重庆市渝北区(六校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

重庆市渝北区(六校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

重庆市渝北区 (六校联考） 2021 届新高考模拟化学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知 1 3 3 1 3 7 1 1log , ( ) , log 2 4 5 a b c ，则 , ,a b c 的大小关系为 A． a b c B． b a c C． c b a D． c a b 【答案】 D 【解析】 【详解】 分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定 a,b,c 的大小关系 . 详解：由题意可知： 3 3 3 73 9 2 log log log ，即 1 2a ， 1 0 3 11 10 4 4 ，即 0 1b ， 1 3 3 3 1 75 5 2 log log log ，即 c a ，综上可得： c a b.本题选择 D 选项 . 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数 不相同， 不能直接利用函数的单调性进行比较． 这就必须掌握一些特殊方法． 在进行指数幂的大小比较时， 若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指 数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 2．第 24 届冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京市和张家口市举行， 为了解奥运会会旗中五环 所占面积与单独五个环面积之和的比值 P，某学生做如图所示的模拟实验： 通过计算机模拟在长为 10，宽 为 6 的长方形奥运会旗内随机取 N 个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为 n 个，已知圆环半径 为 1，则比值 P 的近似值为 ( ) A． 8N n B． 12n N C． 8n N D． 12N n 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值 P . 【详解】 设会旗中五环所占面积为 S ， 由于 S 60 n N ，所以 60nS N ， 故可得 5 SP 12n N . 故选： B. 【点睛】 本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题 . 3．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0)x yM b a a b 的焦距为 2c ，若 M 的渐近线上存在点 T ，使得经过点 T 所作 的圆 2 2 2( ) ac yx 的两条切线互相垂直，则双曲线 M 的离心率的取值范围是（ ） A． (1, 2] B． ( 2, 3] C． ( 2, 5] D． ( 3, 5] 【答案】 B 【解析】 【分析】 由 b a 可得 2e ；由过点 T 所作的圆的两条切线互相垂直可得 2TF a ,又焦点 (c,0)F 到双曲线渐 近线的距离为 b ,则 2TF a b≥ ,进而求解 . 【详解】 b aQ ,所以离心率 2 1 2c be a a , 又圆 2 2 2( ) ac yx 是以 (c,0)F 为圆心 ,半径 r a 的圆 ,要使得经过点 T 所作的圆的两条切线互相垂 直 ,必有 2TF a , 而焦点 (c,0)F 到双曲线渐近线的距离为 b ,所以 2TF a b≥ ,即 2b a ≤ , 所以 2 1 3c be a a ≤ ,所以双曲线 M 的离心率的取值范围是 ( 2, 3] . 故选 :B 【点睛】 本题考查双曲线的离心率的范围 ,考查双曲线的性质的应用 . 4．在 ABC 中， D 在边 AC 上满足 1 3 AD DC uuur uuur ， E 为 BD 的中点，则 CE uuur （ ）. A． 7 3 8 8 BA BC uuur uuur B． 3 7 8 8 BA BC uuur uuur C． 3 7 8 8 BA BC uuur uuur D． 7 3 8 8 BA BC uuur uuur 【答案】 B 【解析】 【分析】 由 1 3 AD DC uuur uuur ，可得 3 4 CD CA uuur uuur ， 1 ( ) 2 CE CB CD uuur uuur uuur 1 3( ) 2 4 CB CA uuur uuur ，再将 CA BA BC uuur uuur uuur 代入即 可 . 【详解】 因为 1 3 AD DC uuur uuur ，所以 3 4 CD CA uuur uuur ，故 1 ( ) 2 CE CB CD uuur uuur uuur 1 3( ) 2 4 CB CA uuur uuur 1 3 3( ) 2 4 4 BC BA BC uuur uuur uuur 3 7 8 8 BA BC uuur uuur . 故选： B. 【点睛】 本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题 . 5．若集合 1 0A x x ， 0 1 xB x x ，则 A BU （ ） A． 1,1 B． 1,1 C． 1,1 D． 1,1 【答案】 A 【解析】 【分析】 用转化的思想求出 B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可． 