上海市17区县高三一模（数学文科）分类汇编：专题一 函数
专题一 函数
汇编2013年3月
（松江区2013届高三一模 文科）18．设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
18．D
（浦东新区2013届高三一模 文科）16．已知函数，若函数为奇函数，则实数为（ ）
（静安区2013届高三一模 文科）17．（文）函数的值域为 （ ）
(A) (B) (C) (D)
17．（文）A ；
（黄浦区2013届高三一模 文科）18．若是R上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①
是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增
④在上单调递增．其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
18．B
（黄浦区2013届高三一模 文科）1．函数的最小正周期为 ．1．；
（松江区2013届高三一模 文科）4．若函数的图像与的图像关于直线对称，则＝ ▲ ．4． 1
（普陀区2013届高三一模 文科）5. 【文科】若函数，则 .
5.
（青浦区2013届高三一模）18．已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值………………………………（ A ）．
.恒为正数 恒为负数 .恒为0 .可正可负
（普陀区2013届高三一模 文科）11. 【文科】若函数满足，且，则 _. 11【文科】
（闸北区2013届高三一模 文科）5．函数则的值为 ．5．；
（黄浦区2013届高三一模 文科）11．已知，且函数有且仅有两个零点，则实数的取
值范围是 ． 11．
（松江区2013届高三一模 文科）12．给出四个函数：①，②，③，④，其中满足条件：对任意实数及任意正数，都有及的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）12．③
（杨浦区2013届高三一模 文科）1. 若函数的反函数为，则 ．1. 0；
（虹口区2013届高三一模）17、定义域为的函数有四个
单调区间，则实数满足（ ）
17、C；
（浦东新区2013届高三一模 文科）3．函数的定义域为 .
（奉贤区2013届高三一模）18、定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得
对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”． 有下列关于“—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；
②“—伴随函数”至少有一个零点．；③是一个“—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）
A．1个； B．2个； C．3个； D．0个；
18．A
（杨浦区2013届高三一模 文科）14．已知函数 若函数有3个零点，
则实数的取值范围是___________．14．
（嘉定区2013届高三一模 文科）13．设、，且，若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是________________．13．
（闵行区2013届高三一模 文科）2．函数的定义域为 . 2．；
（静安区2013届高三一模 文科）13．（文）设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为、，则的值是 .
E
N
G
D
M
A
B
C
图1
13．（文）-1
（闵行区2013届高三一模 文科）5．已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值为 . 5．；
松江区2013届高三一模 文科）14.某同学对函数进行研究后，得出以下结论：
①函数的图像是轴对称图形；
②对任意实数，均成立；
③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④当常数满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点.
其中所有正确结论的序号是 ▲ ． 14． ①②④
（奉贤区2013届高三一模）16、已知函数的图像如左图所示，则函数的图像可能是（ ）
[来源:Z*xx*k.Com]
16． C
（浦东新区2013届高三一模 文科）5．函数（）的反函数是 （） .
（虹口区2013届高三一模）11、已知正实数、满足，则的最小值等于 ．11、9；
（奉贤区2013届高三一模）11、（理）设函数的反函数是，且过点，则经过点 ． 11．理
（金山区2013届高三一模）1．函数f(x)=3x–2的反函数f –1(x)=________．1．(定义域不写不扣分)
（黄浦区2013届高三一模 文科）12．已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于
x的不等式的解集是 ．12．；
（青浦区2013届高三一模）2．函数的反函数．
（奉贤区2013届高三一模）11、（文）若函数在区间
内有零点，则实数a的取值范围是___．文
（金山区2013届高三一模）13．若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______． 13．4
（奉贤区2013届高三一模）7、设函数为奇函数，则 ．7．
（虹口区2013届高三一模）13、设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数，当时，，且在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的零点个数为 ． 13、20；
（奉贤区2013届高三一模）9、（理）已知函数那么的值为 ．9．理
（青浦区2013届高三一模）12．已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是_____ ．
（奉贤区2013届高三一模）9、（文）已知函数 若，则_________． 文或
（崇明县2013届高三一模）5、已知是函数的反函数，则 . 5、
（宝山区2013届期末）7.将函数的图像按向量（
）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 .
