河南省郑州市八校2019-2020学年高二上学期期中联考试题数学（理）试题

河南省郑州市八校2019-2020学年高二上学期期中联考试题数学（理）试题

河南省郑州市八校2019-2020 学年上学期期中联考试题高二理科数学 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知a＜0，-1＜b＜0，则有（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )‎ A. 　　　　　 B. C. D. ‎ 3. 设是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的   ​‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列有关命题的说法中错误的是（　　）‎ A. 若为假命题,则p、q均为假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“若,则“的逆否命题为：“若,则” D. 对于命题p：,使得,则：,均有 5. 已知在△ABC中内角ABC的对边分别为ab边c上的高为，ab=2，则角C的大小（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 若x，y满足x+1≤y≤x，则y-2x的最大值是（　　）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 1‎ 7. 已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠A=60°，b=4，若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. 或  D. ‎ 8. 在等差数列{an}中，a1＞0，a2012+a2013＞0，a‎2012a2013＜0，则使Sn＞0成立的最大自然数n是（）‎ A. 4025 B. ‎4024 ‎C. 4023 D. 4022‎ 9. 已知函数，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N+）且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（am-an）＞0，那么实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 在△ABC中，A为锐角，lgb+lg（）=lgsinA=－lg，则 △ABC为（）‎ A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 11. 已知数列{an}满足，Sn是数列{an}的前n项和，若S2017+m=1010，且a1•m＞0，则的最小值为（　　）‎ A. 2 B. C. D. ‎ 12. 若正数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+‎2a+2xy-34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 13. 设数列{an}满足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为______．‎ 14. 在△ABC中，已知b=1，c=2，AD是∠A的平分线，AD=，则∠C=______．‎ 1. 设不等式组表示的平面区域为Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线2x+y=0对称，对于任意的C∈Ω1，D∈Ω2，则|CD|的最小值为______．‎ 2. 在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞2，AC=AB+1，当△ABC的周长最短时，BC的长是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 3. 设p：实数x满足x2-4ax+‎3a2＜0，q：实数x满足|x-3|＜1． （1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． ‎ 4. 已知关于x的不等式kx2-2x+6k＜0（k≠0） （1）若不等式的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，求k的值； （2）若不等式的解集是R，求k的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k的取值范围． ‎ 5. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a，b，c成等差数列，△ABC的周长为15，且c2=a2+b2+ab． （Ⅰ）求△ABC的面积； ​（Ⅱ）设G为△ABC的重心，求CG的长． ‎ 6. 已知等差数列{an}与公比为正数的等比数列{bn}满足b1=‎2a1=2，a2+b3=10，a3+b2=7． （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）若，求数列{cn}的前n项和Sn． ‎ 1. 郑州市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似的为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB=AD=‎4万米，BC=‎6万米，CD=‎2万米． （1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及线段AC的长； （2）因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值． ‎ 2. 各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足．各项均为正数的等比数列{bn}满足b1=a1，b3=a2． （1）求证{an}为等差数列并求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）若cn=（3n-2）•bn，数列{cn}的前n项和Tn． ①求Tn； ②若对任意n≥2，n∈N*，均有恒成立，求实数m的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵a＜0，-1＜b＜0， ∴0＜b2＜1，ab＞0， ∴ab2＞a，ab2＜ab，ab＞a， ∴ab＞ab2＞a， 故选：D． 