2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第一次月考数学(理)试题 解析版

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2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第一次月考数学(理)试题 解析版

‎2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第一次月考 数学理科试题 ‎(考试范围:北师大版必修五第一章;考试时间:120分钟;总分:150分)‎ 命题人: 审题人:‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷(选择题 60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,每小题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,把正确的选项填在答题卡中)‎ ‎1.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:“正四面体的内切球切于四个面________.”(  )‎ A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点 ‎[答案] C ‎[解析] 正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形表示的侧面,所以边的中点对应的就是正三角形的中心.故选C.‎ ‎2.下列求导运算正确的是(  )‎ A.′=1+ B.(log2x)′= C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=2xsin x 解析: ∵′=1-,∴A错.(log2x)′=·=,∴B正确.故选B.‎ 答案: B ‎3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是(  )‎ A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析: 用反证法对命题的假设就是对命题的否定,“至多有一个”的否定是“至少有两个”,故选B.‎ 答案: B ‎4.函数y=x+e-x的增区间为(  )‎ A.(1,+∞) B.(0,+∞)‎ C.(-∞,0) D.(-∞,1)‎ 解析: 由y′=1-e-x>0解得x>0.‎ 答案: B ‎5.函数f(x)=x3+ax+1在(-∞,-1)上为增加的,在(-1,1)上为减少的,则f(1)等于(  )‎ A. B.1 C. D.-1‎ 解析: ∵f′(x)=x2+a,又f′(-1)=0,∴a=-1,f(1)=-1+1=.‎ 答案: C ‎6.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数f′(x)的图像如图所示,则函数f(x)的极小值是(  )‎ A.a+b+c B.8a+4b+c C.3a+2b D.c 解析: 由f′(x)的图像知:x=0是f(x)的极小值点,‎ ‎∴f(x)min=f(0)=c.‎ 答案: D ‎7.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为(  )‎ A.a1a2a3…a9=29 B.a1+a2+…+a9=29‎ C.a1a2…a9=2×9 D.a1+a2+…+a9=2×9‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由等差数列的性质知,a1+a9=a2+a8=…=2a5,故D成立.‎ ‎8.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为(  )‎ A.y=x-1 B.y=-x+1‎ C.y=2x-2 D.y=-2x+2‎ 解析: 由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y=x-1.‎ 答案: A ‎9.用数学归纳法证明恒等式:1+2+3+…+n2=,则由n=k到n=k ‎+1时,等式左端应添加的项是(  )‎ A.k2+1 B.(k+1)2‎ C.[(k+1)+1]2 D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2‎ 解析: n=k时,左端为1+2+3+…+k2,n=k+1时,左端为1+2+3…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.两式相减,可知等式左端应添加的项是(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故选D.‎ 答案: D ‎10.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为(  )‎ A.6   B.8   C.10   D.12‎ ‎[答案] B ‎[解析] 设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vcm3,由题意,得V=x(48-2x)2(00,故选D.‎ ‎12.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0.对任意正数a、b,若a0,‎ 则af(b)≤bf(a).‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每空5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.函数y=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]的最大值为_______,最小值为_________.‎ 解析: y′=3x2-6x+6=3[(x-1)2+1]>0,所以函数f(x)在[-1,1]上为增函数,最大值为f(1)=2,最小值为f(-1)=-12.‎ 答案: 2 -12‎ ‎14.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是________________.‎ 解析: 由原函数有零点,可将问题转化为方程ex-2x+a=0有解问题,即方程a=2x-ex有解.‎ 令函数g(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex,令g′(x)=0,得x=ln 2,所以g(x)在(-∞,ln 2)上是增函数,在(ln 2,+∞)上是减函数,所以g(x)的最大值为:g(ln 2)=2ln 2-2.因此,a的取值范围就是函数g(x)的值域,所以,a∈(-∞,2ln 2-2].‎ ‎15.已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+, 则f2014(x)的表达式为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))==,f3(x)=f(f2(x))==,…,f2014(x)=.应寻求规律,找出解析式.‎ ‎16.如图为函数f(x)的图像,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f′(x)<0的解集为________.‎ ‎[答案] (-3,-1)∪(0,1)‎ ‎[解析] x·f′(x)<0⇔或 ‎∵(-3,-1)是f(x)的递增区间,‎ ‎∴f′(x)>0的解集为(-3,-1).‎ ‎∵(0,1)是f(x)的递减区间,‎ ‎∴f′(x)<0的解集为(0,1).‎ 故不等式的解集为(-3,-1)∪(0,1).‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)设函数f(x)=x3-x2-3x+1.求f(x)的单调区间和极值.‎ 解析: f′(x)=x2-2x-3,‎ 由f′(x)=0,得x=-1或x=3.‎ 列表如下:‎ x ‎(-∞,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,3)‎ ‎3‎ ‎(3,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎   ‎-8‎  ‎∴函数f(x)的极大值为,极小值为-8,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1) 和(3,+∞),递减区间是(-1,3).‎ ‎18.求与曲线y=x2相切,且与直线x+2y+1=0垂直的直线方程.‎ ‎18.答案:所求切线的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.‎ ‎19.求函数f(x)=ex(3-x2)在区间[2,5]上的最值 ‎19解:∵f(x)=3ex-exx2,∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3)=-ex(x+3)(x-1),‎ ‎∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,‎ ‎∴x=2时,函数f(x)取得最大值f(2)=-e2;x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.‎ ‎ 20. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值.‎ ‎(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若对x∈[-2,3],不等式f(x)+c0,解得x<-1或x>2.‎ 所以f(x)的减区间为(-1,2),增区间为(-∞,-1),(2,+∞).‎ ‎(2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1)上单调递增;‎ 在(-1,2)上单调递减;在(2,+∞)上单调递增.‎ 所以x∈[-2,3]时,f(x)的最大值即为f(-1)与f(3)中的较大者.‎ f(-1)=+c,f(3)=-+c.‎ 所以当x=-1时,f(x)取得最大值.‎ 要使f(x)+cf(-1)+c,‎ 即2c2>7+5c,解得c<-1或c>.‎ ‎ 所以c的取值范围为(-∞,-1)∪.‎ ‎21.(本小题满分12分)若函数f(x)=ax3-bx,当x=2时,函数f(x)有极值-.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.‎ 解析: f′(x)=3ax2-b.‎ ‎(1)由题意可得,‎ 解得.故所求的函数解析式为f(x)=x3-4x.‎ ‎(2)由(1)可知f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),‎ 当x<-2或x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增;‎ 当-2<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;‎ 因此,当x=-2时,f(x)有极大值;‎ 当x=2时,f(x)有极小值-.‎ 所以函数的大致图像如图所示.‎ 故实数k的取值范围是-<k<.‎ ‎22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R).‎ ‎(1)若f(x)在x=2时取得极值,求a的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调区间;‎ ‎(3)求证:当x>1时,x2+lnx0},‎ 所以当02时,f′(x)>0.‎ 所以当a=4时,x=2是f(x)的极小值点.所以a=4.‎ ‎(2)因为f′(x)=x-,‎ 所以当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).‎ 当a>0时,f′(x)=x-==,‎ 令f′(x)>0有x>,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(,+∞);‎ 令f′(x)<0有01时,g′(x)=>0,‎ 所以g(x)在(1,+∞)上是增函数.‎ 所以g(x)>g(1)=>0.‎ 所以当x>1时,x2+lnx
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