（崇明县2013届高三一模）14、已知,，若同时满足条件：①对于任意，
或成立； ②存在，使得成立．则的取值范围是
. 14、
（奉贤区2013届高三一模）1、关于的方程的一个根是，则_________．1．
（长宁区2013届高三一模）2、记函数的反函数为如果函数的图像过点,那么函数的图像过点 2、
（奉贤区2013届高三一模）5、已知且若恒成立，则实数m的取值范围是_________．5．
（宝山区2013届期末）8.设函数是定义在R上周期为3的奇函数，且，则 _．0
（长宁区2013届高三一模）5、设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），
则 5、
（宝山区2013届期末）14.设是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离. 若点A(-1,1),B在上，则的最小值为 ．
（长宁区2013届高三一模）13、（文）设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是 . 13，（文）
（宝山区2013届期末）
18.已知则下列函数的图像错误的是……………………（ D ）
(A)的图像 (B)的图像 (C)的图像 (D)的图像
（崇明县2013届高三一模）15、设函数，则下列结论错误的是………………………………………（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．不是单调函数
15、
（长宁区2013届高三一模）18、（理）函数，的图象可能是下列图象中的 （ ）
（文）已知函数 ,若则实数的取值范围是（ ）
A B C D
18、
（金山区2013届高三一模）21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，其中常数a > 0．
(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；
(2) 求函数f(x)的最小值．
21．解：(1) 当时，，…………………………………………1分
任取0
0，即f(x1)>f(x2)………………………………………5分
所以函数f(x)在上是减函数；………………………………………………………6分
(2)，……………………………………………………7分
当且仅当时等号成立，…………………………………………………………8分
当，即时，的最小值为，………………………10分
当，即时，在上单调递减，…………………………………11分
所以当时，取得最小值为，………………………………………………13分
综上所述： ………………………………………14分
（长宁区2013届高三一模）19、（本题满分12分）已知，满足．
（1）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（文）当时，恒成立，求实数的取值范围。
19、
（2）（理）因为，则
.因为为三角形内角，所以…………9分
法一：由正弦定理得，，
，，，
所以的取值范围为 …………12分
法二：，因此，
因为，所以，，
.又，所以的取值范围为 …………12分
（文）（2）,因此的最小值为，…………9分
由恒成立，得，
所以实数的取值范围是. ………12分
（宝山区2013届期末）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，.
（1）当时，求的定义域；
（2）若恒成立，求的取值范围．
解：（1）由………………………………………………3分
解得的定义域为．………………………6分
（2）由得，即……………………9分
令，则，………………………………………………12分
当时，恒成立．………………………………………………14分
（长宁区2013届高三一模）22． (本小题满分18分) （理）已知函数 。
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设（为实数），求在时的最大值；
（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围。
（文）已知二次函数。
（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围。
22、（理）解：由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为 …………2分
又由≥0 得值域为 …………4分
（2）因为
令，则，
∴()+t= …………6分
由题意知g(a)即为函数的最大值。
注意到直线是抛物线的对称轴。…………7分
因为a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
①若，即则 …………8分
②若，即则…………10分
③若，即则 …………11分
综上有 …………12分
（3）易得， …………14分
由对恒成立，
即要使恒成立，…………15分
，令，对所有的成立，
只需 …………17分
求出m的取值范围是. …………18分
（文）解：（1）当时，，不合题意；……………1分
当时，在上不可能单调递增；……………2分
当时，图像对称轴为，
由条件得，得 ……………4分
（2）设， ……………5分
当时，， ……………7分
因为不等式在上恒成立，所以在时的最小值大于或等于2，
所以， ， ……………9分
解得。 ……………10分
（3）在上是增函数，设，则，
，，……………12分
因为，所以， ……………14分
而， ……………16分
所以 ……………18分
（崇明县2013届高三一模）22、（本题16分，第(1)小题4分；第(2)小题6分；第(3)小题6分）
设函数.
（1）当时，求函数在区间内的零点；
（2）设，证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）设，若对任意，有，求的取值范围．
22、解：（1），令，得，
所以。
（2）证明：因为 ，。所以。所以在内存在零点。
，所以在内单调递增，所以在内存在唯一零点。
（3）当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.
