山东省济宁市嘉祥县第一中学2020届高三下学期第四模拟考试（考前训练二）数学试题 Word版含解析

山东省济宁市嘉祥县第一中学2020届高三下学期第四模拟考试（考前训练二）数学试题 Word版含解析

嘉祥一中2017级高三下学期第4次模拟考试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中只有一项符合题目要求.）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合,根据交集定义即可得出结果.‎ ‎【详解】，，.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.‎ ‎2.在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由复数z求得点Z的坐标，得到向量的坐标，逆时针旋转，得到向量的坐标，则对应的复数可求.‎ ‎【详解】解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1）， ‎ ‎∴＝(0，1)，将绕原点O逆时针旋转得到， 设＝(a，b)，，‎ 则，‎ 即， 又，‎ 解得：，‎ ‎∴，‎ 对应复数为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.‎ ‎3.已知向量是单位向量，，且，则（ ）‎ A. 11 B. 9 C. 11或9 D. 121或81‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由，可知两向量的夹角为0或π，利用向量数量积求模长，计算可求解.‎ ‎【详解】由题意，因为，则两向量的夹角为0或π，‎ 则有，‎ 则或9.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积以及向量模长的运算，属于基础题.‎ ‎4.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊元素及捆绑法得“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,利用古典概型求解即可 ‎【详解】“仁义礼智信”排成一排,任意排有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,故概率 故选：A ‎【点睛】本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题 ‎5.已知直线与平面，且，则是（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分必要条件定义说明两个命题的真假．‎ ‎【详解】在时，则，‎ 若，则有或，不充分，‎ 若，设过作一平面与相交于直线，则，从而，所以，必要性成立，‎ 因此就在是必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查线面平行与面面垂直的关系，掌握线面间的位置关系和面面垂直的判定定理是解题关键．‎ ‎6.若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角恒等变换化简函数解析式，求出正弦函数的单调增区间，即可得出的最大值.‎ ‎【详解】由题意可得，令 得，令，得，所以的最大值为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦型函数的单调性求参数的范围，属于中档题.‎ ‎7.已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，是底面圆上的弦，为等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，找出异面直线与所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.‎ ‎【详解】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，‎ 则，，‎ 所以为异面直线与所成的角，‎ 在三角形中，，，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值的计算，一般通过平移直线的方法找到异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）‎ A. 或 B. 1或 C. 或2 D. 或1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出和都关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.‎ ‎【详解】解：已知，①‎ 且，分别是上的偶函数和奇函数，‎ 则，‎ 得：，②‎ ‎①+②得：，‎ 由于关于对称，‎ 则关于对称，‎ 为偶函数，关于轴对称，‎ 则关于对称，‎ 由于有唯一零点，‎ 则必有，，‎ 即：，‎ 解得：或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数基本性质的应用，涉及函数的奇偶函数，对称性和零点，考查函数思想和分析能力.‎ 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）‎ ‎9.随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是（ ）.‎ A. 2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；‎ B. 2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；‎ C. 中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；‎ D. 2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.