【详解】 解：由集合 0 1 xB x x ，解得 { |0 1}B x x ， 则 | 1 0 | 0 1 | 1 1 1,1A B x x x x x xU U剟 ? 故选： A ． 【点睛】 本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 6．马林 ●梅森是 17 世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在 欧几里得、费马等人研究的基础上对 2p﹣1 作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的 这一贡献，将形如 2P﹣ 1（其中 p 是素数）的素数，称为梅森素数 .若执行如图所示的程序框图，则输出的 梅森素数的个数是（ ） A． 3 B．4 C．5 D． 6 【答案】 C 【解析】 【分析】 模拟程序的运行即可求出答案． 【详解】 解：模拟程序的运行，可得： p＝1， S＝1，输出 S 的值为 1， 满足条件 p≤7，执行循环体， p＝3，S＝7，输出 S 的值为 7， 满足条件 p≤7，执行循环体， p＝5，S＝31，输出 S 的值为 31， 满足条件 p≤7，执行循环体， p＝7，S＝127，输出 S 的值为 127， 满足条件 p≤7，执行循环体， p＝9，S＝511，输出 S 的值为 511， 此时，不满足条件 p≤7，退出循环，结束， 故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是 5， 故选： C． 【点睛】 本题主要考查程序框图，属于基础题． 7．复数的 1 2z i i为虚数单位 在复平面内对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 C 【解析】 所对应的点为（ -1，-2）位于第三象限 . 【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题 . 8．设函数 sinf x x （ 0 ， 0 ）是 R上的奇函数，若 f x 的图象关于直线 4 x 对称，且 f x 在区间 , 22 11 上是单调函数，则 12 f （ ） A． 3 2 B． 2 2 C． 1 2 D． 1 2 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据函数 f x 为 R 上的奇函数可得 ，由函数 f x 的对称轴及单调性即可确定 的值，进而确定函数 f x 的解析式，即可求得 12 f 的值 . 【详解】 函数 sinf x x （ 0 ， 0 ）是 R 上的奇函数， 则 ，所以 sinf x x . 又 f x 的图象关于直线 4 x 对称可得 4 2 k ， k Z ，即 2 4k ， k Z ， 由函数的单调区间知， 1 2 11 4 ， 即 5.5， 综上 2 ，则 sin2f x x ， 1 12 2 f . 故选： D 【点睛】 本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题 . 9．在等腰直角三角形 ABC中， , 2 2 2 C CA ，D 为 AB 的中点， 将它沿 CD 翻折， 使点 A 与点 B 间的距离为 2 3 ，此时四面体 ABCD 的外接球的表面积为（ ）. A． 5 B． 20 5 3 C． 12 D． 20 【答案】 D 【解析】 【分析】 如图，将四面体 ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后 确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径 . 【详解】 ABC中，易知 4AB ， 2CD AD BD 翻折后 2 3AB , 22 22 2 2 3 1cos 2 2 2 2 ADB ， 120ADB o ， 设 ADB 外接圆的半径为 r ， 2 3 2 4 sin120 ro ， 2r ， 如图： 易得 CD 平面 ABD ，将四面体 ABCD 放到直三棱柱中， 则球心在上下底面外接圆圆心连线中点， 设几何体外接球的半径为 R， 2 2 2 2 21 2 1 5R r ， 四面体 ABCD 的外接球的表面积为 24 20S R . 故选： D 【点睛】 本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外 接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体 补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构 造关于外接球半径的方程求解 . 10．运行如图所示的程序框图，若输出的 i 的值为 99，则判断框中可以填（ ） A． 1S B． 2S C． lg99S D． lg98S 【答案】 C 【解析】 【分析】 模拟执行程序框图，即可容易求得结果 . 【详解】 运行该程序： 第一次， 1i ， lg 2S ； 第二次， 2i ， 3lg 2 lg lg3 2 S ； 第三次， 3i ， 4lg3 lg lg 4 3 S ， ⋯； 第九十八次， 98i ， 99lg98 lg lg99 98 S ； 第九十九次， 99i ， 100lg99 lg lg100 2 99 S ， 此时要输出 i 的值为 99. 此时 2 99S lg . 故选： C. 【点睛】 本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题 . 11．已知函数 3 sin ,f x x a x x R，若 1 2f ，则 1f 的值等于（ ） A． 2 B． 