用二分法求方程的近似解同步练习2新人教A版必修1来源学优高考网750gk
3.1.2用二分法求方程的近似解
1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间…
()
A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)D．不能确定
3．已知f(x)＝ax2＋bx，ab≠0，且f(x1)＝f(x2)＝2009，则f(x1＋x2)＝__________.
4．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为__________．(只填序号)
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
课堂巩固
1．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()
A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]
3．(2009天津滨海五校高三联考，理2)下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是()
A．[－2.1，－1] B．[4.1,5]
C．[1.9,2.3] D．[5,6.1]
4．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的几个命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为()
A．0B．1C．3D．4
5．(2009福建厦门一中高三期末，文11)已知x0是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0
0
B．f(x1)<0
C．f(x1)＝0
D．f(x1)>0与f(x1)<0均有可能
6．若方程()x＝x的解为x0，则x0所在的区间为
()
A．(0.1,0.2)B．(0.3,0.4)
C．(0.5,0.7)D．(0.9,1)
7．奇函数f(x)的定义域为R，在(0，＋∞)上，f(x)为增函数．若－3是f(x)的一个零点，则f(x)另外的零点是__________．
8．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)
1．若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根和一个负根，则有()
A．a<0B．a>0C．a<－1D．a>1
2．方程0.9x－x＝0的实数根的个数是()
A．0B．1C．2D．3
3．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a1)．
(1)求证：f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根(精确度为0.1)．
答案与解析
3．1.2用二分法求方程的近似解
课前预习
1．B依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
2．B根据根的存在性原理进行判断．
3．0由题意x1、x2是方程ax2＋bx－2009＝0的两个根，
所以x1＋x2＝－，从而f(x1＋x2)
＝f(－)＝a(－)2＋b(－)＝0.
4．③④⑤
课堂巩固
1．B因B不是变号零点，故应选B.
2．A由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．
3．B用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，其值则不能使用二分法．
4．A∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．
5．B在同一坐标系中作出函数y1＝2x，y2＝logx的图象，易知00，f(0.7)＝()0.7－0.7<0，
∴f(x)的零点在区间(0.5,0.7)内．
7．0,3∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，f(3)＝－f(－3)＝0.
又∵f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函数，
∴x＝3是x∈(0，＋∞)上的唯一零点．
8.解：证明：设函数f(x)＝2x＋3x－6，
因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
所以f(1)·f(2)<0.
又因为f(x)在R上连续且是增函数，
所以函数f(x)在区间[1,2]内有唯一的零点．
所以方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设此解为x0，则x0∈[1,2]．
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0.
所以x0∈(1,1.5)．
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，
所以x0∈(1,1.25)．
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，
所以x0∈(1.125,1.25)．
取x4＝1.1875，f(1.1875)≈－0.16<0，f(1.1875)·f(1.25)<0，
所以x0∈(1.1875,1.25)．
因为|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，
所以可取x0＝1.1875，即方程6－3x＝2x的实数解的近似值可取为1.1875.
点评：用二分法求函数零点的近似值x0，要精确度为ε，即零点的近似值x0与零点的真值α的误差不超过ε，零点近似值x0的选取有以下方法：
(1)若区间(a，b)使|a－b|<ε，则因零点值α∈(a，b)，
所以a(或b)与真值α满足|a－α|<ε或|b－α|<ε.
所以只需取零点近似值x0＝a(或b)．
(2)在区间[an，bn]使|an－bn|<2ε，取零点近似值x0＝，则|x0－α|<|an－bn|<ε.
课后检测
1．A由题意得两根x1x2<0，即<0，即a<0.
2．B设f(x)＝0.9x－x，则它在x∈(－∞，＋∞)上是减函数．∵f(0)＝0.90－0＝1>0，
f(1)＝0.9－1＝－0.1<0，
∴它在(0,1)上存在零点，同时，也是唯一的零点．
3．A函数g(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a、b.
由于y＝f(x)的图象可看作是由y＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的，
所以a<α<β0，
f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以方程lnx＋2x－6＝0的根必定在区间(2.5,4)内．
5．C设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8，2.2)内．
6．0不妨设它的两个正零点分别为x1，x2.由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x1，－x2，于是x1＋x2－x1－x2＝0.
7．－2∵f(x)是奇函数，∴b＝0.
∴f(x)＝x3＋cx.
令f(x)＝0，得x1＝0，x2＝－，x3＝(c<0)．
由x1x2＋x2x3＋x3x1＝－2得c＝－2，
∴b＋c＝－2.
8．解：设f(x)＝3x2－5x＋a，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)．
∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内，
∴
即
解得－120，
∴在区间[，]内函数f(x)至少有一个零点．∴[，]就是符合条件的一个区间．
11．解：(1)证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10，ax2－x1>1，且ax1>0.
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－＝>0.
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0.故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知，当a＝3时，f(x)＝3x＋也在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增．
因此f(x)＝0的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根．
由于f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，∴取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间
中点
中点函数值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
－0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.322
(0.25,0.375)
0.3125
0.124
由于|0.3125－0.25|＝0.0625<0.1，
∴原方程的近似解可取为0.3125.
点评：求函数零点的近似值时，由于所选的初始区间不同，最后得到的结果可以不同，只要它们符合所给定的精确度，就是正确的．用二分法求方程的近似解可按下面的口诀进行记忆：
函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然．
要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，先后两端近零点．
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