2019学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教通用版

2019学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教通用版

‎2019高二年级期末考试 数学试卷（理科）‎ ‎ 时量：120分钟 总分：150分 命题人：‎ 班级__________ 姓名___________ 考号___________‎ 一．选择题 （每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知复数，则“”是“为纯虚数”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 ‎2．已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知，如果，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．命题， ，命题，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知若三个向量共面，则实数（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．5‎ ‎7．学校艺术节对同一类的 15‎ 四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:‎ 甲说:“是或作品获得一等奖”;‎ 乙说:“作品获得一等奖”;‎ 丙说:“两项作品未获得一等奖”;‎ 丁说:“是作品获得一等奖”.‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是：（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.若函数f（x）=，则是（ ）‎ A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数 C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数 ‎9．直三棱柱中， ， ，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知函数f（x）=，给出下列结论：‎ ‎①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间；‎ ‎②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点；‎ ‎③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点．‎ 其中正确结论的序号是（ ）‎ A．①②③ B．①② C．①③ D．②③‎ 15‎ ‎12．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二.填空题 （每小题5分，共20分）‎ ‎13．设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则_____‎ ‎14．由函数，的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的阴影部分）的面积是__________．‎ ‎15．点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于两点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎16．已知函数满足，且的导函数，则的解集为_____________‎ 三．解答题 （ 17题10分，18题至22题每小题12分，共 70分）‎ ‎17．设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）， 恒成立，求实数的取值范围.‎ 15‎ ‎18．如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．‎ ‎（1）试用表示方盒的容积，并写出的范围；‎ ‎（2）求方盒容积的最大值及相应的值．‎ ‎19．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C2的极坐标方程为 ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.‎ ‎20．如图在棱锥中， 为矩形， 面， ， 与面成角， 与面成角. ‎ ‎（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）当为中点时，求二面角的余弦值. ‎ 15‎ ‎21.已知椭圆经过点，离心率。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，0为坐标原点，求的面积的最大值。‎ ‎22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a为实常数）．‎ ‎（1）若a=﹣2，求曲线 y=f（x）在x=1处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性；‎ ‎（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．‎ 15‎ ‎2019高二年级期末考试 数学试卷参考答案 一选择题。‎ ‎1．已知复数，则“”是“为纯虚数”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 ‎【答案】D ‎2．已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3．已知，如果，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎4．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎5．命题， ，命题，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6．已知若三个向量共面，则实数（ ）‎ 15‎ A．-1 B．0 C．1 D．5‎ ‎【答案】D ‎7．学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:‎ 甲说:“是或作品获得一等奖”;‎ 乙说:“作品获得一等奖”;‎ 丙说:“两项作品未获得一等奖”;‎ 丁说:“是作品获得一等奖”.‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎8．若函数f（x）=，则是（ ）‎ A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数 C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数 ‎【答案】C ‎9．直三棱柱中， ， ，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎10．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 15‎ ‎11．已知函数f（x）=，给出下列结论：‎ ‎①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间；‎ ‎②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点；‎ ‎③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点．‎ 其中正确结论的序号是（ ）‎ A．①②③ B．①② C．①③ D．②③‎ ‎【答案】C ‎12．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 二.填空题 ‎13．设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则_____【答案】 ‎ ‎14．由函数，的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的阴影部分）的面积是__________．‎ 15‎ ‎【答案】‎ ‎15．点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于两点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎16．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）‎ ‎【答案】 ‎ 三．解答题 ‎17．设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】 (1) f(x)= ,当x<-1时，解得x<-6;‎ 当时，解得；‎ 当x>2时，x>2.‎ 综上：x。 ……………………5分 ‎（2）由（1）f（x）最小值为f(-1)=-3,即： 解得 ‎ ‎……………………10分 15‎ ‎18．如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．‎ ‎（1）试用表示方盒的容积，并写出的范围；‎ ‎（2）求方盒容积的最大值及相应的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）方盒容积的最大值为16，相应的值为1.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意，无盖方盒底面是边长为的正方形，高为，从而有：‎ 其中，满足：， ……………………6分 ‎（2）由（1）知：，‎ 若，则；若，则 ‎ 在上单调递增，在上单调递减 ‎ 在处取得极大值，也是最大值 ‎ ‎ 故方盒容积的最大值为16，相应的值为1。……………………12分 ‎19．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C2的极坐标方程为 ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.‎ ‎【答案】(1) (2) ， ‎ 15‎ 试题解析：‎ ‎(1) 对于曲线有 ‎ ，即的方程为： ；‎ 对于曲线有 ‎ ‎，所以的方程为. ……………………6分 ‎ ‎ ‎ (2) 显然椭圆与直线无公共点，椭圆上点到直线的距离为： ，‎ 当时， 取最小值为，此时点的坐标为.…………12分 ‎20．如图在棱锥中， 为矩形， 面， ， 与面成角， 与面成角. ‎ ‎（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）当为中点时，求二面角的余弦值. ‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ 试题解析：‎ 15‎ ‎（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在点E为PC中点 ‎ 法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ， ‎ 由题意知PD＝CD＝1，，‎ 设， ，‎ ‎,‎ 由，得，‎ 即存在点E为PC中点。 ……………………6分 ‎（2）由（Ⅰ）知， ， ， ‎ ‎， ， ， ‎ 设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为 由的法向量为得， 得 同理求得 所以 故所求二面角P－AE－D的余弦值为. ……………………12分 ‎ ‎ 15‎ ‎21．已知椭圆经过点，离心率。‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由点在椭圆上得， ①‎ ‎②‎ 由①②得，故椭圆的标准方程为………………4分 ‎ ‎ ‎……………………12分 ‎22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a为实常数）．‎ ‎（1）若a=﹣2，求曲线 y=f（x）在x=1处的切线方程；‎ 15‎ ‎（2）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性；‎ ‎（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）y﹣1=0；‎ ‎（2）见解析；‎ ‎（3）a≥﹣1‎ 解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，∴f′（x）=2x﹣2•，‎ ‎∴f′（1）=0，又f（1）=1，∴，所求切线方程为y﹣1=0；……………………2分 ‎（2）求导数可得，x∈[1，e]，‎ 当即a≤2时，x∈[1，e]，f′（x）≥0，此时，f（x）在[1，e]上单调增；‎ 当即2＜a＜2e时，时，f′（x）＜0，f（x）上单调减；‎ 时，f′（x）＞0，f（x）在上单调增；‎ 当即a≥2e时，x∈[1，e]，f′（x）≤0，此时，f（x）在[1，e]上单调减；…7分 ‎（3）当a≤2时，∵f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）的最小值为f（1）=﹣a﹣1，∴﹣1≤a≤2‎ 当2＜a＜2e时，f（x）在上单调减，在上单调增，‎ ‎∴f（x）的最小值为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴2＜a＜2e 当a≥2e时，f（x）在[1，e]上单调减，∴f（x）的最小值为f（e）=e2﹣（a+2）e+a，‎ ‎∵，∴f（e）＜0，∴a≥2e 15‎ 综上可得a≥﹣1． ……………………12分 15‎