潍坊市中考数学试卷word解析

潍坊市中考数学试卷word解析

2017 年山东省潍坊市中考数学试卷 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选 或选出的答案超过一个均记 0 分） 1．下列算式，正确的是（　　） A．a3×a2=a6 B．a3÷a=a3C．a2+a2=a4 D．（a2）2=a4 2．如图所示的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据 报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了 1000 亿吨油当量．将 1000 亿用科 学记数法可表示为（　　） A．1×103 B．1000×108 C．1×1011 D．1×1014 4．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位 置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第 4 枚圆子 放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 5．用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于 （　　）之间． A．B 与 C B．C 与 D C．E 与 F D．A 与 B 6．如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α 与∠β 满足（　　） A．∠α+∠β=180° B．∠β﹣∠α=90° C．∠β=3∠α D．∠α+∠β=90° 7．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选选拔赛中，每人射击了 10 次，甲、乙两 人的成绩如表所示．丙、丁两人的成绩如图所示．欲选一名运动员参赛，从平均 数与方差两个因素分析，应选（　　） 甲 乙 平均数 9 8 方差 1 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= ，其中 ab＜0，a、b 为常数，它们 在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D ． 9．若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥2C．x＞1D．x＞2 10．如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长 AB 与 DC 相交于点 G，AO⊥ CD，垂足为 E，连接 BD，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（　　） A．50° B．60° C．80° D．90° 11 ． 定 义 [x] 表 示 不 超 过 实 数 x 的 最 大 整 数 ， 如 [1.8]=1 ， [﹣1.4]=﹣2 ， [﹣3]=﹣3．函数 y=[x]的图象如图所示，则方程[x]= x2 的解为（　　） #N． A．0 或 B．0 或 2 C．1 或 D． 或﹣ 12．点 A、C 为半径是 3 的圆周上两点，点 B 为 的中点，以线段 BA、BC 为 邻边作菱形 ABCD，顶点 D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　） A． 或 2 B． 或 2 C． 或 2 D． 或 2 　 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。只要求填写最后结果，每小 题全对得 3 分） 13．计算：（1﹣ ）÷ =　 　． 14．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=　 　． 15．如图，在△ABC 中，AB≠AC．D、E 分别为边 AB、AC 上的点．AC=3AD， AB=3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件：　 　，可以使得△FDB 与△ADE 相似．（只需写出一个） 16 ． 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 kx2﹣2x+1=0 有 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是　 　． 17．如图，自左至右，第 1 个图由 1 个正六边形、6 个正方形和 6 个等边三角形 组成；第 2 个图由 2 个正六边形、11 个正方形和 10 个等边三角形组成；第 3 个 图由 3 个正六边形、16 个正方形和 14 个等边三角形组成；…按照此规律，第 n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为　 　个． 18．如图，将一张矩形纸片 ABCD 的边 BC 斜着向 AD 边对折，使点 B 落在 AD 边 上，记为 B′，折痕为 CE，再将 CD 边斜向下对折，使点 D 落在 B′C 边上，记为 D′，折痕为 CG，B′D′=2，BE= BC．则矩形纸片 ABCD 的面积为　 　． 　 三、解答题（共 7 小题，满分 66 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤） 19．本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了 1000 米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘 制了如下不完整的统计图． （1）根据给出的信息，补全两幅统计图； （2）该校九年级有 600 名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？ （3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会 1000 米 比赛．预赛分别为 A、B、C 三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好 分在同一组的概率是多少？ 20．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD 的高度．该楼底层为车库， 高 2.5 米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地 1.5 米，在 A 处测得 五楼顶部点 D 的仰角为 60°，在 B 处测得四楼顶点 E 的仰角为 30°，AB=14 米．求 居民楼的高度（精确到 0.1 米，参考数据： ≈1.73） 21．某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tái）共 100 吨．第一批蒜薹价格为 4000 元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至 1000 元/吨．这两批蒜苔共用去 16 万 元． （1）求两批次购进蒜薹各多少吨？ （2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润 400 元，精加工每吨利润 1000 元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为 获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？ 22．如图，AB 为半圆 O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为 的中点，作 DE⊥ AC，交 AB 的延长线于点 F，连接 DA． （1）求证：EF 为半圆 O 的切线； （2）若 DA=DF=6 ，求阴影区域的面积．（结果保留根号和 π） 23．工人师傅用一块长为 10dm，宽为 6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容 器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计） （1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体 底面面积为 12dm2 时，裁掉的正方形边长多大？ （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处 理，侧面每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，裁掉的正 方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？ 24．边长为 6 的等边△ABC 中，点 D、E 分别在 AC、BC 边上，DE∥AB，EC=2 （1）如图 1，将△DEC 沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边 D′E′与 AC 的交点为 M，边 C′D′与∠ACC′的角平分线交于点 N，当 CC′多大时，四边形 MCND′为菱形？ 并说明理由． （2）如图 2，将△DEC 绕点 C 旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接 AD′、 BE′．边 D′E′的中点为 P． ①在旋转过程中，AD′和 BE′有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接 AP，当 AP 最大时，求 AD′的值．（结果保留根号） 25．如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c 经过平行四边形 ABCD 的顶点 A（0，3）、B （﹣1，0）、D（2，3），抛物线与 x 轴的另一交点为 E．经过点 E 的直线 l 将平行 四边形 ABCD 分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点 F．点 P 在直线 l 上 方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 t （1）求抛物线的解析式； （2）当 t 何值时，△PFE 的面积最大？并求最大值的立方根； （3）是否存在点 P 使△PAE 为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在， 说明理由． 　 2017 年山东省潍坊市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选 或选出的答案超过一个均记 0 分） 1．下列算式，正确的是（　　） A．a3×a2=a6 B．a3÷a=a3C．a2+a2=a4 D．（a2）2=a4 【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂 的乘方与积的乘方． 【分析】根据整式运算法则即可求出答案． 【解答】解：（A）原式=a5，故 A 错误； （B）原式=a2，故 B 错误； （C）原式=2a2，故 C 错误； 故选（D） 　 2．如图所示的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】U1：简单几何体的三视图． 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看是一个同心圆，內圆是虚线， 故选：D． 　 3．可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据 报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了 1000 亿吨油当量．将 1000 亿用科 学记数法可表示为（　　） A．1×103 B．1000×108 C．1×1011 D．1×1014 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与 小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 1000 亿用科学记数法表示为：1×1011． 故选：C． 　 4．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位 置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第 4 枚圆子 放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【考点】P6：坐标与图形变化﹣对称；D3：坐标确定位置． 【分析】首先确定 x 轴、y 轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断． 【解答】解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是 x 轴， 右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是 y 轴，则当放的位置是 （﹣1，1）时构成轴对称图形． 故选 B． 　 5．用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于 （　　）之间． A．B 与 C B．C 与 D C．E 与 F D．A 与 B 【考点】25：计算器—数的开方；29：实数与数轴． 【分析】此题实际是求﹣ 的值． 【解答】解：在计算器上依次按键转化为算式为﹣ =； 计算可得结果介于﹣2 与﹣1 之间． 故选 A． 　 6．如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α 与∠β 满足（　　） A．∠α+∠β=180° B．∠β﹣∠α=90° C．∠β=3∠α D．∠α+∠β=90° 【考点】JA：平行线的性质． 【分析】过 C 作 CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠α，∠2=180°﹣∠β，于 是得到结论． 