‎ ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条形图判断人数增减性，即可判断A；根据折线图判断同比增长率增减性，即可判断B； 根据折线图判断同比增长率,即可判断C；计算2016-2018年滑雪人数的增长率可判断D.‎ ‎【详解】根据条形图知，2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以A正确；‎ 根据条形图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数逐年增加，‎ 根据折线图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数同比增长率逐年增加，所以B正确；‎ 根据条形图知，中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数为万人，2018年比2017年增加的滑雪人数为万人，根据折线图知，2015年比2014年同比增长率上升，但2018年比2017年同比增长率有下降，故C错误；‎ ‎2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为，故D错误；‎ 故选：AB ‎【点睛】本题考查条形图与折线图、增长率，考查数据分析能力，属基础题.‎ ‎10.将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1‎ 个单位长度，得到的图象，若，且，则的可能取值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 0‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数图象变换得出的解析式，然后由正弦函数性质求出的可能值，再判断各选项．‎ ‎【详解】由题意，的最大值为3，最小值为－1，因此，则，由得，，，又，所以，设，，则，则当偶数（例如）时，＝1，当奇数（例如）时，＝－1，‎ 故选：BC．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质．解题关键是利用正弦函数性质得出的所有可能取值．‎ ‎11.设双曲线的左，右焦点分别为，过的直线l分别与双曲线左右两支交于两点，以为直径的圆过，且，则以下结论正确的是（ ）‎ A. ； B. 双曲线C的离心率为；‎ C. 双曲线C的渐近线方程为； D. 直线l的斜率为1.‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由推导出，然后根据双曲线的定义推理判断各选项．‎ ‎【详解】如图，作于，则，所以，所以是中点，从而，‎ 根据双曲线定义，所以，‎ 又以为直径的圆过，所以，，‎ 于是，A错；‎ 又得，，‎ 由余弦定理得 ‎，化简得，所以，B正确；‎ 由得，即，所以渐近线方程为，C正确；‎ 易知，所以，D错．‎ 故选：BC．‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查双曲线的离心率、渐近线方程，考查平面向量的数量积，解题关键是由数量积的关系得出等腰三角形，由双曲线的定义得出各线段长（用表示）．本题属于中档题．‎ ‎12.如图，在边长为4的正三角形中，E为边的中点，过E作于D.把沿翻折至的位置，连结.翻折过程中，其中正确的结论是（ ）‎ A. ；‎ B. 存在某个位置，使；‎ C. 若，则的长是定值；‎ D. 若，则四面体的体积最大值为 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面垂直的性质判断A，B；取中点，可证明，从而可计算出，判断C；折叠过程中，不动，当到平面的距离最大时，四面体的体积最大，从而计算出最大体积后判断D．‎ ‎【详解】由，，得平面，又平面，所以，A正确；‎ 若存在某个位置，使，如图，连接，因为，所以，‎ 连接，正中，，，所以平面，而平面，所以，由选项A的判断有，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以，则，这是不可能的，事实上，B错；‎ 设是中点，连接，则，所以，从而，是中点，所以，若，即，所以，所以，且由得，所以，‎ 边长为4，则，，，为定值，C正确；‎ 折叠过程中，不变，不动，当到平面距离最大时，四面体的体积最大，由选项的判断知当平面时，到平面的距离最大且为，又，所以此最大值为，D正确．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点睛】本题考查折叠过程中的线面间的位置关系，考查线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，本题考查学生的分析问题解决问题的能力，考查空间想象能力，属于中档题．‎ 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知随机变量服从正态分布，且，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：正态分布均值为，，故.‎ 考点：正态分布．‎ ‎14.若多项式，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为，令，解得，则，得解．‎ ‎【详解】由展开式的通项为，‎ 令，解得，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ ‎15.的内角的对边分别为，若，则_______，的最大值是________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得与的关系，即可求得的值；（2）利用诱导公式将用、表示，再利用基本不等式，即可得答案；‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎；‎ 由于求的最大值，只需考虑的情况，‎ 所以，等号成立当且仅当.‎ 故答案为： ；.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、诱导公式、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用基本不等式求最值，要考虑等号成立的条件.