2019年河南中考数学试题（解析版）

2019年河南中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年河南省中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年河南省中考数学试卷 考试时间：100分钟 满分：120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，合计分． ‎ ‎{题目}1．（2019河南省，T1） 的绝对值是( )‎ ‎ ‎ ‎{答案} B ‎{解析}本题考查了绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的意义．此类问题容易出错的地方是容易与倒数或相反数混淆．根据绝对值的意义:一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，从而可得的绝对值是，即．‎ 故答案选B ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:绝对值的意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单} ‎ ‎{题目}2．（2019河南省,T2） 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克 ．数据“0.0000046”用科学记数法表示为 ‎ （A） 46×10-7 （B） 4.6×10-7 （C）4.6×10-6 （D）0.46×10-5‎ ‎{答案} C ‎{解析}本题考查了科学记数法，解题的关键是正确确定a的值以及n的值．‎ ‎0.0000046是绝对值小于1的数，这类数用科学计数法表示的方法是写成a×10-n（1≤＜10，n＞0 ）的形式，关键是确定－n，确定了n的值，－n的值就确定了．确定方法是：n 的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．故0.0000046中左起第一个非零数为4，其左边六个零，即0.0000046=4.6×10-6．答案选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}3．（2019河南省,T3） 如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为 ‎ （A）45° （B）48° （C）50° （D）58°‎ ‎{答案} B ‎{解析}如图，设CD和BE的交点为F，‎ ‎ ‎ ‎ ∵AB∥CD，∠B=75°，∴∠B=∠CFE=75°，∵∠CFE=∠D+∠E， ∠E=27°，‎ ‎∴∠D=∠CFE-∠E=75°-27°=48°.故选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:两直线平行同位角相等}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．（2019河南卷,T4）下列计算正确的是（　　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎{答案} D ‎{解析}本题考查了合并同类项、积的乘方、乘法公式、合并同类二次根式，A合并同类项系数2+3=5，,不是2×3=6，B错-3的平方等于9，C中乘法公式用错，D正确，选D ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:多项式乘以多项式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5.（2019河南,T5）如图（1）是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图（2），关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（　　　）‎ A.主视图相同 B.左视图相同 C. 俯视图相同 D.三种视图都不相同 ‎ ‎ ‎{答案} c ‎{解析}本题考查了三视图，对比平移前后结果A主视图不同，B左视图不同，AB选项不对，C俯视图相同，C正确.故选Ｃ．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形}‎ ‎{考点:简单组合体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}6．（2019河南,T6）一元二次方程的根的情况是（　　　）‎ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 ‎ C.只有一个实数根 D.没有实数根 ‎{答案} A ‎{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，先化简，∵，∴，△=>0，故选A ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-2-2]公式法}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7．（2019河南,T7）．某超市销售 A，B，C，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ） ‎ A．1.95 元 B．2.15 元 C．2.25 元 D．2.75 元 ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了加权平均数的概念和意义，由题意可知各种不同价格的百分比就是权重，最终的平均数就等于每个价格乘以权重，所以平均单价为：5×10%+3×15%+2×55%+1×10%=2.25，所以最后的平均单价为2.25元.