2 C． 1 a D． 1 a 【答案】 B 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性可得， (1) ( 1) 2f f 【详解】 ∵ 3( ) sinf x x a x 其中 3( )g x x 为奇函数， ( ) sint x a x 也为奇函数 ∴ ( ) ( ) ( )f x g x t x 也为奇函数 ∴ (1) ( 1) 2f f 故选： B 【点睛】 函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数 ±奇函数 =奇函数；②奇函数 ×奇 函数 =偶函数；③奇函数 ÷奇函数 =偶函数；④偶函数 ±偶函数 =偶函数；⑤偶函数 ×偶函数 =偶函数；⑥奇函 数 ×偶函数 =奇函数；⑦奇函数 ÷偶函数 =奇函数 12．设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，且 4 4 3S a ，则 2a ( ) A． 2 B． 1 C．1 D． 2 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用等差数列的性质化简已知条件，求得 2a 的值 . 【详解】 由于等差数列 na 满足 4 4 3S a ，所以 1 2 3 4 4 3a a a a a ， 1 2 3 3a a a+ + = ， 2 23 3, 1a a . 故选： C 【点睛】 本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图的 x 的值 __________． 【答案】 3 【解析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为 1和 2 ，高为 2 ， 如图所示， 1, 2, , / / ,AD BC SB x AD BC SB 平面 ,ABCD AD AB ， 所以底面积为 1 (1 2) 2 3 2 S ， 几何体的高为 x ，所以其体积为 1 3 3 3 3 V x x ． 点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几 何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时， 一般是以正视图和俯视图为主， 结合侧视图进行综合考虑． 求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关 键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 14．如图，在 ABC 中， 2BC ， AB 6 ， 2 3 ACB ，点 E 在边 AB 上，且 ACE BCE ， 将射线 CB 绕着 C 逆时针方向旋转 6 ，并在所得射线上取一点 D ，使得 3 1CD ，连接 DE ，则 CDE 的面积为 __________． 【答案】 3 3 5 【解析】 【分析】 由余弦定理求得 3 1AC ，再结合正弦定理得 2sin 2 BAC ，进而得 6 2sin sin 3 4 4 AEC ，得 4 2 3CE ，则面积可求 【详解】 由 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC ACB ，得 2 2 2 0AC AC ，解得 3 1AC . 因为 sin sin BC AB BAC ACB ，所以 2sin 2 BAC ， 4 BAC ， 所以 6 2sin sin sin 3 4 4 AEC ACE BAC . 又因为 sin sin CE AC BAC AEC ，所以 4 2 3CE . 因为 2 ECD BCE BCD ，所以 1 3 3 5 2DCES CE CD . 故答案为 3 3 5 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题 15．过圆 2 2 2 4 0x y x y 的圆心且与直线 2 3 0x y 垂直的直线方程为 __________. 【答案】 3 2 7 0x y 【解析】 【分析】 根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解 . 【详解】 2 2 2 4 0x y x y 圆心为 ( 1,2) ， 所求直线与直线 2 3 0x y 垂直， 设为 3 2 0x y C ，圆心 ( 1,2) 代入，可得 7C ， 所以所求的直线方程为 3 2 7 0x y . 故答案为： 3 2 7 0x y . 【点睛】 本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题 . 16．某市高三理科学生有 15000名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 2100N ， ，已知 80 100 0.40P ，若按成绩分层抽样的方式取 100份试卷进行分析，则应从 120 分以上的试卷中 抽取的份数为 __________. 【答案】 10 【解析】 【分析】 由题意结合正态分布曲线可得 120 分以上的概率，乘以 100可得 . 【详解】 解： 1( 120) [1 2 (80 100)] 0.10 2 P P ， 所以应从 120 分以上的试卷中抽取 100 0.10 10 份 . 故答案为： 10 . 【点睛】 本题考查正态分布曲线，属于基础题 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在① 2 3 16bb a ，② 4 12b a ，③ 5 3 48S S 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中 .