【解答】解：过 C 作 CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥CF∥DE， ∴∠1=∠α，∠2=180°﹣∠β， ∵∠BCD=90°， ∴∠1+∠2=∠α+180°﹣∠β=90°， ∴∠β﹣∠α=90°， 故选 B． 　 7．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选选拔赛中，每人射击了 10 次，甲、乙两 人的成绩如表所示．丙、丁两人的成绩如图所示．欲选一名运动员参赛，从平均 数与方差两个因素分析，应选（　　） 甲 乙 平均数 9 8 方差 1 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】W7：方差；VD：折线统计图；W2：加权平均数． 【分析】求出丙的平均数、方差，乙的平均数，即可判断． 【解答】解：丙的平均数= =9， 丙的方差= [1+1+1=1]=0.4， 乙的平均数= =8.2， 由题意可知，丙的成绩最好， 故选 C． 　 8．一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= ，其中 ab＜0，a、b 为常数，它们 在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D ． 【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象． 【分析】根据一次函数的位置确定a、b 的大小，看是否符合 ab＜0，计算 a﹣b 确定符号，确定双曲线的位置． 【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得 a＞0，交 y 轴负半轴，则 b＜ 0， 满足 ab＜0， ∴a﹣b＞0， ∴反比例函数 y= 的图象过一、三象限， 所以此选项不正确； B、由一次函数图象过二、四象限，得 a＜0，交 y 轴正半轴，则 b＞0， 满足 ab＜0， ∴a﹣b＜0， ∴反比例函数 y= 的图象过二、四象限， 所以此选项不正确； C、由一次函数图象过一、三象限，得 a＞0，交 y 轴负半轴，则 b＜0， 满足 ab＜0， ∴a﹣b＞0， ∴反比例函数 y= 的图象过一、三象限， 所以此选项正确； D、由一次函数图象过二、四象限，得 a＜0，交 y 轴负半轴，则 b＜0， 满足 ab＞0，与已知相矛盾 所以此选项不正确； 故选 C． 　 9．若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥2C．x＞1D．x＞2 【考点】72：二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出 x 的范围； 【解答】解：由题意可知： ∴解得：x≥2 故选（B） 　 10．如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长 AB 与 DC 相交于点 G，AO⊥ CD，垂足为 E，连接 BD，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（　　） A．50° B．60° C．80° D．90° 【考点】M6：圆内接四边形的性质． 【分析】根据四点共圆的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得： ，则∠DBC=2∠EAD=80°． 【解答】解：如图，∵A、B、D、C 四点共圆， ∴∠GBC=∠ADC=50°， ∵AE⊥CD， ∴∠AED=90°， ∴∠EAD=90°﹣50°=40°， 延长 AE 交⊙O 于点 M， ∵AO⊥CD， ∴ ， ∴∠DBC=2∠EAD=80°． 故选 C． 　 11 ． 定 义 [x] 表 示 不 超 过 实 数 x 的 最 大 整 数 ， 如 [1.8]=1 ， [﹣1.4]=﹣2 ， [﹣3]=﹣3．函数 y=[x]的图象如图所示，则方程[x]= x2 的解为（　　） #N． A．0 或 B．0 或 2 C．1 或 D． 或﹣ 【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；2A：实数大小比较；E6：函数的 图象． 【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x≤2 时，则 x2=1；当﹣1≤x≤0 时，则 x2=0，当﹣2≤x＜﹣1 时，则 x2=﹣1，然后分别解关于 x 的一元二 次方程即可． 【解答】解：当 1≤x≤2 时， x2=1，解得 x1= ，x2=﹣ ； 当﹣1≤x≤0 时， x2=0，解得 x1=x2=0； 当﹣2≤x＜﹣1 时， x2=﹣1，方程没有实数解； 所以方程[x]= x2 的解为 0 或 ． 　 12．点 A、C 为半径是 3 的圆周上两点，点 B 为 的中点，以线段 BA、BC 为 邻边作菱形 ABCD，顶点 D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　） A． 或 2 B． 或 2 C． 或 2 D． 或 2 【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；L8：菱形的性质． 【分析】过B 作直径，连接 AC 交 AO 于 E，①如图①，根据已知条件得到 BD= ×2×3=2，如图②，BD= ×2×3=4，求得 OD=1，OE=2，DE=1，连接 OD， 根据勾股定理得到结论， 【解答】解：过 B 作直径，连接 AC 交 AO 于 E， ∵点 B 为 的中点， ∴BD⊥AC， ①如图①， ∵点 D 恰在该圆直径的三等分点上， ∴BD= ×2×3=2， ∴OD=OB﹣BD=1， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴DE= BD=1， ∴OE=2， 连接 OD， ∵CE= = ， ∴边 CD= = ； 如图②，BD= ×2×3=4， 同理可得，OD=1，OE=1，DE=2， 连接 OD， ∵CE= = =2 ， ∴边 CD= = =2 ， 故选 D． 　 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。只要求填写最后结果，每小 题全对得 3 分） 13．计算：（1﹣ ）÷ =　x+1　． 【考点】6C：分式的混合运算． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，从而可以解答本题． 【解答】解：（1﹣ ）÷ = = =x+1， 故答案为：x+1． 　 14．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=　（x+1）（x﹣2）　． 【考点】53：因式分解﹣提公因式法． 【分析】通过两次提取公因式来进行因式分解． 【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）． 故答案是：（x+1）（x﹣2）． 　 15．如图，在△ABC 中，AB≠AC．D、E 分别为边 AB、AC 上的点．AC=3AD， AB=3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件：　DF∥AC，或∠BFD=∠A　，可 以使得△FDB 与△ADE 相似．