因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-1]平均数}‎ ‎{考点:加权平均数（权重为百分比）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．（2019年河南,T8）已知抛物线 y = x2 +bx + 4 经过(-2 ，n)和）(4 ，n)两点，‎ 则 n 的值为（ ）‎ A． 2 B． 4 C．2 D．4‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了二次函数的对称性;中点坐标公式;求对称轴的公式及二次函数解析式，由题意知抛物线过（-2，n）和（4，n）,说明这两个点关于对称轴对称，即对称轴为直线x=1，所以-=1，又因为a=-1，所以可得b=2，即抛物线的解析式为y=-x2+2x+4，把x=-2代入解得n=-4.因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）‎ A. ‎ B.4 ‎ C.3 ‎ D.‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了尺规作图 ，矩形的判定及性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质 ，勾股定理，如图，过点B做BM⊥AD于点M,连结AE、CE，‎ ‎∵AD∥BC，∴∠BCD+∠D=180°，又∵∠D=90°∴∠BCD=90°，∴∠BCD=∠D=∠BMD=90°， ‎ ‎∴四边形BCDM为矩形 ，∴MD=BC=3 ， BM=CD，由作图可知AE=CE 又∵O是AC的中点，‎ ‎∴EO⊥AC，∴EB是AC的垂直平分线，∴AB=BC=3.‎ 在Rt△ABM中，∠AMB=90°，AM=AD-MD=1，‎ ‎∴BM= ，∴CD= .故选A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-1]矩形}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:矩形的判定}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎10．（2019河南，T10）如图，在△OAB中，顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）‎ A.（10,3）‎ B.（-3,10）‎ C.（10，-3）‎ D.（3，-10）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由A、B两点的坐标可知线段AB的长度和它与x轴的关系，由正方形的性质可知AD=AB，延长DA交x轴于点M,则DA⊥x轴，Rt△DMO中，MO=3,DM=10，将△OAB和正方形ABCD绕点O每次顺时针旋转90°，Rt△DMO也同步绕点O每次顺时针旋转90°，点D的落点坐标可由Rt△DMO的旋转得到。仔细观察图形得到点D坐标的变化规律，每旋转四次完成一个循环，从而可得到第70次旋转后的坐标。‎ ‎【解题过程】如图，延长DA交x轴于点M，∵A（-3,4），B（3,4），∴AB=6,AB∥x轴，∵四边形 ABCD为正方形，∴AD=AB=6,∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°.连结OD,Rt△DMO中，MO=3 DM=10 则 点D的坐标为（-3,10），将△OAB和正方形ABCD绕点O每次顺时针旋转90°，Rt△DMO也同步绕点O每 次顺时针旋转90°，当图形绕点O顺时针第一次旋转90°后， 点D的坐标为（10,3）；当图形绕点O 顺时针第二次旋转90°后， 点D的坐标为（3,-10）；当图形绕点O顺时针第三次旋转90°后， 点D 的坐标为（-10,-3）；当图形绕点O顺时针第四次旋转90°后， 点D的坐标为（-3,10）；当图形绕 点O顺时针第五次旋转90°后， 点D的坐标为（10,3），……，每四次为一个循环.∵70÷4=17…2，‎ ‎∴旋转70次后，点D的坐标为（3，-10）.故选D ‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-1]图形的旋转}‎ ‎{考点:正方形的性质}‎ ‎{考点:坐标系内的旋转}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．‎ ‎{题目}11．（2019河南卷，T11）计算：-2-1 = .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了二次根式、负整数指数幂，根据算术平方根的求法可以得到=2,2-1=，可知2-=．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{考点:负指数参与的运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}12．（2019河南,T12）不等式组的解集是 .‎ ‎{答案} x≤-2‎ ‎{解析}根据不等式组的解法，分别求出两个不等式的解集，在数轴上找出他们的公共部分，或者是根据“同大取大，同小取小，大大小小解不了，大小小大中间找”也能求出他们的解集.‎ 解不等式≤-1得x≤-2，解不等式-x+7＞4得x＜3，∴不等式组的解集为x≤-2.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}13．（2019河南，T13）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 . ‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}在第一个袋子里随机摸出一个球，第一个袋子里的白球和第二个袋子里的黄球颜色不同，只有红色的颜色相同.