2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 12导数的概念及运算

2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 12导数的概念及运算

考点规范练12　导数的概念及运算 基础巩固组 ‎1.已知函数f(x)=‎3‎x+1,则limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎Δx的值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.0‎ ‎2.设f(x)=xln x,若f'(x0)=2,则x0=(　　)‎ A.e2 B.e C.ln2‎‎2‎ D.ln 2‎ ‎3.(2017课标Ⅰ高考改编)曲线y=x2+‎1‎x在点(1,2)处的切线方程为(　　)‎ A.y=-x+3 B.y=x+1‎ C.y=-2x+4 D.y=2x ‎4.(2017浙江嘉兴检测)已知曲线y=x+1‎x-1‎在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=(　　)‎ A.-2 B.2 C.-‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎5.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)等于(　　)‎ A.-e B.-1 C.1 D.e ‎6.‎ ‎(2017浙江丽水调研)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f'(5)=　　　　　;f(5)=　　　　　. ‎ ‎7.(2017天津高考)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　　. ‎ ‎8.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　　　　　　. ‎ 能力提升组 ‎9.过点(1,-1)且与曲线y=x3-2x相切的切线方程为(　　)‎ A.x-y-2=0或5x+4y-1=0‎ B.x-y-2=0‎ C.x-y+2=0‎ D.x-y-2=0或4x+5y+1=0‎ ‎10.已知函数f(x)=ln x-x3与g(x)=x3-ax的图象上存在关于x轴的对称点,则a的取值范围为(　　)‎ A.(-∞,e) B.(-∞,e]‎ C.‎-∞,‎‎1‎e D.‎‎-∞,‎‎1‎e ‎11.(2017安徽蚌埠质检)已知函数f(x)=xa-‎‎1‎ex,曲线y=f(x)上存在两个不同的点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-e2,+∞) B.(-e2,0)‎ C.‎-‎1‎e‎2‎,+∞‎ D.‎‎-‎1‎e‎2‎,0‎ ‎12.(2017广东梅州一检)设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若在区间(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=‎1‎‎12‎x4-‎1‎‎6‎mx3-‎3‎‎2‎x2,若对任意的实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”,则b-a的最大值为(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎13.(2017湖南娄底二模)将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为(　　)‎ A.π B.π‎2‎ C.π‎3‎ D.‎π‎4‎ ‎14.已知函数f(x)=x‎3‎‎3‎‎-‎b‎2‎x2+ax+1(a>0,b>0),则函数g(x)=aln x+f'(x)‎a在点(b,g(b))处切线的斜率的最小值是　　　　　. ‎ ‎15.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　　. ‎ ‎16.(2017福建质检)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,且当x>1时,f(x)=xex-2‎,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是　　　　　. ‎ ‎17.(2017湖南长沙调研)已知点M是曲线y=‎1‎‎3‎x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:‎ ‎(1)斜率最小的切线方程;‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围.‎ 答案：‎ ‎1.A　limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎Δx=-‎limΔx→0‎f(1-Δx)-f(1)‎‎-Δx ‎=-f'(1)=-‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎-‎‎2‎‎3‎=-‎‎1‎‎3‎‎.‎ ‎2.B　∵f'(x)=ln x+x‎·‎‎1‎x=ln x+1,‎ ‎∴ln x0+1=2,得ln x0=1,即x0=e.