（只需写出一个） 【考点】S8：相似三角形的判定． 【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即 可． 【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A． 理由：∵∠A=∠A， = = ， ∴△ADE∽△ACB， ∴①当 DF∥AC 时，△BDF∽△BAC， ∴△BDF∽△EAD． ②当∠BFD=∠A 时，∵∠B=∠AED， ∴△FBD∽△AED． 故答案为 DF∥AC，或∠BFD=∠A． 　 16．若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围是　k≤1 且 k≠0　． 【考点】AA：根的判别式． 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关 于 k 的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为 0． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x+1=0 有实数根， ∴△=b2﹣4ac≥0， 即：4﹣4k≥0， 解得：k≤1， ∵关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x+1=0 中 k≠0， 故答案为：k≤1 且 k≠0． 　 17．如图，自左至右，第 1 个图由 1 个正六边形、6 个正方形和 6 个等边三角形 组成；第 2 个图由 2 个正六边形、11 个正方形和 10 个等边三角形组成；第 3 个 图由 3 个正六边形、16 个正方形和 14 个等边三角形组成；…按照此规律，第 n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为　9n+3　个． 【考点】38：规律型：图形的变化类． 【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论． 【解答】解：∵第 1 个图由 1 个正六边形、6 个正方形和 6 个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3； ∵第 2 个图由 11 个正方形和 10 个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3； ∵第 3 个图由 16 个正方形和 14 个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3， …， ∴第 n 个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3． 故答案为：9n+3． 　 18．如图，将一张矩形纸片 ABCD 的边 BC 斜着向 AD 边对折，使点 B 落在 AD 边 上，记为 B′，折痕为 CE，再将 CD 边斜向下对折，使点 D 落在 B′C 边上，记为 D′，折痕为 CG，B′D′=2，BE= BC．则矩形纸片 ABCD 的面积为　15　． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质． 【分析】根据翻折变化的性质和勾股定理可以求得 BC 和 AB 的长，然后根据矩 形的面积公式即可解答本题． 【解答】解：设 BE=a，则 BC=3a， 由题意可得， CB=CB′，CD=CD′，BE=B′E=a， ∵B′D′=2， ∴CD′=3a﹣2， ∴CD=3a﹣2， ∴AE=3a﹣2﹣a=2a﹣2， ∴DB′= = =2 ， ∴AB′=3a﹣2 ， ∵AB′2+AE2=B′E2， ∴ ， 解得，a= 或 a= ， 当 a= 时，BC=2， ∵B′D′=2，CB=CB′， ∴a= 时不符合题意，舍去； 当 a= 时，BC=5，AB=CD=3a﹣2=3， ∴矩形纸片 ABCD 的面积为：5×3=15， 故答案为：15． 　 三、解答题（共 7 小题，满分 66 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤） 19．本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了 1000 米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘 制了如下不完整的统计图． （1）根据给出的信息，补全两幅统计图； （2）该校九年级有 600 名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？ （3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会 1000 米 比赛．预赛分别为 A、B、C 三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好 分在同一组的概率是多少？ 【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC： 条形统计图． 【分析】（1）利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数，然 后计算出合格的人数和合格人数所占百分比，再计算出优秀人数，然后画图即可； （2）计算出成绩未达到良好的男生所占比例，再利用样本代表总体的方法得出 答案； （3）直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率． 【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷40%=40（人）； 抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣2=10， 合格所占百分比：10÷40=25%， 优秀人数：12÷40=30%， 如图所示： ； （2）成绩未达到良好的男生所占比例为：25%+5%=30%， 所以 600 名九年级男生中有 600×30%=180（名）； （3）如图： ， 可得一共有 9 种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有 3 种， 所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率 P= = ． 　 20．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD 的高度．该楼底层为车库， 高 2.5 米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地 1.5 米，在 A 处测得 五楼顶部点 D 的仰角为 60°，在 B 处测得四楼顶点 E 的仰角为 30°，AB=14 米．求 居民楼的高度（精确到 0.1 米，参考数据： ≈1.73） 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【分析】设每层楼高为x 米，由 MC﹣CC′求出 MC′的长，进而表示出 DC′与 EC′的 长，在直角三角形 DC′A′中，利用锐角三角函数定义表示出 C′A′，同理表示出 C′B′，由 C′B′﹣C′A′求出 AB 的长即可． 