- 2021-04-14 发布 |
- 37.5 KB |
- 8页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十六直接证明与间接证明、数学归纳法理北师大版
核心素养测评三十六 直接证明与间接证明、数学归纳法 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2019·太原模拟)下列说法不正确的是 ( ) A.综合法是由因导果顺推证法 B.分析法是执果索因逆推证法 C.综合法和分析法都是直接证法 D.综合法和分析法在同一题的证明中不可能同时使用 【解析】选D.综合法是由因导果的顺推证法、分析法是执果索因的逆推证法、分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件,即A,B,C正确;综合法与分析法在同一题的证明中可能同时采用,故D不正确. 2.(2020·长春模拟)用反证法证明命题“若a2+b2=0(a,b∈R),则a,b全为0”,其反设正确的是 ( ) A.a,b全为0 B.a,b中只有一个为0 C.a,b至少有一个为0 D.a,b至少有一个不为0 【解析】选D.“a,b全为0(a,b∈R)”的否定为:“a,b至少有一个不为0”. 3.(2019·三明模拟)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n应等于 ( ) A.1 B.4 C.5 D.6 【解析】选D.n=1时,左边=2,右边=4;n=2时,左边=4,右边=9;n=3时,左边=8,右边=16;n=4时,左边=16,右边=25;n=5时,左边=32,右边=36;n=6时,左边=64,右边=49, 所以初始值n应等于6. 4.设n∈N,则-与-的大小关系是 ( ) A.->- B.-<- C.-=- D.不能确定 - 8 - 【解析】选B.由题意知,(-)-(-)=(+ )-(+), 因为(+)2-(+)2 =2[-] =2(-)<0, 所以-<-. 5.(2020·湖州模拟)用数学归纳法证明不等式++…+≥(n∈N*),则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上 ( ) A. B.- C.++ D.+- 【解析】选D.当n=k时, 等式左端=++…+, 当n=k+1时,等式左端=++…+,增加了+-. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.(2019·平遥模拟)用数学归纳法证明某个命题时,左边为1·2·3·4+2·3·4·5+…+n·(n+1)·(n+2)·(n+3),从n=k到n=k+1左边需增加的代数式为________________. 【解析】用数学归纳法证明左边为1·2·3·4+2·3·4·5+…+n·(n+1)·(n+2)·(n+3)的过程中, 从n=k到n=k+1时,左边需增加的代数式是(k+1)·(k+2)·(k+3)·(k+4) 答案:(k+1)·(k+2)·(k+3)·(k+4) - 8 - 7.(2020·南通模拟)用反证法证明命题:“若(a-1)·(b-1)·(c-1)>0,则a,b,c中至少有一个大于1”时,要做的假设是“假设a,b,c________________”. 答案:都不大于1 8.(2019·绍兴模拟)用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+(n∈N*)”,第一步应验证的等式是________________,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是________________. 【解析】用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+(n∈N*)”, 第一步应验证的等式为:1-=; 从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是: - =-. 答案:1-= - 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0). (1)求a2,a3,a4. (2)猜想{an}的通项公式,并加以证明. 【解析】(1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22, a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23, a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24. (2)由(1)可猜想数列通项公式为: an=(n-1)λn+2n. - 8 - 下面用数学归纳法证明: ①当n=1,2,3,4时,等式显然成立, ②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时等式成立, 即ak=(k-1)λk+2k, 那么当n=k+1时, ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k =λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k =(k-1)λk+1+λk+1+2k+1 =[(k+1)-1]λk+1+2k+1, 所以当n=k+1时,ak+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,猜想成立, 由①②知数列的通项公式为an=(n-1)λn+2n(n∈N*,λ>0). 10.设f(n)=1+++…+,是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)·[f(n)-1]对于n≥2的一切正整数都成立?并证明你的结论. 【解析】当n=2时,由f(1)=g(2)·[f(2)-1], 得g(2)===2, 当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)·[f(3)-1], 得g(3)===3, 猜想g(n)=n(n≥2). 下面用数学归纳法证明: 当n≥2时,等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立. ①当n=2时,由上面计算知,等式成立. ②假设n=k(k≥2)时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1]成立, 那么当n=k+1时, - 8 - f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k =(k+1)-k =(k+1)[f(k+1)-1], 所以当n=k+1时,等式也成立. 由①②知,对一切n≥2的正整数n,等式都成立. 故存在函数g(n)=n,使等式成立. (15分钟 30分) 1.(5分)分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是 ( ) A.x2>2 B.x2>4 C.x2>0 D.x2>1 【解析】选C.因为x>0,所以要证<1+, 只需证()2<,即证0<,即证x2>0, 因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立. 2.(5分)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b与a(n≥2)的过程中,设f(k)=++…+,从n=k递推到n=k+1时,不等式左边为 ( ) A.f(k)+ B.f(k)++ C.f(k)++…+- D.f(k)+- 【解析】选C.当n=k时,左端=++…+,那么当n=k+1时,左端=++…+++…+, 故第二步由k到k+1时,不等式左边为f(k)++…+-. 【变式备选】 已知n∈N*,用数学归纳法证明f(n)=1+4+7+…+(3n-2)=时.假设当n=k(k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是 ( ) A.f(k+1)=f(k)+3k-5 - 8 - B.f(k+1)=f(k)+3k-2 C.f(k+1)=f(k)+3k+1 D.f(k+1)=f(k)+3k+4 【解析】选C.因为用数学归纳法证明等式f(n)=1+4+7+…+(3n-2)=时,假设n=k时,命题成立,f(k)=1+4+7+…+(3k-2)=, 则当n=k+1时,左端为f(k+1)=1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是f(k+1)=f(k)+3k+1. 4.(5分)(2019·太原模拟)用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设________________. 【解析】“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”. 答案:x≠-1且x≠1 5.(10分)已知数列{an}满足:a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. (1)求证:数列为等差数列,并求出数列{an}的通项公式. (2)记bn=(n∈N*),用数学归纳法证明:b1+b2+…+bn<1-,n∈N*. 【证明】(1)a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1), 可得=+1,则数列为首项为2,公差为1的等差数列,则=2+n-1=n+1,即an=n(n+1). (2)bn==, 当n=1时,b1=,1-=,即<; 假设n=k时,不等式b1+b2+…+bk<1-成立,k∈N*. - 8 - 当n=k+1时,b1+b2+…+bk+bk+1<1-+, 要证1-+<1-,即证<-,即证2(k+1)<2k+3,显然成立,即n=k+1时,不等式成立.则证得b1+b2+…+bn<1-,n∈N*. - 8 -查看更多