高考数学精英备考专题讲座 概率

高考数学精英备考专题讲座 概率

概率 在近六年新课程试卷高考中, 概率与统计试题的题量大致为一道解答题和一道客观题， 约占全卷总分的 12％左右，试题的难度为中等或中等偏易，难度值在 0.5～0.8. 考试要求：（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概 率的意义，了解频率与概率的区别.② 了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型 ① 理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概 率.（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型 的意义. 题型一 古典概率 例 1 已知集合 { 2,0,1,3},A  在平面直角坐标系中，点 M ( x , y ) 的坐标 ,x A y A. （1）求点 M 不在 轴上的概率；（2）求点 M 正好落在区域 50 0 0 xy x y        上的概率. 点拨: 本题主要考查概率的概念和古典概率的求法以及不等式组表示平面区域的考查. 解. 集合 A＝{-2,0,1,3}, 点 M ( , ) 的坐标 ，  点 M 的坐标共有： 4 4 16 个，分别是：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（ -2,3）；（0,-2）， （0,0），（ 0,1），（0,3）；（1,-2），（ 1,0），（1,1），（ 1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3） （1）点 M 不在 轴上的坐标共有 12 种：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0）， （1,1），（ 1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3） 所以点 M 不在 轴上的概率是 1 12 3 16 4P . （2）点 M 正好落在区域 上的坐标共有 3 种：（1,1），（1,3），（3,1）. 故 M 正好落在该区域上的概率为 2 3 16P  易错点: 事件总数及所求事件个数的计算不准确. 变式与引申 1：曲线 C 的方程为 22 22 xy mn =1，其中m、n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件 A=｛方程 =1 表示焦点在 x 轴上的椭 圆｝，那么 ()PA= ． 例 2 一个袋中有 4 个大小相同的小球，其中红球 1 个，白球 2 个，黑球 1 个，现从袋中有 放回地取球，每次随机取一个，求： （1）连续取两次都是白球的概率； （2）若取一个红球记 2 分，取一个白球记 1 分，取一个黑球记 0 分，连续取三次分数之和为 4 分的概率． 点拨: 本题主要考查古典概率,注意用列举法计算随机事件所含的基本事件数. 解：（1）设连续取两次的事件总数为 M ：(红,红)，(红,白 1)，(红,白 2)，(红,黑)， （白 1,红），（白 1,白 1），（白 1,白 2），（白 1,黑）；（白 2,红），（白 2,白 1），（白 2,白 2）， （白 2,黑），(黑,红)， (黑，白 1)，(黑，白 2)，(黑，黑)，所以 16M ． 设事件 A：连续取两次都是白球，（白 1，白 1），（白 1，白 2），（白 2，白 1），（白 2，白 2）共 4 个， 所以， 4 1 16 4)( AP . （2）连续取三次的基本事件总数为 N：（红，红，红），（红，红，白 1），（红，红，白 2），（红， 红，黑），有 4 个；（红，白 1，红），（红，白 1，白 1），等等也是 4 个，如此， 64N 个； 设事件 B：连续取三次分数之和为 4 分；因为取一个红球记 2 分，取一个白球记 1 分，取一个 黑球记 0 分，则连续取三次分数之和为 4 分的有如下基本事件： （红，白 1，白 1），（红，白 1，白 2），（红，白 2，白 1），（红，白 2，白 2），（白 1，红，白 1）， （白 1，红，白 2），（白 2，红，白 1），（白 2，红，白 2），（白 1，白 1，红），（白 1，白 2， 红）， （白 2，白 1，红），（白 2，白 2，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）， 共 15 个基本事件, 所以， 64 15)( BP ． 易错点: 事件总数及所求事件个数的计算不准确. 变式与引申 2： 111 先后随机投掷 2 枚正方体骰子，其中 x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表 示第 2 枚骰子出现的点数． ⑴求点 ),( yxP 在直线 1 xy 上的概率； ⑵求点 满足 xy 42  的概率． 例 3 某商场举行抽奖活动，从装有编号为 0,1，2，3 四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球， 两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖，等于 4 中二等奖，等于 3 中三等奖.则 （1）中三等奖的概率＝ ； （2）中奖的概率＝ . 点拨: 本题主要考查古典概率和互斥事件有一个发生的概率. 解：两个小球号码相加之和等于 3 中三等奖，两个小球号码相加之和不小于 3 中奖， 设“中三等奖”的事件为 A，“ 中奖”的事件为 B,从四个小球任选两个共有 (0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六种不同的方法. （1）两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 2 种： )3,0( 、 )2,1( ， 故中三等奖的概率 1 21 63 P . （2）方法一: 两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 2 种： 、 ； 两个小球号码相加之和等于 4 的取法有 1 种： )3,1( ； 两个小球号码相加之和等于 2 的取法有 1 种： )3,2( ； 故中奖的概率 2 2 1 1 4 2 6 6 6 6 3 P      . 方法二: 两个小球号码相加之和等于 1 的取法有 1 种：(0,1) ； 两个小球号码相加之和等于 2 的取法有 1 种： )2,0( ； 故中奖的概率 2 22 63 1P    . 易错点: 对中奖的情况考虑不清. 变式与引申 3： 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女． （I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师 性别相同的概率； （II）若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同 一学校的概率． 题型二 几何概率 例 4 在区间[ , ]22  上随机取一个数 x ，cos x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为( ). A. 3 1 B.  2 C. 2 1 D. 3 2 点拨 : 本题考查了三角函数的值域和几何概型长度型问题, 由自变量 的取值范围,得到 函数值cos x 的范围,再由长度型几何概型求得. 解: 在区间 上随机取一个数 , 即 [ , ]22x  时, 要使 的值介于 0 到 之间, 需使 23x    或 32x ， 区间长度为 3  ，由几何概型知cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 3 13   故选 A. 易错点: 的值介于 0 到 之间时, 值的计算. 