝(－2，，0)，‎ ‎∴即 令y0＝1，则n＝，|n|＝，‎ 又∵＝，||＝，‎ ‎|cos〈，n〉|＝＝.‎ 所以，直线BN与平面PMC所成角的正弦值为.‎ ‎19.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为，且的垂直平分线交轴于点，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得到关于a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，线段的中点为，根据，得，解方程即得直线PQ的斜率.‎ ‎【详解】(1)因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值.‎ 所以，所以，故椭圆C的方程为:.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 当时，代入，‎ 得:.‎ 设，线段的中点为，‎ ‎，‎ 即 因为，则，所以，‎ 化简得，解得或，‎ 即直线的斜率为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若在有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1）只要求得在时的最小值即可证；‎ ‎（2）在上有两个不等实根，可转化为在上有两个不等实根，这样只要研究函数的单调性与极值，由直线与的图象有两个交点可得的范围．‎ 详解：（1）证明：当时，函数.则，‎ 令，则，令，得.‎ 当时，，当时，‎ 在单调递增，‎ ‎（2）解：在有两个零点方程在有两个根，‎ ‎ 在有两个根，‎ 即函数与的图像在有两个交点．，‎ 当时，，在递增 当时，，在递增 所以最小值为，当时，，当时，，在有两个零点时，的取值范围是．‎ 点睛：本题考查用导数证明不等式，考查函数零点问题．用导数证明不等式可转化这求函数的最值问题，函数零点问题可转化为直线与函数图象交点问题，这可用分离参数法变形，然后再研究函数的单调性与极值，从而得图象的大致趋势．‎ ‎21.11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.‎ ‎（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；‎ ‎（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.‎ ‎①求；‎ ‎②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中 的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；（2）①；②，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；‎ ‎（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，‎ 由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．‎ ‎【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎（2）由（1），‎ ‎，‎ 同理，经过2轮投球，甲的得分取值：‎ 记，，，则 ‎，，，，‎ 由此得甲的得分的分布列为：‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，∴，‎ 代入得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是等比数列，公比为，首项为，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先把曲线的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）把直线方程转化为极坐标方程，与曲线的极坐标方程联立，根据根与系数的关系，求得结果．‎ ‎【详解】（Ⅰ）曲线普通 方程为，‎ 则的极坐标方程为 ‎（Ⅱ）设，，‎ 将代入 ，得 所以，所以.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根的应用，属于基础题型．‎ ‎23.已知，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用的几何意义证明，表示点到原点的距离的平方，距离的最小值是原点到直线的距离，由此可证；‎ ‎（2）先求出的范围，然后可化为关于的二次函数形式，再由二次函数的性质可得最大值，从而证明结论．‎ ‎【详解】证明：（1）表示点到原点的距离的平方，而原点到直线的距离为，∴；‎ ‎（2）∵，∴，，‎ ‎，易知时，取得最大值．‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，证明方法与一般证明不等式的方法不同，第（1）小题利用二次式的几何意义，表示两点距离的平方，由此得证法，第（2）小题由已知条件变形后代数式化为关于的二次函数，由二次函数性质证明．这两种方法具有一定的局限性，注意体会．‎