‎ ‎16.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，即.设，由得，从而.判断函数的单调性，数形结合求实数的取值范围.‎ ‎【详解】，‎ 即.‎ 设.‎ ‎,‎ ‎.‎ 由，得；由，得或，‎ 函数在上单调递增，在和上单调递减，如图所示 ‎ ‎ 当时，.‎ 又，且时，，‎ 由图象可知，要使不等式的解集中恰有两个整数，‎ 需满足，即.‎ 所以实数的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.‎ 四.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知的内角，，的对边分别为，，，.设为线段上一点，，有下列条件：‎ ‎①；②；③.‎ 请从以上三个条件中任选两个，求的大小和的面积.‎ ‎【答案】；的面积为1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若选①②，则，，根据余弦定理即可求出，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出，再根据正弦定理求出，通过三角形内角和关系求得，则，最后利用三角形面积公式即可求出的面积；‎ 若选②③，，，，可求得，根据余弦定理即可求出，三角形的内角和得出，再根据正弦定理求出，通过三角形内角和关系求得，则，最后利用三角形面积公式即可求出的面积；‎ 若选①③，则，，由余弦定理可求出，由，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出，由三角形内角和关系得出，再根据正弦定理求出，通过三角形内角和关系求得 ‎，则，最后利用三角形面积公式即可求出的面积.‎ ‎【详解】（解法一）选①②，则，，‎ 由余弦定理可得：，‎ 又，∴，‎ ‎∴，‎ 在中，由正弦定理可得，‎ ‎∵，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴，，‎ 则在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（解法二）选②③，∵，，，‎ ‎∴，‎ 由余弦定理可得：，‎ 又，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 在中，由正弦定理可得，‎ ‎∵，∴.‎ 又，∴，‎ ‎∴，，‎ 则在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（解法三）选①③，则，，‎ 则：，‎ 由余弦定理可得：，‎ 又，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 在中，由正弦定理可得，‎ ‎∵，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴，，‎ 则在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形的面积公式，还涉及三角形的内角和以及等腰三角形的性质，考查运算能力.‎ ‎18.已知数列为正项等比数列，数列为等差数列，，，且，.‎ ‎（1）求数列和数列的通项公式；‎ ‎（2）将数列中的第3项，第6项，第9项，，第项，删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前2021项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用等差等比数列的基本知识运算即可.‎ ‎（2）将数列中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列中的奇数项与偶数项仍成等比数列，然后利用分组求和法求出答案即可.‎ ‎【详解】（1）设数列首项为，公比为，数列首项为，公差为.‎ 因为，所以解得，所以.‎ 因为，，所以，公比，所以.‎ ‎（2）由题意知，将数列中第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列中的奇数项与偶数项仍成等比数列，‎ 首项分别是，，公比均是8.‎ ‎.‎ ‎【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.‎ ‎19.在四棱锥中，，．‎ ‎（1）若点为的中点，求证：平面；‎ ‎（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.‎ ‎【详解】(Ⅰ)取的中点为，连结，.‎ 由已知得，为等边三角形，.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴.‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴∥平面.‎ ‎∵为的中点，为的中点，∴∥.‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴∥平面.‎ ‎∵，∴平面∥平面.‎ ‎∵平面，∴∥平面. ‎ ‎(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.‎ ‎∵平面平面，，‎ ‎∴平面，，.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.‎ 则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).‎ 易知平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，，∴，‎ ‎∵，，∴.‎ 令，得，∴，‎ ‎∴.‎ 设二面角的大小为，则. ‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.‎ ‎20.发展“会员”、提供优惠，成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式．某连锁店为了吸引会员，在2019年春节期间推出一系列优惠促销活动．