2020届二轮复习数列求和的方法教案（全国通用）

2020届二轮复习数列求和的方法教案（全国通用）

‎【例1】已知等比数列{}中，,公比,又分别是某等差数列的第项，第项，第项.‎ ‎(1)求；(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）依题意有，‎ 即,，‎ 即2.∵,∴.‎ 故.‎ ‎【点评】（1）利用公式法求数列的前项和，一般先求好数列前项和公式的各个基本量，再代入公式.（2）第2问注意要分类讨论，因为与7的大小关系不能确定.‎ ‎【反馈检测1】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）求数列{}的前项和.‎ ‎ ‎ 方法二 错位相减法 使用情景 已知数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.‎ 解题步骤 若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 ‎，‎ 则 ‎ 两式相减并整理即得.‎ ‎【例2】 已知函数 ，是数列的前项和，点（，）（）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且是数列的前项和. 试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（Ⅱ）因为 ①‎ 所以 ②‎ ‎ ③‎ ‎②－③得 ‎ ‎.‎ 整理得， ④‎ 策略二 利用商值比较法 由④式得.‎ 因为 所以，即. 所以 所以存在最大值.‎ 策略三 利用放缩法 由①式得，又因为是数列的前项和，‎ 所以. 所以 所以存在最大值.‎ ‎【反馈检测2】数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数，‎ ‎．‎ ‎（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和；‎ ‎（3）求证：对且恒有．‎ 方法三 分组求和法 使用情景 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列.‎ 解题步骤 可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.‎ ‎【例3】已知数列{}的前项和为，且满足．‎ ‎（1）证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；‎ ‎（2）数列{}满足，其前项和为，试求满足的最小正整数．‎ ‎（2）‎ 设 ①‎ ‎【点评】（1）数列求和时，要分成两个数列求和，其中一个是数列通项是，它用错位相减来求和，另外一个数列是，它是一个等差数列，直接用公式法求和.（2）解不等式时，直接用代值试验解答就可以了.‎ ‎【反馈检测3】已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.‎ 方法四 裂项相消法 使用情景 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.‎ 解题步骤 把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和. .‎ ‎【例4】 已知等差数列满足：，.的前项和为.‎ ‎ （Ⅰ）求 及；（Ⅱ）令（）,求数列的前项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，所以有 ‎，解得，所以；==.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，‎ ‎【点评】利用裂项相消时，注意消了哪些项，保留了哪些项.如，‎ ‎.为了确定保留了哪些项，最好前后多写一些项.‎ ‎【反馈检测4】 设数列满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.‎ ‎ ‎ ‎【反馈检测5】已知各项均为正数的数列的前项和为,且().‎ ‎(Ⅰ) 求的值及数列的通项公式； ‎ ‎(Ⅱ) 记数列的前项和为,求证:().‎ 方法五 倒序相加法 使用情景 如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和.‎ 解题步骤 可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.‎ ‎【例5 】 已知数列的前项和，函数对有，数列满足.‎ ‎（1）分别求数列、的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式 对于一切的恒成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1） ‎ ‎①-②得 ‎ 即 ‎ 要使得不等式恒成立,‎ 对于一切的恒成立,‎ 即 ‎ 令,则 当且仅当时等号成立,故 ‎ 所以为所求. ‎ ‎【点评】如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.‎ ‎【例6】求证：‎ ‎【点评】如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.‎ ‎【反馈检测6】已知函数 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的值.‎ 方法六 并项求和法 使用情景 有些数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.‎ 解题步骤 一般把项数分成奇数和偶数两种情况分类讨论. .‎ ‎【例7】求和：…．‎ ‎【解析】当为偶数时，‎ ‎．‎ 当为奇数时，‎ ‎【点评】（1）如果数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.把两项合成一项来求和. (2)这种情况最好先计算偶数的情况，再计算奇数的情况.讨论奇数情况时，为了减少计算量，提高计算效率，可以利用，而可以利用前面计算出来的偶数的结论（因为是偶数），只要把偶数情况下表达式中所有的都换成即可.‎ ‎【反馈检测7】已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．‎ 高中数常见题型解法归纳及反馈检测第39讲：‎ 数列求和的方法参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）；（2）.‎ ‎【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）由题设知公差，‎ ‎ 由，成等比数列得＝，‎ ‎ 解得， 故的通项.‎ ‎ (Ⅱ)由（Ⅰ）知，由等比数列前项和公式得 ‎ .‎ ‎【反馈检测2答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎（3） ‎ ‎ ‎ 由 知 于是 故当且时为增函数 ‎ 综上可知 . ‎ ‎（2）由（1）知，故 数列的前项和 ‎【反馈检测4答案】（1）；（2）.‎ ‎【反馈检测4详细解答】（1）因为，， ①‎ 所以当时，． ‎ 当时，， ② ，‎ ‎①－②得，，所以．‎ 因为，适合上式，所以；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以，‎ 所以【反馈检测5答案】（1）， ；（2）见后面解析.‎ ‎【反馈检测5详细解析】(Ⅰ)当时,,解得或(舍去)． ‎ 当时,,,相减得 即,又,所以,则,‎ 所以是首项为,公差为的等差数列,故． ‎ 证法二:当时,．‎ 当时,先证,即证显然成立.‎ 所以 所以 ‎, 综上,对任意,均有成立.‎ ‎【反馈检测6答案】（1）；（2）..‎ ‎【反馈检测7答案】（1）；（2）‎ ‎【反馈检测7详细解析】‎ ‎（1）（1）由已知得， ∴．‎ 当时，．‎ ‎，∴，．‎ ‎（2）由⑴可得．‎ 当为偶数时，‎ ‎，‎ 综上， ‎ ‎ ‎