【解答】解：设每层楼高为 x 米， 由题意得：MC′=MC﹣CC′=2.5﹣1.5=1 米， ∴DC′=5x+1，EC′=4x+1， 在 Rt△DC′A′中，∠DA′C′=60°， ∴C′A′= = （5x+1）， 在 Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30°， ∴C′B′= = （4x+1）， ∵A′B′=C′B′﹣C′A′=AB， ∴ （4x+1）﹣ （5x+1）=14， 解得：x≈3.17， 则居民楼高为 5×3.17+2.5≈18.4 米． 　 21．某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tái）共 100 吨．第一批蒜薹价格为 4000 元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至 1000 元/吨．这两批蒜苔共用去 16 万 元． （1）求两批次购进蒜薹各多少吨？ （2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润 400 元，精加工每吨利润 1000 元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为 获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？ 【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用． 【分析】（1）设第一批购进蒜薹 x 吨，第二批购进蒜薹 y 吨．构建方程组即可解 决问题． （2）设精加工 m 吨，总利润为 w 元，则粗加工吨．由 m≤3，解得 m≤75，利 润 w=1000m+400=600m+40000，构建一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设第一批购进蒜薹 x 吨，第二批购进蒜薹 y 吨． 由题意 ， 解得 ， 答：第一批购进蒜薹 20 吨，第二批购进蒜薹 80 吨． （2）设精加工 m 吨，总利润为 w 元，则粗加工吨． 由 m≤3，解得 m≤75， 利润 w=1000m+400=600m+40000， ∵600＞0， ∴w 随 m 的增大而增大， ∴m=75 时，w 有最大值为 85000 元． 　 22．如图，AB 为半圆 O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为 的中点，作 DE⊥ AC，交 AB 的延长线于点 F，连接 DA． （1）求证：EF 为半圆 O 的切线； （2）若 DA=DF=6 ，求阴影区域的面积．（结果保留根号和 π） 【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算． 【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出 OD⊥EF，即可 得出答案； （2）直接利用得出 S△ACD=S△COD，再利用 S 阴影=S△AED﹣S 扇形 COD，求出答案． 【解答】（1）证明：连接 OD， ∵D 为 的中点， ∴∠CAD=∠BAD， ∵OA=OD， ∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∵DE⊥AC， ∴∠E=90°， ∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴OD⊥EF， ∴EF 为半圆 O 的切线； （2）解：连接 OC 与 CD， ∵DA=DF， ∴∠BAD=∠F， ∴∠BAD=∠F=∠CAD， 又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°， ∴∠F=30°，∠BAC=60°， ∵OC=OA， ∴△AOC 为等边三角形， ∴∠AOC=60°，∠COB=120°， ∵OD⊥EF，∠F=30°， ∴∠DOF=60°， 在 Rt△ODF 中，DF=6 ， ∴OD=DF•tan30°=6， 在 Rt△AED 中，DA=6 ，∠CAD=30°， ∴DE=DA•sin30 ，EA=DA•cos30°=9， ∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°， ∴CD∥AB， 故 S△ACD=S△COD， ∴S 阴影=S△AED﹣S 扇形 COD= ×9×3 ﹣ π×62= ﹣6π． 　 23．工人师傅用一块长为 10dm，宽为 6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容 器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计） （1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体 底面面积为 12dm2 时，裁掉的正方形边长多大？ （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处 理，侧面每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，裁掉的正 方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？ 【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用． 【分析】（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为 xdm，则题意可列出 方程，可求得答案； （2）由条件可求得 x 的取值范围，用 x 可表示出总费用，利用二次函数的性质 可求得其最小值，可求得答案． 【解答】解： （1）如图所示： 设裁掉的正方形的边长为 xdm， 由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12， 即 x2﹣8x+12=0，解得 x=2 或 x=6（舍去）， 答：裁掉的正方形的边长为 2dm，底面积为 12dm2； （2）∵长不大于宽的五倍， ∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得 0＜x≤2.5， 设总费用为 w 元，由题意可知 w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24， ∵对称轴为 x=6，开口向上， ∴当 0＜x≤2.5 时，w 随 x 的增大而减小， ∴当 x=2.5 时，w 有最小值，最小值为 25 元， 答：当裁掉边长为 2.5dm 的正方形时，总费用最低，最低费用为 25 元． 　 24．边长为 6 的等边△ABC 中，点 D、E 分别在 AC、BC 边上，DE∥AB，EC=2 （1）如图 1，将△DEC 沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边 D′E′与 AC 的交点为 M，边 C′D′与∠ACC′的角平分线交于点 N，当 CC′多大时，四边形 MCND′为菱形？ 