数学（理）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）第三次质检（2018

数学（理）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）第三次质检（2018

衡阳八中2018届高三年级实验班第三次质检试卷 理科数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次质检试卷，分两卷。其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∪∁RB=（　　）‎ A．{x|2＜x≤5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x≥5}‎ ‎2.欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e﹣i表示的复数在复平面中位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知函数y=f（x），将f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，那么函数y=f（x）的解析式是（　　）‎ A． B．C． D．‎ ‎4.已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log2），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a ‎5.已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，a2=3，数列{anan+1}是公比为2的等比数列，则S10=（　　）‎ A．1364 B． C．118 D．124‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（　　）‎ ‎ ‎ A．105 B．16 C．15 D．1‎ ‎7.篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2017年的NBA篮球赛中，休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有（　　）种出场阵容的选择．‎ A．16 B．28 C．84 D．96‎ ‎8.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）‎ A．（，2） B．（，2） C．[，2） D．（，2]‎ ‎9.已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内．当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球O的体积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞ex+2的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）‎ ‎11.椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥‎ BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（　　）‎ A．[，1] B．[，] C．[，1） D．[，]‎ ‎12.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是(　　)‎ A．29 000元 B．31 000元 C．38 000元 D．45 000元 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量=（2m，3），=（m﹣1，1），若，共线，则实数m的值为　 　．‎ ‎14.已知（x+a）2（x﹣1）3的展开式中，x4的系数为1，则a=　 　．‎ ‎15.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为________.‎ ‎16.在数列{an}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N满足an+T=an，则称{an}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{xn}满足x1=1，x2=a（a≤1），xn+2=|xn+1﹣xn|，若数列{xn}的周期为3，则{xn}的前100项的和为　　．‎ 三.解答题（共8题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知数列{an}中，a1=2，，数列{bn}中，，其中n∈N；‎ ‎（1）求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎（2）若Sn是数列{bn}的前n项和，求的值．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2，OB=1．‎ ‎（1）试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；‎ ‎（2）求点A到面COD的距离．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．‎ ‎（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．‎ ‎①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；‎ ‎②‎ 若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．‎ ‎（1）求C1、C2的方程；‎ ‎（2）求证：MA⊥MB．‎ ‎（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求λ的取值范围．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=（k＞0）．‎ ‎（1）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）若对任意的a，b，c∈R+，均存在以，，为三边边长的三角形，求实数k的取值范围．‎ 选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.（选修4-4.