2018-2019学年安徽省池州市高一下学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省池州市高一下学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省池州市高一下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．不等式的解集为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】把不等式，转化为，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，不等式，化为，故解集为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的解法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2．设，则下列不等式恒成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用不等式的性质，合理推理，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以A项不正确；‎ 因为，所以，，则，所以B不正确；‎ 因为，则，所以，‎ 又因为，则，所以等号不成立，所以C正确；‎ 由，所以，所以D错误.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3．在中，角的对边分别为，若，则 A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】求得，根据，即可判定有两解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为，又由，且，所以有两解.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．—幼儿园有10个班，每个班有30名同学，每个班同学随机编号为01～30，为了了解他们家长对幼儿园管理方面的要求，对每班第19号同学的家长进行调查，这里运用的抽样方法是 A．抽签法 B．分层抽样法 C．随机数表法 D．系统抽样法 ‎【答案】D ‎【解析】根据系统抽样的概念和系统抽样的方法，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当总体容量较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了系统抽样概念及其判定，其中解答中熟记系统抽样的概念和抽取方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5．某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是 A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件 C．C与D是对立事件 D．B与D为互斥事件 ‎【答案】D ‎【解析】根据互斥事件和对立事件的概念，进行判定，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；‎ B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；‎ C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；‎ D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念及判定，其中解答中熟记互斥事件和对立事件的概念，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎6．高三学生甲和乙近五次月考数学成绩（单位:分）的茎叶图如下图，则下列说法错误的是 A．甲的得分的中位数为101‎ B．乙的得分的众数为105‎ C．甲的数学成绩更稳定 D．乙得分的极差为21‎ ‎【答案】C ‎【解析】由茎叶图，根据数据的中位数、众数和极差的概念，逐项判定，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图易知，甲的中位数为101，所以A是正确的；乙的众数为105，所以B是正确；‎ 乙得分的极差为，所以D是正确的，‎ 又由甲得分比较分散，乙得分比较集中，故乙的数学成绩更稳定，C错误，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的中位数、众数，以及极差的求得方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎7．已知等比数列，，则 A．16 B．‎ C．24 D．16或 ‎【答案】A ‎【解析】设公比为，由等比数列的性质可得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设公比为，由等比数列的性质可得，又，解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，求得十二边形的面积，利用面积比的几何概型，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，所以该正十二边形的面积为，‎ 由几何概型的概率计算公式，可得所求概率，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎9．已知实数满足，则的最大值是 A． B． C．3 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出线性约束条件表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解目标函数的最大值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，作出线性约束条件表示的可行域，如图所示，‎ 表示三角形阴影部分区域（含边界），‎ 设直线，平移直线时，目标函数取得最大值，‎ 又由，解得，‎ 此时目标函数的最大值为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎10．已知数列满足，若，则数列的通项 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得到，求得 ‎，进而得到数列的通项公式，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为，‎ 所以当时，‎ ‎.‎ 当时， 也成立，所以数列的通项.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中利用数列的递推关系式，合理利用叠加法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11．在中，角的对边分别为，满足，则 A．成等差数列 B．成等比数列 C．成等差数列 D．成等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】先利用三角恒等变换的公式，化简得，再由余弦定理，化简整理得，最后根据等比中项，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 又由余弦定理，可得，整理可得，‎ 所以，，成等比数列.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变换的公式化简，三角形的余弦定理，以及等比中项公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12．已知等差数列的前项和，若，则 A．12 B．13‎ C．14 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，求得，再由等差数列的前n项和公式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得表示最后四项和，所以，‎ 即，又，所以，解得.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的性质和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400。现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个样本，已知甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，那么在丙学校中抽取的数学成绩人数为_________。‎ ‎【答案】80‎ ‎【解析】由题意，求得甲乙丙三所学校抽样比为，再根据甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，即可求解丙学校应抽取的人数，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，甲乙丙三所学校参加联考的人数分别为200、300、400，‎ 所以甲乙丙三所学校抽样比为，‎ 又由甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，所以在丙学校应抽取人.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样概念及其应用，其中解答中熟记分层抽样的概念，以及计算的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14．执行如下的程序框图，则输出的的值为_.