抽奖返现便是针对“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动：“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会．抽奖机如图：抽奖者第一次按下抽奖键，在正四面体的顶点出现一个小球，再次按下抽奖键，小球以相等的可能移向邻近的顶点之一，再次按下抽奖键，小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一……每一个顶点上均有一个发光器，小球在某点时，该点等可能发红光或蓝光，若出现红光则获得2个单位现金，若出现蓝光则获得3个单位现金．‎ ‎（1）求“银卡会员”获得奖金的分布列；‎ ‎（2）表示第次按下抽奖键，小球出现在点处的概率．‎ ‎①求，，，的值；‎ ‎②写出与关系式，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）①，，，；②，理由详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设“银卡会员”获得奖金为个单位现金，得出的取值以及相应的概率，最后列出分布列；‎ ‎（2）①第一次按下抽奖键小球一定出现在正四面体的顶点，得出，第二次按下时，小球移向其它相邻点，则，第三次按下时，由于小球不在点，则，第四次按下时，可分两种情况进行讨论，得出；‎ ‎②分两种情况进行讨论，第一种：第次按下抽奖键小球出现在点处，第二种：第按下抽奖键小球不在点处，根据独立事件的性质，即可得出与关系式.‎ ‎【详解】（1）设“银卡会员”获得奖金为个单位现金，则可取4，5，6‎ ‎；；‎ 的分布列:‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（2）①第一次按下抽奖键小球一定出现在正四面体的顶点，得出 第二次按下时，小球移向其它相邻点，则 第三次按下时，由于小球不在点，则 第四次按下抽奖键时 若第三次结束小球在点，则第四次按下抽奖键时小球出现在点的概率为0‎ 若第三次结束小球不在点，则第四次按下抽奖键时小球出现在点的概率为 ‎．‎ ‎②由题意知：若第次按下抽奖键小球出现在点处，则第次小球出现在点处的概率为0；‎ 若第按下抽奖键小球不在点处，则第次小球出现在点处的概率为．‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的分布列以及独立事件的实际应用，属于中档题.‎ ‎21.如图，已知抛物线E：（）与圆O：相交于A，B两点，且.过劣弧上的动点作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线，，相交于点M.‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）求点M到直线距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用求得圆心到弦的距离为1，即可求得点的坐标为，将代入抛物线方程可得，问题得解 ‎（2）设，，分别求得与的方程，即可求得点的横、纵坐标为，，联立直线的方程和抛物线方程可得：，，即可得点的横、纵坐标为，，再由点到直线距离公式可得点M到直线的距离为：，，利用其单调性可得：，问题得解 ‎【详解】（1），且B在圆上，‎ 所以圆心到弦的距离 由抛物线和圆的对称性可得，‎ 代入抛物线可得，解得，‎ ‎∴抛物线E的方程为；‎ ‎（2）设，， ‎ 由，可得，‎ ‎∴， ‎ 则的方程为：，即——①，‎ 同理的方程为：——②，‎ 联立①②解得，， ‎ 又直线与圆切于点，‎ 易得方程为，其中，满足，，‎ 联立，化简得，‎ ‎∴，， ‎ 设，则，，‎ ‎∴点M到直线的距离为：‎ ‎，‎ 易知d关于单调递减，， ‎ 即点M到直线距离的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式及圆上的点的切线知识、点到直线距离公式，还考查了韦达定理及转化能力、计算能力，属于难题 ‎22.已知函数（R）．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 ‎；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求函数的单调区间，实质上就是解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）函数的最大值一般与函数的单调性联系在一起，本题中，其单调性要对进行分类，时，函数在上单调递增，在上单调递减，不合题意，故有，按极值点与0的大小分类研究单调性有最大值．‎ 试题解析：（1）当时，，‎ 则，‎ 令，得或；令，得，‎ ‎∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．‎ ‎（2）由题意，‎ ‎（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实 数，使得当时，函数的最大值为．‎ ‎（2）当时，令，有，，‎ ‎①当时，函数在上单调递增，显然符合题意．‎ ‎②当即时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减，在处取得极大值，且，‎ 要使对任意实数，当时，函数的最大值为，‎ 只需，解得，又，‎ 所以此时实数的取值范围是．‎ ‎③当即时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减，要存在实数，使得当时，‎ 函数的最大值为，需，‎ 代入化简得，①‎ 令，因为恒成立，‎ 故恒有，所以时，①式恒成立，‎ 综上，实数的取值范围是．‎ 考点：函数的单调性与最值．‎ ‎【名题点晴】本题实质考查导数的应用，主要围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，这类问题一般是设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、转化与化归思想等数学思想方法．要注意分类讨论时分类标准的确定，函数的最值与函数极值的区别与联系．‎