坐标系与参数方程）‎ 在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．θ=与曲线C2交于点D（，）．‎ ‎（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．‎ ‎23.（选修4-5.不等式选讲）‎ 设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞2的解集；‎ ‎（2）设g（x）=，若对于任意的x1，x2∈[3，5]都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求正实数m的取值范围．‎ 衡阳八中2018届高三年级实验班第三次质检参考答案理科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D C D C B B B D B C ‎13.3‎ ‎14.2‎ ‎15.‎ ‎16.67‎ ‎17.‎ ‎（1）证明：数列{an}中，a1=2，an+1=2﹣，数列{bn}中，bn=，其中n∈N．‎ ‎∴b1=1，∵bn+1===．（2分）‎ ‎∴bn+1﹣bn═﹣=1=常数，（4分）‎ ‎∴数列{bn}是等差数列，首项为1，等差为1．（6分）‎ ‎（2）解：bn=1+n﹣1=n，（7分）‎ Sn=（1+2+3+4+…n）=，∴==2（），（9分）‎ ‎∴=++…+‎ ‎=2=．（12分）‎ ‎18.‎ ‎（1）连接BE，设BE∩OC=G，由题意G为△ABC的重心，∴ =2，‎ 连接DG，‎ ‎∵EF∥平面COD，EF⊂平面BEF，平面BEF∩平面COD=DG，‎ ‎∴EF∥DG，‎ ‎∴==2，‎ 又BD=DP，∴DF=PF=PB．‎ ‎∴点F是PB上靠近点P的四等分点． （6分）‎ ‎（2）由PO⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，‎ ‎∴OC⊥PO，又点C是弧AB的中点，OC⊥AB，∴OC⊥平面POB．‎ OD⊂平面POB，∴OC⊥OD．‎ S△COD=OC•OD==．（8分）‎ ‎∵VA﹣OCD=VD﹣AOC，∴ •S△COD•d=•PO，‎ ‎∴d=，‎ ‎∴点A到面COD的距离．（12分）‎ ‎19.‎ ‎（Ⅰ）∵第四组的人数为60，‎ ‎∴总人数为：5×60=300，‎ 由直方图可知，第五组人数为：0.02×5×300=30人，‎ 又为公差，‎ ‎∴第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人。（3分）‎ ‎（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，‎ 则P（A）=。（6分）‎ ‎②由题意得，ξ=0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎（12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）椭圆C1的离心率e=，∴a2=2b2‎ 又∵x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．‎ ‎∴，得b=1，a2=2，可得椭圆C1的方程为 而抛物线C2的方程为y=x2﹣1；（3分）‎ ‎（2）设直线AB方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则由消去y，得x2﹣kx﹣1=0‎ ‎∴x1+x2=k，x1x2=﹣1，可得y1+y2=k（x1+x2）=k2，y1y2=kx1•kx2=k2x1x2=﹣k2‎ ‎∵M坐标为（0，﹣1），可得，‎ ‎∴=x1x2+y1y2+y1+y2+1=﹣1﹣k2+k2+1=0‎ 因此，，即MA⊥MB（7分）‎ ‎（3）设直线MA方程为y=k1x﹣1，直线MB方程为y=k2x﹣1，且满足k1k2=﹣1‎ ‎∴，解得，同理可得 因此， =‎ 再由，解得，‎ 同理可得 ‎∴‎ ‎=‎ ‎，即λ=的取值范围为[，+∞）‎ ‎（12分）‎ ‎21.‎ ‎（1）函数f（x）=（k＞0），‎ 对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥恒成立，‎ 即有x2+2kx+1≤2x2+2，‎ 即为2k≤x+对x＞0恒成立，‎ 由x+≥2=2，（x=1取得等号），‎ 则0＜2k≤2，即0＜k≤1．‎ 则实数k的取值范围为（0，1]；（5分）　　　　‎ ‎（2）=‎ ‎=1+=1+，‎ 由x+≥2=2，（x=1取得等号），‎ 可得∈（1，1+k]．‎ 对任意的a，b，c∈R+，均存在以，，为三边边长的三角形，‎ 即有+＞恒成立，‎ 即有2＜+≤2k+2，1＜≤k+1，‎ 所以2≥k+1，即k≤1，‎ 则0＜k≤1．‎ 则实数k的取值范围为（0，1]．（12分）‎ ‎22.‎ ‎（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．‎ 代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），得：‎ 解得：，‎ ‎∴曲线C1的方程为：（φ为参数），即：．（3分）‎ 设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）‎ 代入得： =2R×，‎ ‎∴R=1‎ ‎∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ即：（x﹣1）2+y2=1．（6分）‎ ‎（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，‎ ‎∴+=（）+（）=．（10分）‎ ‎23.‎ ‎（1）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|=，如图所示：‎ 令=2，求得x=，‎ 故结合图象，由f（x）＞2可得x＜，或x＞3．（5分）‎ ‎（2）设g（x）=，若对于任意的x1，x2∈[3，5]，‎ 都有f（x1）≤g（x2）恒成立，‎ 故当x∈[3，5]时，f（x）max≤g（x）min．‎ 由于当x∈[3，5]时，f（x）max=5﹣2=3，故g（x）的最小值大于或等于3．‎ ‎∵m＞0，g（x）=x+≥2，当且仅当x=∈[3，5]时取等号，‎ 显然满足2≥3，故有m∈[9，25]．‎ 当∈（0，3），即0＜m＜9时，＜3，g（x）=x+在[3，5]上单调递增，‎ g（x）的最小值为g（3）=3+＞3，满足条件．‎ 当＞5，即m＞25时，＞5，g（x）=x+在[3，5]上单调递减。（10分）‎