若问题中的 正整数 k 存在，求 k 的值；若不存在，说明理由 . 设正数等比数列 nb 的前 n 项和为 nS ， na 是等差数列， __________， 3 4b a ， 1 2a ， 3 5 7 30a a a ， 是否存在正整数 nb ，使得 1 32k k kS S b 成立？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据等差数列性质及 1 2a 、 3 5 7 30a a a ，可求得等差数列 na 的通项公式， 由 3 4b a 即可求得 3b 的值；根据等式 1 32k k kS S b ，变形可得 1 32k kb b ，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数 列通项公式代入化简，检验是否存在正整数 k 的值即可 . 【详解】 ∵在等差数列 na 中， 3 5 7 53 30a a a a ， ∴ 5 10a ， ∴公差 5 1 2 5 1 a ad ， ∴ 1 1 2na a n d n ， ∴ 3 4 8b a ， 若存在正整数 k ，使得 1 32k k kS S b 成立，即 1 32k kb b 成立，设正数等比数列的公比为 nb 的 公比为 0q q ， 若选①，∵ 2 3 16bb a ， ∴ 2 4b ， ∴ 3 2 2bq b ， ∴ 2n nb ， ∴当 5k 时，满足 6 5 32b b 成立 . 若选②，∵ 4 12 24b a ， ∴ 4 3 3bq b ， ∴ 38 3n nb ， ∴ 2 38 3 8 3 32n n ， ∴ 33 2n 方程无正整数解， ∴不存在正整数 k 使得 1 32k kb b 成立 . 若选③，∵ 5 3 48S S ， ∴ 4 5 48b b ， ∴ 28 8 48q q ， ∴ 2 6 0q q ， ∴解得 2q = 或 3q （舍去） ， ∴ 2n nb ， ∴当 5k 时，满足 6 5 32b b 成立 . 【点睛】 本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前 n 项和公式的应用，递推公式的简单应用， 补充条件后求参数的值，属于中档题 . 18．已知矩阵 0 1 0 A a 的逆矩阵 1 0 2 0 A b .若曲线 1C ： 2 2 1 4 x y 在矩阵 A 对应的变换作用下得 到另一曲线 2C ，求曲线 2C 的方程 . 【答案】 2 2 1x y 【解析】 【分析】 根据 1AA E ，可解得 ,a b ，设 ,P x y 为曲线 1C 任一点， 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 ,Q x y ， 则点 Q 在曲线 2C 上，根据变换的定义写出相应的矩阵等式，再用 ,x y 表示出 ,x y ，代入曲线 1C 的方程 中，即得 . 【详解】 1AA EQ ， 0 1 0 2 1 0 0 0 0 1a b ，即 0 1 0 0 2 0 1 b a . 1 2 1 b a ，解得 1 2 1 a b ， 0 1 1 0 2 A . 设 ,P x y 为曲线 1C 任一点，则 2 2 1 4 x y ， 又设 ,P x y 在矩阵 A 变换作用得到点 ,Q x y ， 则 0 1 1 0 2 x x y y ，即 2 y x x y ，所以 2 y x x y 即 2x y y x 代入 2 2 1 4 x y ，得 2 2 1y x ， 所以曲线 2C 的方程为 2 2 1x y . 【点睛】 本题考查逆矩阵，矩阵与变换等，是基础题 . 19．超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由 于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物 对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡 .某药物研究 所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有 n（ n N ）份血液样本，每个样本取到的可能 性均等，有以下两种检验方式： （ 1）逐份检验，则需要检验 n 次； （ 2）混合检验，将其中 k（ k N 且 2k ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性， 这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 1k 次，假设 在接受检验的血液样本中， 每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样本是阳性结果的概 率为 p（ 0 1p ） . （ 1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 2 次检验就能 把阳性样本全部检验出来的概率； （ 2）现取其中 k（ k N 且 2k ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1，采 用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 . （ i）试运用概率统计的知识，若 1 2E E ，试求 p 关于 k 的函数关系式 p f k ； （ ii）若 3 11 e p ，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期 望值更少，求 k 的最大值 . 