据此分类讨论如下：
①当，即|b|＞2时，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾。
②当－1≤＜0，即0＜b≤2时，M＝f2(1)－f2()＝(＋1)2≤4恒成立．
③当0≤≤1，即－2≤b≤0时，M＝f2(－1)－f2()＝(－1)2≤4恒成立．
综上可知，－2≤b≤2.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
注：②，③也可合并证明如下：
用max{a，b}表示a，b中的较大者．
当－1≤≤1，即－2≤b≤2时，M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f2()
＝
＝1＋c＋|b|－(＋c)
＝(1＋)2≤4恒成立．
（奉贤区2013届高三一模）23、（理）设函数定义域为，且.
设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和
轴的垂线，垂足分别为．
（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（4分）
（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，
若不是，则说明理由；（7分）
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.（7分）
23、解：（1）、因为函数的图象过点，
所以 2分
函数在上是减函数. 4分
（2）、（理）设 5分
直线的斜率
则的方程 6分
联立
9分
， 11分
（2）、（文）设 5分
直线的斜率为 6分
则的方程 7分
联立 8分
11分
3、 12分
13分
∴， 14分
， 15分
∴ ， 16分
17分
当且仅当时，等号成立.
∴ 此时四边形面积有最小值. 18分
（奉贤区2013届高三一模）23、（文）设函数定义域为
，且.
设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和
轴的垂线，垂足分别为．
（1）写出的单调递减区间（不必证明）；（4分）
（2）设点的横坐标，求点的坐标（用的代数式表示）；（7分）
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.（7分）
23、解：（1）、因为函数的图象过点，
所以 2分
函数在上是减函数. 4分
（2）、（理）设 5分
直线的斜率
则的方程 6分
联立
9分
， 11分
（2）、（文）设 5分
直线的斜率为 6分
则的方程 7分
联立 8分
11分
3、 12分
13分
∴， 14分
， 15分
∴ ， 16分
17分
当且仅当时，等号成立.
∴ 此时四边形面积有最小值. 18分
（虹口区2013届高三一模）23、（本题满分18分）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．
（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．
（3）设函数具有“性质”，且当时，．若
与交点个数为2013个，求的值．
23、（18分）解：（1）由得，根据诱导公式得．具有“性质”，其中．
………………4分
（2）具有“性质”，．
设，则，
……………………6分
当时，在递增，时
当时，在上递减，在上递增，且， 时[来源:Zxxk.Com]
当时，在上递减，在上递增，且，时
综上所述：当时， ；当时，
………………………………11分
（3）具有“性质”，，，
，从而得到是以2为周期的函数．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
又设，则，
．
再设（），
当（），则，
；
当（），则，；
对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．
①当时，要使得与有2013个交点，只要与在有2012个交点，而在有一个交点．过，从而得
②当时，同理可得
③当时，不合题意．
综上所述…………………………18分
（青浦区2013届高三一模）23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数
在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．
解：因为关于原点对称，……………………………………………………1分
又函数的图像关于直线对称，所以
① ………………………………………………………2分
又，
用代替得③ ……………………………………………3分
由①②③可知，
．即函数是偶函数；…………………………………………4分
（2）当时，
；……10分
（3）当时，
…………………12分
显然时，函数在区间上不是单调函数 …………………13分
又时，是增函数，
此时……………………………………14分
若函数在区间上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有
， ………………………………………………………16分
解得 ． ………………………………………………………18分
（黄浦区2013届高三一模 文科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
对于函数与常数，若恒成立，则称为函数
的一个“P数对”．设函数的定义域为，且．
（1）若是的一个“P数对”，求；
（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；
（3）若是增函数，且是的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①与；②与．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
解：（1）由题意知恒成立，令，
可得，∴数列是公差为1的等差数列，
故，又，故． ………………………………3分
（2）当时，，令，可得，由
可得，即时，， …………………………………4分
可知在上的取值范围是．
又是的一个“P数对”，故恒成立，
当时，，
…， …………………………………6分
故当为奇数时，的取值范围是；
当为偶数时，的取值范围是． ……………………………8分
由此可得在上的最大值为，最小值为．………………10分
（3）由是的一个“P数对”，可知恒成立，
即恒成立，
令，可得， …………………12分
即，又，
∴是一个等比数列，∴，
所以． …………………………………15分
当时，由是增函数，故，
又，故有．…………………………………18分
嘉定区2013届高三一模 文科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知，函数．
（1）当时，写出函数的单调递增区间（不必证明）；
（2）当时，求函数在区间上的最小值；
（3）设，函数在区间上既有最小值又有最大值，请分别求出、的取值范围（用表示）．
23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（1）当时， ，…………（2分）
所以，函数的单调递增区间是和．…………（4分）
（2）因为，时，
．…………（1分）
当，即时，．…………（3分）
当，即时，．…………（5分）
所以， ．…………（6分）
O
x
y
（3）．…………（1分）
①当时，函数的图像如图所示，
由解得，……（1分）
O
x
y
所以，．……（4分）
②当时，函数的图像如图所示，
由解得，……（5分）
所以，，．……（8分）
（静安区2013届高三一模 文科）23．（文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知，当点在的图像上运动时，点在函数的图像上运动（）．
（1）求的表达式；
（2）若方程有实根，求实数的取值范围；
（3）设，函数（）的值域为，求实数，的值．
23
（文）解：（1）由得，所以，（）． 4分
（2），即（） 6分
，令，所以，当时，
．即实数的取值范围是 10分
（3）因为，所以．
在上是减函数． 12分
所以即，所以 16分
（闵行区2013届高三一模 文科）（文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．
已知函数.