根据不等式的性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案． 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，难度不大，属于基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由正弦定理可得， ∴===​ 故选A 由正弦定理可得，，代入可求 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题 3.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的函数性质，属于基础题． 根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】 解：设数列​的首项为，若为递增数列， 则对恒成立， 即或， 所以由为递增数列， 由为递增数列， 故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件． 故选D． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：对于选项A，由命题p∧q为假命题可知命题p和命题p至少有一个为假，命题p、q均为假命题错误，所以选择A项． 对于B项，x=1⇒x2-3x+2=0，但是x2-3x+2=0≠＞x=1故“x=1”是“x2-3x+2=‎0”‎的充分不必要条件，判断对． 对于C项，由逆否命题的概念可知C项中的命题是真命题，判断对， 对于D项，有特称命题的否定是全称命题可知选项D中的命题的否命题是¬p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，推理对． 故选：A. 本选择题可以逐一判断，显然对于A选项p∧q为假命题可知p、q一假一真或者均为假命题，因此A的结论错误，选择A项即可． 对于B项，x=1⇒x2-3x+2=0，反之无法推出，所以“x=1”是“x2-3x+2=‎0”‎的充分不必要条件. 对于C项条件，结论否定且互换，正确. ‎ 特称命题的否定是全称命题，由∃x∈R，使得x2+x+1＜0对应的全称命题是：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，可知D判断正确． 本题考查复合命题的真假判断问题，充要条件，命题的否定，全称命题以及特称命题的概念． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意，根据三角形的面积公式，可得：absinC=c•， 解得sinC=cosC， 即tanC=1， 又0＜C＜π， 可得C=． 故选：A． 根据三角形的面积公式，解得sinC=cosC，即tanC=1，即可求解C的大小； 本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，合理选择正、余弦定理求解，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：作出实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 令z=-2x+y，则y=2x+z，由图可知当直线y=2x过点A（2，2）时，z最大， 即-2x+y取最大值为-4+2=-2， 故选：A． 作出x，y满足的可行域，利用z的几何意义即可解答． 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用结合数形结合是解决本题的关键．属于基础题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵在△ABC中，∠A=60°，b=4， ∴由正弦定理可得bsinA=4×=6； ‎ ‎ ∵这样的三角形有且只有一个，∴a=6或a≥4； 故选：C． 根据题意求出csinA=6，然后数形结合可得a的范围． 本题考查正弦定理的应用，考查三角形解得情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，当等差数列中有奇数项时，前n项和等于中间项乘以项数，属于基础题． 由题意可得a2012＞0，a2013＜0，再根据S4024==2012（a2012+a2013 ）＞0，而S4025=4025a2013＜0，由此可得Sn＞0成立的最大自然数n的值． 【解答】 解：∵等差数列{an}，首项a1＞0，a2012+a2013＞0，a2012a2013＜0， ∴a2012＞0，a2013＜0． (假设a2012＜0＜a2013，则d＞0，而a1＞0，可得a2012=a1+2011d＞0，矛盾，故不可能．) 再根据S4024==2012（a2012+a2013 ）＞0， 而S4025=4025a2013＜0， 因此使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n为4024. 故选B. 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（am-an）＞0， ∴数列{an}是递增数列， 又∵f（x）=， an=f（n）（n∈N*）， ∴1＜a＜3且f（7）＜f（8） ∴7（3-a）-3＜a2 解得a＜-9，或a＞2 故实数a的取值范围是（2，3） 故选C． 由函数f（x）=，数列an满足an=f（n）（n∈N*），且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（am-an）＞0，我们得函数f（x）=为增函数，根据分段函数的性质，我们得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a＞1，且3-a＞0，且f（7）＜f（8），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论． 本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n∈N*时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且f（7）＜f（8），从而构造出关于变量a 的不等式是解答本题的关键． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 根据对数的运算法则，得到=sinA=，结合A为锐角得到A=，再利用余弦定理表示a2的式子，化简整理得a=b，由此得到△ABC为以c为斜边的等腰直角三角形． 本题给出含有对数的三角形的边角关系式，判断三角形的形状，着重考查了对数的运算法则和利用正、余弦定理解三角形等知识，属于基础题． 【解答】 解：∵lgb+lg（）=lgsinA=-lg，A为锐角， ∴=sinA=，即c=且A=， 根据余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccos=b2+2b2-2b×b×=b2， ∴a=b=c，可得△ABC是以c为斜边的等腰直角三角形. 故选：D. 11.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题. 由S2017-a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017），结合余弦函数值求和，再由S2017+m=1010，可得a1+m=2，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值. 【解答】 解：数列{an}满足， 可得a2+a3=3cosπ=-3， a4+a5=5cos2π=5， a6+a7=7cos3π=-7， …， ​a2016+a2017=2017cos1008π=2017， 则S2017-a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017） =-3+5-7+9-…+2017=1008， 又S2017+m=1010， 所以a1+m=2， 由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0， 则=（a1+m）（） =（2++）≥（2+2）=2， 当且仅当a1=m=1时，取得最小值2， 故选A. 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy-4， ∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy-34≥0恒成立， 即（4xy-4）a2+2a+2xy-34≥0恒成立， 变形可得2xy（2a2+1）≥4a2-2a+34恒成立， 即xy≥恒成立， ∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2， ∴4xy=x+2y+4≥4+2‎ ‎， 即2（）2-•-2≥0，解不等式可得≥，或≤-（舍负） 可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立， 化简可得2a2+a-15≥0， 即（a+3）（2a-5）≥0，解得a≤-3或a≥， 故答案为：（-∞，-3]∪[，+∞）． 故选：C． 原不等式恒成立可化为xy≥恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥恒成立，解关于a的不等式可得． 本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 数列{an}满足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出. 【解答】‎ 解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*）， ∴当n≥2时，an=（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1 ​=n+…+2+1=． 当n=1时，上式也成立， ∴an=． ∴=2． ∴数列{}的前n项的和Sn= = =． ∴数列{}的前10项的和为． 故答案为：．‎ ‎ 14.【答案】90° ‎ ‎【解析】解：因为AD是∠A的平分线，所以=， 不妨设BD=2x，CD=x， 结合已知得cos∠BAD=cos∠CAD， 在△ABD中由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD， 即：4x2=4+-2×cos∠BAD，…① 在△ACD中，由余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2AC•ADcos∠CAD， 即：x2=1+-2×cos∠BAD…②， ①-②×2，可得： 2x2=2-=， 解得：x2=． 在△ADC则，cosC===0． ∠C=90°． 故答案为：90°． 根据角平线的性质，可设BD=2x，CD=x，然后结合余弦定理列方程解x ‎，然后利用余弦定理求解C即可． 本题考查了解三角形的有关知识和方法，解题的关键是角平分线的性质以及利用两个角相等结合余弦定理列出方程求解． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由不等式组作出可行域如图， 由图可知，可行域Ω1内的点A（1，-1）到直线2x+y=0的距离最小， 则Ω2中的点B与Ω1内的点A的距离的最小值为A到直线2x+y=0的距离的2倍． |AB|的最小值等于2×=． 故答案为：． 由题意作出可行域，数形结合得到的平面区域是Ω1内到直线2x+y=0距离最小的点，由点到直线的距离公式求得答案． 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 16.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：设A，B，C所对的边a，b，c， 根据余弦定理可得a2+b2-c2=2abcosC=ab， 将b=c+1代入上式，可得a2+2c+1=ac+a， 化简可得c=， 所以△ABC的周长L=a+b+c=a+2c+1 =a+1+2• 设a-2=t（t＞0），则a=t+2， 可得L=t+3+2•=3t++9≥2+9=9+6， 当且仅当3t=，即t=，此时a=2+时， 可得周长的最小值为9+6．BC的长是2+． 故答案为：2+． 设A，B，C所对的边a，b，c，根据余弦定理可得a2+b2-c2=ab，以及b=c+1可得c，再利用均值不等式即可求出答案． 本题考查余弦定理和均值不等式的应用，以及化简变形、运算能力，属于中档题． 17.【答案】解：（1）由x2-4ax+3a2＜0得（x-3a）（x-a）＜0 当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3． 