参考数据： ln 2 0.6931， ln3 1.0986 ， ln 4 1.3863， ln5 1.6094 ， ln6 1.7918 【答案】 （1） 1 10 （2）（i） 1 11 k p f k k （ k N ，且 2k ）.（ii）最大值为 4. 【解析】 【分析】 （ 1）设恰好经过 2 次检验能把阳性样本全部检验出来为事件 A, 利用古典概型、排列组合求解即可； （ 2）（i）由已知得 1E k , 2 的所有可能取值为 1, 1k ,则可求得 2 1P , 2 1P k ,即可得到 2E ,进而由 1 2E E 可得到 p 关于 k 的函数关系式； （ ii）由 1 2E E 可得 1 1 k p k ,推导出 1ln 3 k k ,设 1ln 3 f x x x （ 0x ） ,利用导函数判断 f x 的单调性 ,由单调性可求出 k 的最大值 【详解】 （ 1）设恰好经过 2 次检验能把阳性样本全部检验出来为事件 A, 则 2 3 2 3 5 5 A A 1 A 10 P A , ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为 1 10 （ 2）（i）由已知得 1E k , 2 的所有可能取值为 1, 1k , 2 1 1 k P p , 2 1 1 1 k P k p , 2 1 1 1 1 1 1 k k k E p k p k k p , 若 1 2E E ,则 1 1 k k k k p ,则 11 k p k , 1 11 k p k , 1 11 k p k , ∴p 关于 k 的函数关系式为 1 11 k p f k k （ k N ,且 2k ） （ ii）由题意知 1 2E E ,得 1 1 k p k , 3 11 e pQ , 3 1 1 e k k , 1ln 3 k k , 设 1ln 3 f x x x （ 0x ）, 则 1 1 3 f x x ,令 0f x ,则 1 3 x , ∴当 3x 时 , 0f x ,即 f x 在 3, 上单调增减 , 又 ln 4 1.3863, 4 1.3333 3 , 4ln 4 3 , 又 ln5 1.6094 , 5 1.6667 3 , 5ln 5 3 , ∴k 的最大值为 4 【点睛】 本题考查古典概型的概率公式的应用 ,考查随机变量及其分布 ,考查利用导函数判断函数的单调性 20．已知函数 ( ) sin ln 1f x x x ． （Ⅰ）求 ( )f x 在点 , 2 2 f 处的切线方程； （Ⅱ）求证： ( )f x 在 (0, ) 上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数 ( )f x 在 (0,2 ) 上的零点个数． 【答案】 （Ⅰ） 2 ln 1 2 y x ；（Ⅱ）证明见解析； （Ⅲ）函数 ( )f x 在 (0,2 ) 有 3 个零点． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）求出导数，写出切线方程； （Ⅱ）二次求导，判断 ( )f x 单调递减，结合零点存在性定理，判断即可； （Ⅲ） ln 1 sinx x ，数形结合得出结论． 【详解】 解：（Ⅰ） 1( ) cosf x x x ， ( ) 1 ln 1 ln 2 2 2 f ， 2( ) 2 f ， 故 ( )f x 在点 ( 2 ， ( )) 2 f 处的切线方程为 2ln ( ) 2 2 y x ， 即 2 ln 1 2 y x ； （Ⅱ）证明： 1( ) cosf x x x ， (0, )x ， 2 1( ) sin 0f x x x ，故 ( )f x 在 (0, ) 递减， 又 2( ) 0 2 f ， 1( ) 1 0f ， 由零点存在性定理，存在唯一一个零点 ( , ) 2 m ， 1( ) cos 0f m m m ， 当 (0, )x m 时， ( )f x 递增；当 ( , )x m 时， ( )f x 递减， 故 ( )f x 在 (0, ) 只有唯一的一个极大值； （Ⅲ）函数 ( )f x 在 (0,2 ) 有 3 个零点． 【点睛】 本题主要考查利用导数求切线方程， 考查零点存在性定理的应用， 关键是能够通过导函数的单调性和零点 存在定理确定导函数的零点个数，进而确定函数的单调性，属于难题． 21．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的极坐标方 程为 cos m，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin ． （ 1）求曲线 1C 的直角坐标方程和曲线 2C 的参数方程； （ 2）设曲线 1C 与曲线 2C 在第二象限的交点为 A ，曲线 1C 与 x 轴的交点为 H ，点 (1,0)M ，求 AMHV 的 周长 l 的最大值． 【答案】 （1）曲线 1C 的直角坐标方程为 x m，曲线 2C 的参数方程为 2cos ( 3 sin x y 为参数 )（ 2）2 3 3 【解析】 【分析】 【详解】 （ 1）将 cosx 代入 cos m，可得 x m ， 所以曲线 1C 的直角坐标方程为 x m． 由 2 2 12 3 sin 可得 2 2 23 sin 12 ， 将 siny ， 2 2 2x y 代入上式，可得 2 2 23 3 12x y y ， 整理可得 2 2 1 4 3 x y ，所以曲线 2C 的参数方程为 2cos ( 3 sin x y 为参数 ) ． （ 2）由题可设 2cos , 3 s n( )iA ， 2 ， 2cos( 0),H ， 所以 3| i| s nAH ， 1| 2| cosHM ， 2 2 2(1 2cos ) 3sin cos 4cos 4 2 c| | osAM ， 所以 3 sin (1 2cos )| | | | | (2 cos )|l AH HM AM 3sin 3cos 3 2 3sin( ) 3 3 ， 因为 2 ，所以 6 3 3 ， 所以当 3 2 ，即 5 6 时， l 取得最大值为 2 3 3， 所以 AMHV 的周长 l 的最大值为 2 3 3． 