并说明理由． （2）如图 2，将△DEC 绕点 C 旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接 AD′、 BE′．边 D′E′的中点为 P． ①在旋转过程中，AD′和 BE′有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接 AP，当 AP 最大时，求 AD′的值．（结果保留根号） 【考点】LO：四边形综合题． 【分析】（1）先判断出四边形 MCND'为平行四边形，再由菱形的性质得出 CN=CM，即可求出 CC'； （2）①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论； ②先判断出点 A，C，P 三点共线，先求出 CP，AP，最后用勾股定理即可得出结 论． 【解答】解：（1）当 CC'= 时，四边形 MCND'是菱形． 理由：由平移的性质得，CD∥C'D'，DE∥D'E'， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°， ∵CN 是∠ACC'的角平分线， ∴∠D'E'C'= ∠ACC'=60°=∠B， ∴∠D'E'C'=∠NCC'， ∴D'E'∥CN， ∴四边形 MCND'是平行四边形， ∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°， ∴△MCE'和△NCC'是等边三角形， ∴MC=CE'，NC=CC'， ∵E'C'=2 ， ∵四边形 MCND'是菱形， ∴CN=CM， ∴CC'= E'C'= ； （2）①AD'=BE'， 理由：当 α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'， 由（1）知，AC=BC，CD'=CE'， ∴△ACD'≌△BCE'， ∴AD'=BE'， 当 α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'， 即：AD'=BE'， 综上可知：AD'=BE'． ②如图连接 CP， 在△ACP 中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP， ∴当点 A，C，P 三点共线时，AP 最大， 如图 1，在△D'CE'中，由 P 为 D'E 的中点，得 AP⊥D'E'，PD'= ， ∴CP=3， ∴AP=6+3=9， 在 Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'= =2 ． 　 25．如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c 经过平行四边形 ABCD 的顶点 A（0，3）、B （﹣1，0）、D（2，3），抛物线与 x 轴的另一交点为 E．经过点 E 的直线 l 将平行 四边形 ABCD 分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点 F．点 P 在直线 l 上 方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 t （1）求抛物线的解析式； （2）当 t 何值时，△PFE 的面积最大？并求最大值的立方根； （3）是否存在点 P 使△PAE 为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在， 说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由 A、C 坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得 E 点坐标，从而可求得直线 EF 的解析式，作 PH⊥x 轴，交直线 l 于点 M，作 FN⊥ PH，则可用 t 表示出 PM 的长，从而可表示出△PEF 的面积，再利用二次函数的 性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可； （3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作 PG⊥y 轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值；当∠APE=90° 时，作 PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可 得到关于 t 的方程，可求得 t 的值． 【解答】解： （1）由题意可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3； （2）∵A（0，3），D（2，3）， ∴BC=AD=2， ∵B（﹣1，0）， ∴C（1，0）， ∴线段 AC 的中点为（ ， ）， ∵直线 l 将平行四边形 ABCD 分割为面积相等两部分， ∴直线 l 过平行四边形的对称中心， ∵A、D 关于对称轴对称， ∴抛物线对称轴为 x=1， ∴E（3，0）， 设直线 l 的解析式为 y=kx+m，把 E 点和对称中心坐标代入可得 ，解得 ， ∴直线 l 的解析式为 y=﹣ x+ ， 联立直线 l 和抛物线解析式可得 ，解得 或 ， ∴F（﹣ ， ）， 如图 1，作 PH⊥x 轴，交 l 于点 M，作 FN⊥PH， ∵P 点横坐标为 t， ∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣ t+ ）， ∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣ t+ ）=﹣t2+ t+ ， ∴S△PEF=S△PFM+S△PEM= PM•FN+ PM•EH= PM•（FN+EH）= （﹣t2+ t+ ）（3+ ）=﹣ （t﹣ ）+ × ， ∴当 t= 时，△PEF 的面积最大，其最大值为 × ， ∴最大值的立方根为 = ； （3）由图可知∠PEA≠90°， ∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°， ①当∠PAE=90°时，如图 2，作 PG⊥y 轴， ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA=45°， ∴∠PAG=∠APG=45°， ∴PG=AG， ∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得 t=1 或 t=0（舍去）， ②当∠APE=90°时，如图 3，作 PK⊥x 轴，AQ⊥PK， 则 PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t， ∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°， ∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA， ∴△PKE∽△AQP， ∴ = ，即 = ，即 t2﹣t﹣1=0，解 得 t= 或 t= ＜﹣ （舍去）， 综上可知存在满足条件的点 P，t 的值为 1 或 ． 　 2017 年 7 月 13 日