2017-2018学年山东省济南第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山东省济南第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省济南第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数满足 (为虚数单位)，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，所以．故选D．‎ ‎【考点】复数乘除运算及模长计算．‎ ‎2．设是虚数单位,如果复数的实部与虚部是互为相反数,那么实数的值为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程，求解即可得答案．‎ 详解：==，‎ ‎∵复数的实部与虚部是互为相反数，‎ ‎∴，即a=．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的实部与虚部的概念，属于基础题．‎ ‎3．函数的导数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，故选B.‎ ‎4．下列推理是类比推理的是（ ）‎ A. 由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 B. 由，猜想任何一个小6的偶数都是两个奇质数之和 C. 平面内不共线的3个点确定一个圆，由此猜想空间不共面的4个点确定一个球 D. 已知为定点，若动点P满足（其中为常数），则点的轨迹为椭圆 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，依次对答案中的四个推理进行判断，即可得到答案．‎ 详解：对于A，由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数，‎ 满足大前提、小前提和结论，是演绎推理；‎ 对于B，由6=3+3，8=3+5，10=3+7，‎ 猜想任何一个不小于6的偶数都是两个奇质数之和，是归纳推理；‎ 对于C，平面内不共线的3个点确定一个圆，‎ 由此猜想空间中不共面的4个点确定一个球，是类比推理；‎ 对于D，A，B为定点，若动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|（其中a为常数），‎ 则点P的轨迹为椭圆，是演绎推理．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查了归纳推理、类比推理和演绎推理的定义与应用问题，是基础题．‎ ‎5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如： ‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）‎ A. 36 B. 45 C. 99 D. 100‎ ‎【答案】A ‎【解析】三角形数都可写成1+2+…+n=的形式,正方形数都可写成n2的形式 ‎①由于16=无正整数解，所以16不是三角形数。‎ ‎②由于25=无正整数解，所以25不是三角形数。‎ ‎③由36=解得n=8,所以36是三角形数。又36=62，所以36也是正方形数。符合要求 ‎④由于49=无正整数解，所以49不是三角形数。‎ 综上所述，既是三角形数又是正方形数的是36‎ 故选A.‎ ‎6．用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是( )‎ A. 方程没有实根 B. 方程至多有一个实根 C. 方程至多有两个实根 D. 方程没有实根 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用命题的否定写出假设即可．‎ 详解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，‎ ‎∴用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是方程没有实根．‎ 故选：A．‎ 点睛：反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.‎ ‎7．下列说法错误的是( )‎ A. 回归直线过样本点的中心 B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1‎ C. 对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小 D. 在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位 ‎【答案】C ‎【解析】根据相关定义分析知A、B、D正确；C中对分类变量与的随机变量的观测值来说， 越大，“与 有关系”的招把握程度越大，故C不正确，故选C．‎ ‎8．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意得，‎ 若在区间递增，则在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 所以在上是增函数，故，‎ 所以，故选B.‎ ‎9．通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 附表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 其中 则下列结论正确的是（ ）‎ A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”‎ B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”‎ C. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”‎ D. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题意，由所给的数据计算k2‎ 的值，由随机变量的统计意义分析可得答案．‎ 详解：根据题意，有所给的数据；‎ k2=≈4.761＞3.841，‎ 而4.761＜5.024；‎ 即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”；‎ 故选：A．‎ 点睛：独立性检验的关键 ‎(1)根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表.‎ ‎(2)K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大.‎ ‎10．极坐标方程表示的曲线为( )‎ A. 一条射线和一个圆 B. 两条直线 C. 一条直线和一个圆 D. 一个圆 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析： 或，表示的曲线为一条直线和一个圆 ‎【考点】极坐标方程 ‎11．在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】B ‎【解析】圆的极坐标方程即，化为直角坐标方程为，‎ 即，则垂直于极轴的两条切线方程为，‎ 化为极坐标方程即： 和.‎ 本题选择B选项.‎ ‎12．下列关于函数的判断正确的是（　　）‎ ‎①的解集是；‎ ‎②极小值，是极大值；‎ ‎③没有最小值，也没有最大值．‎ A. ①③ B. ①②③ C. ② D. ①②‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由f（x）＞0可解得x的范围，从而确定①正确；‎ 对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．‎ 根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③‎ 不正确．从而得到答案．