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】执行循环结构的程序框图，逐次循环计算，根据判断条件，即可得到输出的结果，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，执行循环结构的程序框图，可得：，‎ 不满足判断条件，执行循环体，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，；‎ 不满足判断条件，执行循环体，，‎ 此时满足判断条件，输出结果.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，其中解答中执行循环结构的程序框图，逐次循环计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15．在数列中，为定值，且，前项和为，则_.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则有，两式相减得，得到数列是以4项为周期的周期数列，进而得到，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可设（定值），则有，‎ 两式相减得，即数列是以4项为周期的周期数列，故，‎ 又因为，所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的周期性，以及数列递推关系式的应用，其中解答中得出数列是以4项为周期的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎16．在锐角中，角的对边分别为，其外接圆半径为，满足，角的平分线交于点，且，则_.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理可得，得到，再由正弦定理可得，求得，得到，最后利用三角形的面积相等，化简得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在中，由余弦定理可得，所以，即，‎ 又由正弦定理可得，所以，即，‎ 因为是锐角三角形，所以，‎ 又因为角的平分线交于点，且，‎ 所以的面积，‎ 化简可得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，是钝角，求b的最小值.‎ ‎【答案】（1）或.（2）‎ ‎【解析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，求得的值，即可求解角的大小；‎ ‎（2）由（1）和三角形的面积公式，可求得，再由余弦定理和基本不等式，即可求解的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，知，‎ 结合正弦定理得：，‎ 即，‎ 又在中，，可得，‎ 因为 所以或.‎ ‎（2）由三角形的面积公式，可得，‎ 又由，所以，‎ 因为是钝角，所以，‎ 由余弦定理得，‎ 当且仅当时取等号，所以的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.‎ ‎18．某服装店为庆祝开业“三周年”，举行为期六天的促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，第五天该服装店经理对前五天中参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎23‎ ‎22‎ ‎（1）若与具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）预测第六天的参加抽奖活动的人数（按四舍五入取到整数）.‎ 参考公式与参考数据：.‎ ‎【答案】（1）（2）预测第六天的参加抽奖活动的人数为29.‎ ‎【解析】（1）根据表中的数据，利用公式，分别求得的值，即可得到回归直线方程；‎ ‎（2）将代入回归直线方程，求得，即可作出判断，得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据表中的数据，可得，，‎ 则，‎ ‎，‎ 又由，‎ 故所求回归直线方程为.‎ ‎（2）将代入中，求得，‎ 故预测第六天的参加抽奖活动的人数为29.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的求解，以及回归直线方程的应用，其中解答中利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知数列的前项的和，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项的和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由，得到当时，，两式相减求得，验证时也成立，即可得到数列的通项公式；‎ ‎（2）根据题意，求得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项的和，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，因为，当时，，‎ 两式相减，可得，解得，‎ 当时，，适合上式，‎ 综上可得数列的通项公式为.‎ ‎（2）依题意，，‎ 所以，‎ ‎；‎ 两式相减，可得，‎ 所以数列的前项的和.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数导致错解，着重考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力，属于基础题.‎ ‎20．2019年是中华人民共和国成立70周年，某校党支部举办了一场“我和我的祖国”知识竞赛，满分100分，回收40份答卷，成绩均落在区间内，将成绩绘制成如下的频率分布直方图.‎ ‎（1）估计知识竞赛成绩的中位数和平均数；‎ ‎（2）从，分数段中，按分层抽样随机抽取5份答卷，再从对应的党员中选出3位党员参加县级交流会，求选出的3位党员中有2位成绩来自于分数段的概率.‎ ‎【答案】（1）中位数为80.平均数为（2）‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图可知，利用中位数和平均数的计算公式，即可求解.‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，分别求得，分数段中答卷数，利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图可知，前3个小矩形的面积和为，后2个小矩形的面积和为，所以估计中位数为80.‎ 估计平均数为.‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，分数段中答卷数分别为12，8，‎ 抽取比例为，所以，分数段中抽取的答卷数分别为3，2.‎ 记中对应的3为党员为，，，中对应的2为党员为，.‎ 则从中选出对应的3位党员，共有不同的选法总数10种：，，，，，，，，，.‎ 易知有2位来自于分数段的有3种，故所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中熟记频率直方图中中位数和平均数的计算方法，以及准确利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21．关于的不等式，其中为大于0的常数。‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若不等式的解集为，且中恰好含有一个整数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由不等式的解集为，得到一元二次不等式对应方程的判别式，即可求解；‎ ‎（2）由不等式对应方程的判别式，得到，设，利用一元二次方程和一元二次不等式的关系，得到不等式的解集中恰好含有一个整数1，转化为，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，不等式的解集为，‎ 则一元二次不等式对应方程的判别式，解得或，‎ 又因为，解得.‎ ‎（2）由题意，一元二次不等式对应方程的判别式，解得，‎ 又，所以，‎ 设，其对称轴为，‎ 因为，，所以对称轴，‎ 所以不等式解集中恰好含有一个整数，则整数只能是1，‎ 此时中恰好含有一个整数等价于，解得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次不等式与一元二次函数的关系，其中解答中熟练应用一元二次不等式和一元二次函数的关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎22．已知数列中，，前项的和为，且满足数列是公差为1的等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项的和为，且恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）1‎ ‎【解析】（1）当时，得，得到数列是首项为2，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求解.‎ ‎（2）由（1）可得，利用裂项法求得，再由 ‎，转化为对一切恒成立，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，因为，所以当时，得，‎ 又因为数列是首项为2，公差为1的等差数列，‎ 所以，整理得，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 所以数列的前项的和 又由，即，即对一切恒成立，‎ 当时，取得最大值1，所以，‎ 故的最大值为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式，以及数列的“裂项法”求和的应用，同时考查了数列的恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用“裂项法”求和，以及合理利用分离参数法求解恒成立问题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