2018版高考数学(人教A版理)一轮复习:第7章 第6节 课时分层训练43

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2018版高考数学(人教A版理)一轮复习:第7章 第6节 课时分层训练43

课时分层训练(四十三) 空间向量及其运算 A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是(  )‎ A.垂直        B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 B [由题意得,=(-3,-3,3),=(1,1,-1),‎ ‎∴=-3,‎ ‎∴与共线,‎ 又与没有公共点.‎ ‎∴AB∥CD.]‎ ‎2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为(  ) ‎ ‎【导学号:01772269】‎ A.-2 B.- C. D.2‎ D [由题意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,所以14-7λ=0,解得λ=2.]‎ ‎3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等,E是BC的中点,那么(  ) ‎ ‎【导学号:01772270】‎ A.·<· B.·=· C.·>· D.·与·的大小不能比较 C [取BD的中点F,连接EF,则EF綊CD.‎ 因为AE⊥BC,‎ ‎〈,〉=〈,〉>90°.‎ 所以·=0,·<0,‎ 因此·>·.]‎ ‎4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为(  )‎ A.a2 B.a2‎ C.a2 D.a2‎ C [如图,设=a,=b,=c,‎ 则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.‎ =(a+b),=c,‎ ‎∴·=(a+b)·c ‎=(a·c+b·c)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.]‎ ‎5.如图767,在大小为45°的二面角AEFD中,四边形ABFE,CDEF 都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(  )‎ 图767‎ A. B. C.1 D. D [∵=++,‎ ‎∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故||=.]‎ 二、填空题 ‎6.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=________. ‎ ‎【导学号:01772271】‎ ‎-9 [由题意知c=xa+yb,‎ 即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),‎ ‎∴解得λ=-9.]‎ ‎7.正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD中点,则EF的长为________. ‎ ‎【导学号:01772272】‎  [||2=(++)2‎ ‎=+++2(·+·+·)‎ ‎=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)‎ ‎=2,‎ ‎∴||=,∴EF的长为.]‎ ‎8.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时,点Q的坐标是________.‎  [由题意,设=λ,即=(λ,λ,2λ),‎ 则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),‎ ‎∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=62-,当λ=时有最小值,此时Q点坐标为.]‎ 三、解答题 ‎9.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.‎ ‎(1)若|c|=3,且c∥,求向量c;‎ ‎(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.‎ ‎[解] (1)∵c∥,=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),‎ ‎∴c=m=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m),2分 ‎∴|c|==3|m|=3,‎ ‎∴m=±1.‎ ‎∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2).5分 ‎(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2).‎ ‎∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1.7分 又∵|a|==,‎ ‎|b|==,‎ ‎∴cos〈a,b〉===-,‎ 故向量a与向量b的夹角的余弦值为-.12分 ‎10.(2017·长春模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).‎ ‎(1)求以,为边的平行四边形的面积;‎ ‎(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.‎ ‎[解] (1)由题意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以cos〈,〉= ‎===.3分 所以sin〈,〉=,‎ 所以以,为边的平行四边形的面积为 S=2×||·||·sin〈,〉=14×=7.5分 ‎(2)设a=(x,y,z),由题意得 解得或 所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).12分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC中点,则△AMD是(  )‎ A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 C [∵M为BC中点,‎ ‎∴=(+),‎ ‎∴·=(+)· ‎=·+·=0.‎ ‎∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.]‎ ‎2.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,则以b,c为方向向量的两直线的夹角为________.‎ ‎60° [由题意得,(2a+b)·c=0+10-20=-10.‎ 即2a·c+b·c=-10.‎ 又∵a·c=4,∴b·c=-18,‎ ‎∴cos〈b,c〉===-,‎ ‎∴〈b,c〉=120°,∴两直线的夹角为60°.]‎ ‎3.在直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点.‎ 图768‎ ‎(1)求证:CE⊥A′D;‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. ‎ ‎【导学号:01772273】‎ ‎[解] (1)证明:设=a,=b,=c,‎ 根据题意得,|a|=|b|=|c|,‎ 且a·b=b·c=c·a=0,‎ ‎∴=b+c,=-c+b-a.3分 ‎∴·=-c2+b2=0.‎ ‎∴⊥,即CE⊥A′D.5分 ‎(2)∵=-a+c,||=|a|,||=|a|.‎ ·=(-a+c)·=c2=|a|2,‎ ‎∴cos〈,〉==.10分 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.12分
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