‎ ‎3.B　设y=f(x),‎ 则f'(x)=2x-‎1‎x‎2‎,所以f'(1)=2-1=1,‎ 所以在(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.‎ ‎4.A　由y'=‎-2‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎得曲线在点(3,2)处的切线斜率为-‎1‎‎2‎,又切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2,故选A.‎ ‎5.B　由f(x)=2xf'(1)+ln x,得f'(x)=2f'(1)+‎‎1‎x‎.‎ ‎∴f'(1)=2f'(1)+1.∴f'(1)=-1.故选B.‎ ‎6.-1　3　f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3.‎ ‎7.1　∵f(x)=ax-ln x,∴f'(x)=a-‎1‎x,f'(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.‎ ‎8.y=-2x-1　当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln x-3x.‎ 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,‎ 所以f'(x)=‎1‎x-3,f'(1)=-2.‎ 故所求切线方程为y+3=-2(x-1),‎ 即y=-2x-1.‎ ‎9.A　由于点(1,-1)在y=x3-2x上,当(1,-1)为切点时,切线斜率为y'|x=1=1,切线方程为y=x-2.‎ 当(1,-1)不是切点时,设切点为(x0,x‎0‎‎3‎-2x0),‎ 可得切线方程为y-x‎0‎‎3‎+2x0=(3x‎0‎‎2‎-2)·(x-x0),‎ 又切线过点(1,-1),可得x0=-‎1‎‎2‎,‎ 则切线方程为5x+4y=1.故选A.‎ ‎10.D　问题等价于方程ln x-x3+x3-ax=0有解,即方程ln x=ax有解,设函数y=ln x过原点的切线的切点为(x0,ln x0),切线方程为y-ln x0=‎1‎x‎0‎(x-x0).直线过原点,故可得x0=e,故此时切线斜率为‎1‎e,结合图象可知直线y=ax与函数y=ln x有交点时,a‎≤‎‎1‎e,故选D.‎ ‎11.D　∵曲线y=f(x)上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,∴f'(x)=a+(x-1)e-x=0有两个不同的解,即得a=(1-x)e-x有两个不同的解,设y=(1-x)e-x,则y'=(x-2)e-x,∴x<2,y'<0,x>2,y'>0,y=(1-x)e-x在(-∞,2)上递减,在(2,+∞)上递增.∴x=2时,函数取得极小值-e-2,又因为当x>2时总有y=(1-x)e-x<0,所以可得数a的取值范围是‎-‎1‎e‎2‎,0‎,故选D.‎ ‎12.C　当|m|≤2时,f″(x)=x2-mx-3<0恒成立等价于当|m|≤2时,mx>x2-3恒成立.当x=0时,f″(x)=-3<0显然成立.‎ 当x>0时,mx>x2-3⇒m>x-‎3‎x,∵m的最小值是-2,‎ ‎∴x-‎3‎x<-2,从而解得0x2-3⇒m2,从而解得-10,b>0,又g'(x)=ax‎+‎‎2x-ba,‎ 则g'(b)=ab‎+‎2b-ba=ab+ba≥‎2,‎ 所以斜率的最小值为2.‎ ‎15.1-ln 2　对函数y=ln x+2求导,得y'=‎1‎x,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=‎1‎x+1‎‎.‎设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=‎1‎x‎1‎(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=‎1‎x‎2‎‎+1‎(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,‎ 所以‎1‎x‎1‎‎=‎1‎x‎2‎‎+1‎,‎ln(x‎2‎+1)=ln x‎1‎+x‎2‎x‎2‎‎+1‎+1,‎解得x1=‎1‎‎2‎,‎ 所以k=‎1‎x‎1‎=2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.‎ ‎16.x+y=0　因为f(1-x)+f(1+x)=2,所以函数关于点(1,1)对称,x<1时,取点(x,y),关于(1,1)对称点是(2-x,2-y),代入x>1时的解析式f(x)=xex-2‎,可得2-y=‎2-xe‎-x,∴y=2-‎2-xe‎-x,∴y'=x-1‎e‎-x,令x=0,则y'=-1,y=0,所以切线方程为x+y=0.‎ ‎17.解 (1)y'=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,‎ ‎∴当x=2时,y'=-1,y=‎5‎‎3‎,‎ ‎∴斜率最小的切线过点‎2,‎‎5‎‎3‎,斜率k=-1,‎ ‎∴切线方程为3x+3y-11=0.‎ ‎(2)由(1)得k≥-1,∴tan α≥-1,‎ 又∵α∈[0,π),‎‎∴α∈‎0,‎π‎2‎∪‎3π‎4‎‎,π.‎ 故α的取值范围为‎0,‎π‎2‎‎∪‎3π‎4‎‎,π.‎