（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；
（2）用定义证明函数在上是增函数；
（3）如果当时，函数的值域是，求与的值.
解：
22. [解]
（文）（1）令，解得, ……………2分
对任意
所以函数是奇函数. ……………2分
另证：对任意
所以函数是奇函数. …………………………2分
（2）设，
…………2分
∴
∴
∴ ∵ ∴………2分
∴，∴
所以函数在上是增函数. ………………………………………………2分
（3）由（2）知，函数在上是增函数，
又因为时，的值域是，
所以且在的值域是， ……………2分
故且（结合图像易得） …………………2分
解得（舍去）
所以， ………………………………………2分
（浦东新区2013届高三一模 文科）23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）
设函数
（1）求函数和的解析式；
（2）是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）定义，且，
① 当时，求的解析式；
已知下面正确的命题： 当时，都有恒成立.
② 若方程恰有15个不同的实数根，确定的取值；并求这15个不同的实数根的和.
解：（1）函数
函数…………………………………4分
（2），……6分
则当且仅当时，即.
综上可知当时，有恒成立.……………8分
（3）① 当时，对于任意的正整数，
都有，故有 .……13
分
② 由①可知当时，有，根据命题的结论可得，
当时，，
故有，
因此同理归纳得到，当时，
…………………15分
时， 解方程得，
要使方程在上恰有15个不同的实数根，
则必须 解得
方程的根………………………17分
这15个不同的实数根的和为：
.…………18分
（普陀区2013届高三一模 文科）22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3
小题满分6分.
【文科】和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.
（1）若函数，，与互为“函数”,
证明：.
（2）若集合，函数，，判断函数与在上是否互为“ 函数”，并说明理由.
（3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合.
22.
【文科】22. 【解】（1）证明：函数与互为“函数“,则对于, 恒成立.即在上恒成立………………2分
化简得………………2分
所以当时，，即…1分
（2）假设函数与互为“函数”，则对于任意的
恒成立.即，对于任意恒成立…2分.
当时，.
不妨取，则，所以………………2分
所以假设不成立，在集合上，函数与不是互为“函数”………1分.[来源:Z#xx#k.Com]
（3）由题意得，（且）………2分
变形得，，由于且
，因为，所以，即………2分
此时，集合………2分
（杨浦区2013届高三一模 文科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知函数的值域为集合，
（1）若全集，求；
（2）对任意，不等式恒成立，求实数的范围；
（3）设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为、，求的值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
(1)由已知得， ，则 ………1分
当且仅当时，即等号成立，
………3分
所以， ………4分
(2)由题得 ………5分
函数在的最大值为 ………9分
………10分
(3)设，则直线的方程为，
即， ……11分
由 得 …13分
又， …14分
所以，，故 ……16分
（闸北区2013届高三一模 文科）16．
（文）（本题满分15分，第1小题满分9分，第2小题满分6分）
设定义域为的奇函数在区间上是减函数．
（1）求证：函数在区间上是单调减函数；
（2）试构造一个满足上述题意且在内不是单调递减的函数．（不必证明）
16．（文）解（1）任取，，则由 （2分）
由在区间上是单调递减函数，有， （3分）
又由是奇函数，有，即． （3分）
所以，函数在区间上是单调递减函数． （1分）
（2）如 或等 （6分）