22．已知函数 2( ) lnf x ax a x ， [0, )a ,使得对任意两个不等的正实数 1 2,x x ，都有 1 2 1 2 0f x f x x x 恒成立 . （ 1）求 ( )f x 的解析式； （ 2）若方程 1 ( ) 2 f x m x 有两个实根 1 2,x x ，且 1 2x x ，求证： 1 2 1x x . 【答案】 （1） ( ) lnf x x ；（2）证明见解析 . 【解析】 【分析】 （ 1）根据题意， ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，求导得 21 2 1( ) 2 ( 0)axf x ax x x x ，分类讨论 ( )f x 的单调性，结合题意，得出 ( )f x 的解析式； （ 2）由 1 2,x x 为方程 1 ( ) 2 f x m x 的两个实根，得出 1 1 1ln 2 x m x ， 2 2 1ln 2 x m x ，两式相减，分 别算出 1x 和 2x ，利用换元法令 1 2 xt x 和构造函数 1( ) 2ln ,0 1h t t t t t ，根据导数研究单调性，求 出 ( ) (1) 0h t h ，即可证出结论 . 【详解】 （ 1）根据题意， ( )f x 对任意两个不等的正实数 1 2,x x ，都有 1 2 1 2 0f x f x x x 恒成立 . 则 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减， 因为 21 2 1( ) 2 ( 0)axf x ax x x x ， 当 0a 时， ( ) 0, ( )f x f x 在 (0, ) 内单调递减 .， 当 0a 时，由 ( ) 0f x ，有 1 2 x a ， 此时，当 10, 2 x a 时， ( ) 0, ( )f x f x 单调递减， 当 1 , 2 x a 时， ( ) 0, ( )f x f x 单调递增， 综上， 0a ，所以 ( ) lnf x x . （ 2）由 1 2,x x 为方程 1 ( ) 2 f x m x 的两个实根， 得 1 2 1 2 1 1ln ,ln 2 2 x m x m x x ， 两式相减，可得 1 2 1 2 1 1ln ln 0 2 2 x x x x ， 因此 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 , 2ln 2ln x x x xx xx x x x ， 令 1 2 xt x ，由 1 2x x ，得 0 1t ， 则 1 2 1 111 2ln 2ln 2ln tt t tx x t t t ， 构造函数 1( ) 2ln ,0 1h t t t t t . 则 2 2 2 1 2 ( 1)( ) 1 0th t t t t ， 所以函数 ( )h t 在 (0,1) 上单调递增， 故 ( ) (1) 0h t h ， 即 1 2ln 0t t t ， 可知 1 1 2ln t t t ， 故 1 2 1x x ，命题得证 . 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、 解题分析能力和计算能力 . 23．已知直线 l 的参数方程为 2 2 2 2 x m t y t （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos 3 sin 12，且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上 . （Ⅰ）求 l 的极坐标方程和曲线 C 的参数方程； （Ⅱ）求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值 . 【答案】 （Ⅰ）曲线 C 的参数方程为： 2 3 cos 2sin x y ( 为参数 )； l 的极坐标方程为 sin cos 2 2 ；（Ⅱ） 16. 【解析】 【分析】 ( I ) 直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； ( II ) 利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用，即可求出结果 . 【详解】 (Ⅰ) 由题意：曲线 C 的直角坐标方程为： 2 2 1 12 4 x y ， 所以曲线 C 的参数方程为 2 3 cos 2sin x y ( 为参数 )， 因为直线 l 的直角坐标方程为： 0x y m ， 又因曲线 C 的左焦点为 ( 2 2,0)F ，将其代入 0x y m 中，得到 2 2m ， 所以 l 的极坐标方程为 sin cos 2 2 . （Ⅱ） 设椭圆 C 的内接矩形的顶点为 2 3cos ,2sin ， 2 3 cos ,2sin ， 2 3 cos , 2sin ， 2 3cos , 2sin 0 2 ， 所以椭圆 C 的内接矩形的周长为： 8 3 cos 8sin 16sin 3 ， 所以当 3 2 时，即 6 时，椭圆 C 的内接矩形的周长取得最大值 16 . 【点睛】 本题考查了曲线的参数方程，极坐标方程与普通方程间的互化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数 的性质的应用，极径的应用，考查学生的求解运算能力和转化能力，属于基础题型 .