2020届二轮复习排列数组合数的计算与证明教案（全国通用）

2020届二轮复习排列数组合数的计算与证明教案（全国通用）

排列数组合数的计算与证明 典例分析 排列数组合数的简单计算 【例1】 对于满足的正整数，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】1星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】C；‎ 【例2】 计算______．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】1星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】210；‎ 【例3】 计算，；‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】1星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】；；‎ ‎【答案】720；720。‎ 【例4】 计算______，_______．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】1星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】21,21‎ 【例1】 计算，；‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】1星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】；；‎ ‎【答案】120,28。‎ 【例2】 计算，，，，．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】1星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】；；‎ ‎；；．‎ 【例3】 已知，求的值．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】由排列数公式得，‎ 即，解出 易知只有符合要求．‎ ‎【答案】3；‎ 【例1】 解不等式 ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】用排列数公式得，‎ 化简：，解得，‎ 注意到，‎ 综合可得．‎ ‎【答案】8；‎ 【例2】 证明：．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】，等式得证．‎ 【例3】 解方程．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】原方程可化为 ‎∵且，∴‎ 解得，经检验是原方程的根．‎ 【例4】 解不等式．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】原不等式化为，从而得，‎ 解得，‎ 又∵，∴，‎ 综上得，故原不等式的解集为．‎ 【例1】 解方程：‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】原方程可化为 整理得 解得或（不合题意舍去）．‎ 经检验是原方程的根．（应强调解组合数方程要验根）‎ 【例2】 解不等式：．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由题意得：，解得．‎ 又，且，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴或，‎ ‎∴不等式的解集为．‎ 【例3】 设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】4星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，湖南高考 ‎【解析】当时，；‎ 当时，．‎ ‎【答案】D；‎ 【例1】 组合数恒等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，上海高考 ‎【解析】略 ‎【答案】D；‎ 【例2】 已知，求、的值．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】依题意得 整理得，解得 排列数组合数公式的应用 【例3】 已知，求的值．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由已知有．根据组合数性质：‎ ‎，．‎ ‎∴原式化简为．‎ 前半部分可得或．‎ 后半不等式可得．‎ 【例1】 若，则_______‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】，得．‎ ‎【答案】4；‎ 【例2】 若，则 ‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】解出，则．‎ 【例3】 证明：‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】‎ ‎．‎ 【例4】 证明：．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】‎ ‎∴‎ 【例1】 求证： ．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】法一：‎ 右边 左边 即原式得证．‎ 法二：‎ 个不同的小球中，有个是黑球，其余都是白球，从中选出个排成一排，共有种不同的取法；‎ 再考虑要选出个球排成一排可以分成两类情况，第一类是取出的球都是白球，有种取法；第二类是取出的球中有一个黑球，先取出个白球排成一排，有种方法，再考虑将取出的黑球放入白球中，有个位置可选，根据分步计数原理知，共有种方法．‎ 这两种思路得到的取法相等，即．‎ 【例2】 证明：．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】容易证明，于是有 【例1】 证明：．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】容易证明，于是有 而．‎ 【例2】 求证：；‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】法一：‎ ‎∵，‎ ‎∴左边 右边；‎ 等式得证；‎ 法二：‎ ‎∵，∴‎ 令分别代入上式得：，‎ ‎，，，，‎ 各式相加，注意到，得.‎ 【例3】 计算：，‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】；‎ ‎．‎ 【例1】 证明：．（其中）‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】设袋中有个球，其中红球个，白球个，‎ 现从中任取个，共有种不同的取法；‎ 另一方面，用分类的方法考虑这个问题，可分成类；第一类，个红球，个白球；第二类，个红球，个白球；第三类，个红球，个白球；；第类，个红球，个白球．于是取法总数为．‎ 以上两种算法结果应是相等的，∴．‎ 【例2】 解方程 ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由组合数性质2，原方程变为．‎ ‎∴．‎ 即．‎ 化简得，解出或（舍弃）．‎ 【例1】 确定函数的单调区间．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】，先求导数，得．‎ 令，解得或．‎ 因此，当时，函数为增函数，当时，函数也为增函数．‎ 令，解得，‎ 因此，当时，函数为减函数．‎ ‎∴函数的增区间为；减区间为．‎ 【例2】 规定，其中，为正整数，且，这是排列数（是正整数，且）的一种推广．‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵排列数的两个性质：①，②（其中是正整数）．是否都能推广到（，是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴；‎ ‎⑵性质①、②均可推广，推广的形式分别是 ‎①，②（，）．‎ 下面证明①②式的推广式均成立：‎ 事实上，在①中，当时，左边，右边，等式成立；‎ 当时，‎ 左边，‎ 因此，①成立；‎ 在②中，当时，左边右边，等式成立；‎ 当时，左边 右边，‎ 因此②（，）成立．‎