黑龙江省鹤岗市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题
2017级高三第一次月考文科数学试题
一、选择题（共12题，每题5分）
1.已知全集 ，集合 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合A的补集，进而进行并运算即可.
【详解】∵全集 ，集合 ，
∴，又
∴
故选：D
【点睛】本题考查集合的交并补运算，理解好题意是解题的关键，属于基础题.
2.复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：,选D.
考点：复数的四则运算.
3.下列正确的是( )
A. 若a，b∈R，则
B. 若x<0，则x＋≥－2＝－4
C. 若ab≠0，则
D. 若x<0，则2x＋2－x>2
【答案】D
【解析】
对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－ ≤－2 ＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－
2成立．
故选D.
4.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由∈（0，1），b＝lnln2＜0，，即可得出大小关系．
【详解】∈（0，1），b＝lnln2＜0，
∴b＜a＜c．
故选：B．
【点睛】本题考查了指数与对数运算性质及其指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式。由条件可知==，所以应选A。
6.函数y=sin2x的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
7.已知函数，则为 （ ）
A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数
C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象与性质，结合奇偶性和单调性的性质进行判断即可．
详解】解：∵f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，
∵y＝2x增函数y＝2﹣x是减函数，
∴y＝2x﹣2﹣x是增函数，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性的定义以及单调性的性质进行判断是解决本题的关键．
8.等差数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差中项的性质，，，再将转化为含有的算式即可．
【详解】因为数列为等差数列，
所以，，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了等差数列的性质，等差中项，等差数列的前项和．属于基础题．
9.在中，分别为内角的对边，若，则（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，有的值求出的值，结合正弦定理可得，计算可得的值，比较、的大小，分析可得答案．
【详解】根据题意，在中，，则，且为锐角；
又由，可得，
又由，则，则，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．
10.设均为不等于的正实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先通过对数运算可判断出时，，得到充分条件成立；当
时，可根据对数运算求出或或，得到必要条件不成立，从而可得结果.
【详解】由，可得：，则，即
可知“”是“”的充分条件
由可知，则
或
或或
可知“”是“”的不必要条件
综上所述：“”是“”的充分不必要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，关键是能够通过对数运算来进行判断.
11.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A. 2019 B. 1 C. 0 D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意推导出函数的对称性和周期性，可得出该函数的周期为，于是得出
可得出答案。
【详解】函数是上的奇函数，则，
，所以，函数的周期为，
且，，，
，，
，
，故选：C。
【点睛】本题考查抽象函数求值问题，求值要结合题中基本性质和相应的等式进行推导出其他性质，对于自变量较大的函数值的求解，需要利用函数的周期性进行求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题。
12.已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数判断函数在上的单调性，可得出与的大小关系，经过化简可得出正确选项.
【详解】构造函数，则，当时，.
所以，函数在上单调递增，，，即，
即，故选：A.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，根据导数不等式的结构构造新函数求解是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题（共4题，每题5分）
13.已知实数满足约束条件,则的最大值为_______.
【答案】8
【解析】
【分析】
①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0＝2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值
【详解】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0＝2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8
故答案为8
【点睛】本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解．
14.已知函数.，则曲线在点处的切线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
求得f（x）的导数，可令x＝2
，可得切线的斜率，以及切点，再由点斜式方程可得切线方程．
【详解】由题意可得：,
∴
∴切线斜率为1，切点坐标为：，
由点斜式可得切线方程：
即.
故答案为：
【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．
15.在中，角，，的对边分别为，，，且，，则角等于__________．
【答案】
【解析】
，所以，
则。
点睛：本题考查余弦定理在解三角形中的应用。本题条件为一个角，边的二次关系，则利用余弦定理解三角形。本题中，通过余弦定理，得到，求得角C。解三角形题型关键是正确应用正弦定理和余弦定理。
16. 观察下列等式：
据此规律，第个等式可写为 ________．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知得，第个等式含有项，其中奇数项为，偶数项为，其等式右边为后项的绝对值之和，所以第个等式为．
考点：归纳推理．
三、解答题（17、18、19、20、21每题12分，22、23每题10分）
17.已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（I）2；（II）最小正周期是，.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，
＝﹣cos2xsin2x，
＝﹣2，
则f（）＝﹣2sin（）＝2，
（Ⅱ）因为．
所以的最小正周期是．
由正弦函数的性质得
，
解得，
所以，的单调递增区间是．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．
18.已知公差不为0的等差数列的前三项和为12，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意列出方程组，求得，即可得到数列的通项公式．
（2）由（1）知，利用等比数列的前项和公式，即可求解数列的和．
因为，所以数列是以4为首项，4为公比等比数列，
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为.
依题意有，即.
由，解得，所以.
（2）由（1）知.
因为，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
【点睛】等差、等比数列的综合是高考考查的热点，一般都是突出基本量和方程思想，强调基本的运算.解题时，关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系.注意运用等差数列与等比数列的基本量，即与来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化.
19.已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值．
【答案】（1）（2）2＋.
【解析】
（Ⅰ）由，得，
即，∴，故．
（Ⅱ）由，得，即，①
又，∴，②
由①②可得，所以．
【点睛】利用正、余弦定理进行“边转角”或“角转边”是近几年高考的热点，常求三角形的边、角及三角形的面积.要灵活运用正弦定理进行“边转角”或“角转边”，结合余弦定理和面积公式，注意运用 三者的关系解题.
20.已知数列中，且．
（Ⅰ）求，；并证明是等比数列；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据递推式逐步代入算出和的值，再根据题意将的递推式代入进行计算化简最终会得到和的关系，最终得证数列是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得的通项公式，得到，由通项公式的特点可根据错位相减法得到数列的前项和．
【详解】（Ⅰ）由题意，可知：
，
．
①当时，，
②当时， ．
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可知：
，
．．
．
， ③
④
③-④，可得：
，
【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前项和．本题属中档题．
21.已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域与导数，然后在定义域内分别解不等式和，可得出函数的单调递减区间和单调递增区间；
（2）由，利用参变量分离法得出在恒成立，令，将问题转化为，然后利用导数求出函数在
上的最小值，可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域为，.
令，得；令，得.
因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，
令，，则，
令，，.
所以在单调递增，而，
所以时，，即，单调递减；
时，，即，单调递增.
所以在处取得最小值，
所以，即实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键在于利用参变量分离转化为函数的最值来求解，避免了分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为 （为参数），曲线的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线相交于两点，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：
解：
(1)由，既 曲线的直角坐标方程为.
(2) 的参数方程为代入，整理的，所以，
所以.
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数
（Ⅰ）若，，求不等式的解集；
（Ⅱ）若，，且，求证：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用分类讨论法解不等式求不等式的解集；（Ⅱ）先用绝对值不等式的性质求得，再根据基本不等式可得，利用不等式的传递性可得．
【详解】（Ⅰ）时，或或，
解得，
故不等式的解集为；
（Ⅱ）时，当且仅当时，取等.
∵，∴，
当且仅当时取等．
故．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了三角绝对值不等式的应用，考查了基本不等式求最值，属中档题．