‎ 详解：由f（x）＞0⇒（2x﹣x2）ex＞0⇒2x﹣x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；‎ f′（x）=ex（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，‎ 由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，‎ 由f′（x）＞0得﹣＜x＜，‎ ‎∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）．单调增区间为（﹣，）．‎ ‎∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故②正确．‎ ‎∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立．‎ ‎∴f（x）无最小值，但有最大值f（）‎ ‎∴③不正确．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．‎ 二、填空题 ‎13．已知，复数是纯虚数，则 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由实部为0且虚部不为0求解得答案．‎ 详解：∵（m2+m）+（m2﹣m）i是纯虚数，‎ ‎∴，解得m=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 点睛：本题考查复数的基本概念，本题的易错点是忽视虚部不能为零，是基础题．‎ ‎14．已知过曲线上的一点的切线方程为，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】，在点P(0,1)处切线斜率，根据切线斜率为2，则。‎ 点睛：本题主要考查导数的几何意义，属于基础题。‎ ‎15．点的直角坐标为， 若 则点的极坐标是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由M（﹣，﹣1）⇒ρ==2，又tanθ=，可求θ，从而可得到点M的极坐标．‎ 详解：∵M的直角坐标为，设M的极坐标为（ρ，θ），‎ 则ρ==2，又tanθ=，‎ ‎∴θ=，‎ ‎∴M的极坐标为（2，）．‎ 点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，关键是掌握二者互化的公式，属于基础题．‎ ‎16．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 成立，‎ 故 ；‎ 又 ‎ 综上知， ‎ ‎17．一组数据的回归直线方程为，数据列表是：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 则其中的数据__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出=4，=（1028+a），代入=4x+241，可得（1028+a）=4×4+241，即可求得a的值．‎ 详解：由题意，=4，=（1028+a），‎ 代入=4x+241，可得（1028+a）=4×4+241‎ ‎∴a=．‎ 故答案为：．‎ 点睛：回归直线中样本中心一定在回归直线上，可以利用这一条件求出方程中的参数.‎ 三、解答题 ‎18．在直角坐标系中，直线: , 圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求， 的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标为,设与的交点为,求的面积.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程；‎ ‎（2）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积的值．‎ 详解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为.‎ ‎（2）将代入，得，‎ 解得ρ1=2，ρ2=，，故，即.‎ 由于的半径为，的面积为.‎ 点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.‎ ‎19．在一次抽样调查中测得样本的6组数据，得到一个变量关于的回归方程模型，其对应的数值如下表：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎(1)请用相关系数加以说明与之间存在线性相关关系(当时，说明与之间具有线性相关关系)；‎ ‎(2)根据(1)的判断结果，建立关于的回归方程并预测当时，对应的值为多少(精确到).‎ 附参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，，相关系数公式为：.‎ 参考数据：‎ ‎，，，.‎ ‎【答案】(1) 与之间存在线性相关关系;(2)0.38 ,.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得；，说明与之间存在线性相关关系；‎ ‎(2)结合所给数据可求得回归方程为,.据此预测当时，对应的值为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意，计算，‎ ‎，‎ 且，，.‎ ‎；‎ ‎∵，说明与之间存在线性相关关系；‎ ‎(2).‎ ‎∴.‎ ‎∴与的线性回归方程为.‎ 将代入回归方程得.‎ 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎20．设函数, 函数 . ‎ ‎（1）求函数的单调区间和最小值；‎ ‎（2）讨论 与 的大小关系；‎ ‎（3）求的取值范围，使得 对任意的都成立.‎ ‎【答案】（1）减区间是，增区间是，；（2）；（3）.‎ ‎【解析】分析：（1）由f（1）=0，且f′（x）=可得f（x）=lnx，从而化简g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+，从而求导确定函数的单调性及最小值；‎ ‎（2）通过函数的导数，利用函数的单调性，半比较两个函数的大小关系即可．‎ ‎（3）利用（1）的结论，转化不等式，求解即可．‎ 详解：（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，‎ ‎∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，‎ 当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．‎ 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，‎ 因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，‎ 从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．‎ ‎（II）‎ 设，则h'（x）=﹣，‎ 当x=1时，h（1）=0，即，‎ 当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）＜0，‎ 因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，‎ 当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即，‎ 当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即．‎ ‎（III）由（I）知g（x）的最小值为1，‎ 所以，g（a）﹣g（x）＜，对任意x＞0，成立⇔g（a）﹣1＜，‎ 即Ina＜1，从而得0＜a＜e．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