变式与引申 5： 设有关于 x 的一元二次方程 2220x ax b   ． （1）若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，则上述 方程有实根的概率 ． （2）若 a 是从区间[0 3]， 任取的一个数，b 是从区间[0 2]， 任取的一个数，则上述方程有实根 的概率 ． 变 式 与 引 申 6. 已知  ( , ) 10, 0, 0x y x y x y     ，  ( , ) 5, 0, 0A x y x y x y     ， 若向区域 上随机投 1 个点，求这个点落入区域 A 的概率= ． 本节主要考查: (1)古典概型及其概率计算公式; (2) 几何概型的意义及其计算公式; (3)互斥事 件的概率加法公式计算一些事件的概率. 点评：（ 1）古典概型应注意用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率； （2）几何概型应注意题目中求的是相应的长度比，还是面积比，体积比； 习题 4-1 1. 在一个袋子中装有标注数字 1、2、3、4、5 的五个小球，这些小球除标注数字外完全相 同， 现从中随机取 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是（ ） A． 12 1 B． 10 1 C． 5 1 D． 10 3 2. 有五根细木棒，长度分别为 1，3，5，7，9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率是 （ ） A． 3 20 B． 2 5 C． 1 5 D． 3 10 3．连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ，记向量 ( , )a m n 与向量 (1, 1)b 的夹角为 ， 则 0   ， 的概率是（ ） A . 5 12 B. 1 2 C. 7 12 D. 5 6 4.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两 个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( ) A . 3 18 B. 4 18 C. 5 18 D. 6 18 5. 在集合 }10,,3,2,1,6|{  nnxxx 中任取一个元素，所取元素恰好满足方程 2 1cos x 的概率 是 6. 有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能 性相同，则 这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 _ __ 7. 向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P，则△PBC 的面积小于S 2的概率为________． 8. 将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为 5 的概率； （2）两数中至少有一个奇数的概率； （3）以第一次向上点数为横坐标 x，第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=15 的内部的概率． 9. 已知直线 1l ： 2 1 0xy   ，直线 2l ： 10ax by   ，其中 a ，  1,2,3,4,5,6b ． （1）求直线 12ll的概率；改为：求直线 1l 与 2l 没有交点的概率； （2）求直线 与 的交点位于第一象限的概率． 【答案】 变式与引申 1 解：试验中所含基本事件个数为 36；若想表示椭圆则前后两次的骰子点数不 能相同，则去掉 6 种可能，既然椭圆焦点在 x 轴上，则mn ，又只剩下一半情况，即 15 种，因 此 15 5() 36 12PA． .36 17)(  BP 变式与引申 3： 解：（I）甲校两男教师分别用 A、B 表示，女教师用 C 表示； 乙校男教师用 D 表示，两女教师分别用 E、F 表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为： （A，D）（ A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（ C，D），（ C，E），（C，F）共 9 种。 从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共 4 种， 选出的两名教师性别相同的概率为 4.9P  （II）从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为： （A，B），（A，C），（A，D），（ A，E），（A，F），（B，C），（ B，D），（ B，E），（B，F）， （C，D），（ C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共 15 种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： （A，B），（A，C），（B，C），（ D，E），（D，F），（ E，F）共 6 种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为 62.15 5P  变式与引申 4： 解:几何概型长度型问题 答案： 1 5 变式与引申 5： 1. 解：设事件 A 为“方程 2220a ax b   有实根”． 当 0a  ， 0b  时，方程 2220x ax b   有实根的充要条件为 ab≥ ． （1）基本事件共 12 个： (0 0) (01) (0 2) (10) (11) (12) (2 0) (21) (2 2) (3 0) (31) (3 2)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ． 其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件 A 中包含 9 个基本事件，所以事件 A 发生的概率为 93() 12 4PA． （2）试验的全部结果所构成的区域为 ( ) | 0 3 0 2a b a b， ，≤ ≤ ≤ ≤ ． 构成事件 A 的区域为 ( ) | 0 3 0 2a b a b a b， ， ，≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ． 所以所求的概率为 213 2 2 22 3 2 3     变式与引申 6： 解: 几何概型面积型问题 答案： 4 1 习题 4-1 1.选 D. 随机取 2 个小球，基本事件有（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、 （3,4）、（3,5）、（4,5）；取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的事件有（1,2）、（1,5）、（2,4) ∴取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率为 10 3 . 2. 选 D.注意到构成三角形的充要条件是两棒之和大于最长棒的长度，只有（3，5，7），（ 3， 7，9），（5，7，9）三种情况，故概率为 3 5 33 10C  ． 3. 选 C.解： 由向量夹角的定义，图形直观可得，当点  ,A m n 位于直线 yx 上及其下方 时， 满足 0   ， ，点 的总个数为66 个，而位于直线 上及其下方 的点 有 1 1 1 1 2 3 4 56 1 21C C C C      个，故所求概率 21 7 36 12， 4. 答案 C.解:正方形四个顶点可以确定 6 条直线，甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件。 两条直线相互垂直的情况有 5 种（ 4 组邻边和对角线）包括 10 个基本事件，所以概率等于 5 18 . 5. 答案 5 1 考查古典概型知识 6. 考查古典概型知识, 1 3P  7. 答案3 4 解析：∵S△PBC<1 2S△ABC，∴h′

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