由|x-3|＜1，得-1＜x-3＜1，得2＜x＜4 即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4， 若p∧q为真，则p真且q真， ∴实数x的取值范围是2＜x＜3． （2）由x2-4ax+3a2＜0得（x-3a）（x-a）＜0‎ ‎， 若￢p是￢q的充分不必要条件， 则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p， 设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B， 又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}， B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}， 则0＜a≤2，且3a≥4 ∴实数a的取值范围是． ‎ ‎【解析】（1）若a=1，根据p∧q为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围； （2）根据￢p是￢q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围． 本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力． 18.【答案】解：（1）∵不等式kx2-2x+6k＜0的解集是{x|x＜-3或x＞-2}， ∴k＜0，且-3和-2是方程kx2-2x+6k=0的实数根， 由根与系数的关系，得（-3）+（-2）=， ∴k=-； （2）不等式的解集是R， ∴△=4-24k2＜0，且k＜0， 解得k＜-， （3）不等式的解集为∅，得△=4-24k2≤0，且k＞0， 解得k≥． ‎ ‎【解析】（1）根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出k的值； （2）跟你就题意△=4-24k2＜0，且k＜0，解得即可， （3）根据题意，得△≤0且k＞0，由此求出k的取值范围 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最值的问题，是综合性题目． 19.【答案】解：（Ⅰ）设a=x，b=x+d，c=x+2d，由，△ABC的周长为15，可得：x+d=5， ∵c2=a2+b2+ab， ∴（x+2d）2=x2+（x+d）2+x（x+d）， 将d=5-x代入到上式中，解得：x=3，d=2， ∴a=3，b=5，c=7， ∴由余弦定理可得：cosC==-， ∴由C∈（0，π），可得C=， ∴S△ABC=absinC== （Ⅱ）延长CG，交AB于F点，则F为AB的中点， ∵=（+）， ∴2=（+）2=（2+2+2•）=[32+52+2×]=， ∴CF=， ∴CG=CF=． ‎ ‎【解析】本题主要考查了数列，余弦定理以及平面向量在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题． （Ⅰ）设a=x，b=x+d，c=x+2d，由△ABC的周长为15，可得：x+d=5，进而由c2=a2+b2+ab，可得x=3，d=2，解得a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得cosC=-，结合范围C∈（0，π）可得C 的值，根据三角形面积公式即可计算得解． （Ⅱ）延长CG，交AB于F点，则F为AB的中点，由=（+），可求CF的值，利用重心的性质可求CG=CF=． 20.【答案】解（1）由题意a1=1，b2=2． 设公差为d，公比为q， 则，解得． 故an=a1+（n-1）d=n；． （2）因为， 所以=， 故=． ‎ ‎【解析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 21.【答案】解：（1）∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠ABC+∠ADC=180° 连接AC由余弦定理得AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC， AC2=42+22-2×2×4×cos∠ADC 又∵cos∠ABC=-cos∠ADC， ∴ 又∵∠ABC∈（0，π）， 故， ∴（万平方米）． 在△ABC中，由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=， ∴． （2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC， 又∵ 设AP=x，CP=y，则． 又由余弦定理AC2=x2+y2-2xy．cos60°=x2+y2-xy=28， ∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy， ∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号． ∴， ∴面积最大为万平方米． ‎ ‎【解析】（1）四边形ABCD内接于圆，可得∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，分成两三角形，利用余弦定理即可求解ABCD的面积及线段AC的长； （2）由S四边形APCD=S△ADC+S△APC，分成两三角形，利用余弦定理结合基本不等式即可即可求解． 本题考查了圆内接四边形面积问题，化简为三角形问题利用余弦定理和三角形面积公式累加求解．考查了计算能力和基本不等式的运用．属于中档题． 22.【答案】解：（1）∵，∴. ∴， ∴，又各项为正, ∴an+1=an+3（n≥2）， ∴a2开始成等差， 又a2=4,=6a1+9+1，∴a1=1， ∴a2-a1=3， ∴{an}为公差为3的等差数列， ‎ ‎∴an=3n-2， b1=1，b3=4， ∴． （2）, ①， ， ∴， ， ， ​∴． ②（3n-5）•2n•m≥6n2-31n+35恒成立， ∴， 即恒成立， 设, ， 当n≤4时，kn+1>kn ; 当n≥5时，kn+1＜kn, ∴， ∴． ‎ ‎【解析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，数列求和，以及数列与不等式的关系，考查函数思想的应用,属于中档题. （1）利用已知条件转化求解数列{an}是等差数列，求解通项公式，利用等比数列求数列{bn}的通项公式． （2）①化简cn=（3n-2）•bn，利用错位相减法求解数列{cn}的前n项和Tn． ②转化求出m与n的不等式，利用最值求解m的范围即可． ‎