第一个袋子摸出红球的概率为，第二个袋子里摸出红球概率为，所以摸出颜色相同的球的概率为×=.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}14．（2019河南，T14）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D,且OC⊥OA.OA=，则阴影部分的面积为 .‎ ‎{答案}+π ‎{解析}本题考查了与圆有关的计算，（圆内半径相等），等腰三角形的性质（等边对等角），解直角三角形，特殊角三角函数，扇形的面积，不规则图形的转化.‎ 解法1：‎ ‎∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，∴OA=OB，所以∠BAO=∠ABO=（180°-120°）÷2=30°，‎ ‎∵OC⊥OA，∴在Rt△AOD中，AO=，∠BAO=30°，∴OD=AOtan∠BAO=×=2，‎ 又∵在△BOC中，∠BOC=∠AOB-∠AOD=120°-90°=30°.如图，过点B作BE⊥OC于点E ‎∴BE=OBsin30°=×=，∴=‎ ‎ = = =.‎ 解法2：∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，∴OA=OB,∴∠BAO=∠ABO=（180°-120°）÷2=30°，‎ ‎∵OC⊥OA，∴在Rt△AOD中，OD=AOtan∠BAO=×=2，∴=×2×=‎ 如图，取AD的中点E，利用直角三角形斜边上的中线，可得①=；②△AEO△BDO，∴∴=+=+π.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:扇形的面积}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}15．（2019河南,T15）如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，点E 在边BC 上，且BE =a .连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为 .‎ ‎{答案}或 ‎{解析}本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定，一线三直角的相似，勾股定理的应用.先确定折叠时点B′的位置在哪一条边上，画出图形，再根据图形的特征利用折叠的特征及相似等知识解决.由折叠可得，AB=A B′, ∠B′=∠B=900，BE= B′E.由题意可得，点B′的位置有以下两种情况：‎ ‎①当点B′落在矩形的边AD上时，则四边形ABEB′为正方形，所以BE=AB=1，则a=1，所以a=；②当点B′落在边CD上时，则由已知可得BE=E B′=a，EC=a，所以=.‎ 由一线三直角易得，△ECB′∽△B′DA，所以==，则DB′=.‎ 在Rt△AD B′中，则有勾股定理可得AD=,则a=.综上所述，a的值为或.‎ ‎ ‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共8小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎{题目}16．（2019河南，T16）先化简，再求值：，其中.‎ ‎{解析}本题考查了分式的混合运算，利用分式的加减法则计算，然后根据除法法则将原式转化为乘式，约分后得到最简结果，最后把代入化简后的式子即可．‎ ‎{答案}解：原式=‎ ‎=‎ ‎=‎ 当时，原式=‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{题目}17．（2019河南,T17）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B,D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点C.‎ ‎⑴求证：△ADF ≌ △BDG ；‎ ‎⑵填空：‎ ‎①若AB = 4，且点E是的中点，则DF的长为 ； ‎ ‎②取的中点H，当∠EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形.‎ ‎{解析}⑴首先根据在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，判定△ABC是等腰直角三角形，得到∠CAB＝45°，再根据直径所对的圆周角是直角，得到 △ABD是等腰直角三角形，从而 ‎ DA = DB，又因为∠CAE与∠DBG对着同一条弧 DE，得到∠CAE=∠DBG，根据ASA可以判定△ADF ≌ △BDG.‎ ‎⑵①DF=4 - 2；②30°.‎ ‎①由△ADF ≌ △BDG得到DG = DF.由点E是的中点，得到∠CAE=∠BAE.根据AB为直径，‎ 得∠AEB=∠AEG=90°，又AE=AE，得到 △AEG ≌ △AEB，从而得到AG=AB=4.再根据△ABD是等 腰直角三角形，可得AD=2，所以 DF=DG=AG-AD=4 - 2.‎ ‎②连接OE，因为 四边形OBEH为菱形，所以 BE=BO.因为OB，OE都是半径，所以 OB= OE，推得 ‎△OBE是等边三角形，所以∠ABE=60°.又AB是直径，所以∠AEB=90°，根据三角形内角和定理，‎ 可得∠EAB=30°.‎ ‎{答案}解：∵ 在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，‎ ‎∴ ∠CAB＝45°.‎ ‎∵ AB为直径，‎ ‎∴ ∠ADB＝∠BDG＝90°.‎ ‎∴ △ABD是等腰直角三角形，‎ ‎∴ DA = DB.‎ ‎∵ ∠CAE与∠DBG对着同一条弧，‎ ‎∴ ∠CAE=∠DBG，‎ ‎∴ △ADF ≌ △BDG.‎ ‎⑵∵△ADF ≌ △BDG，‎ ‎∴DG = DF.‎ ‎∵点E是的中点， ‎ ‎∴∠CAE=∠BAE.‎ ‎∵ AB为直径，‎ ‎∴ ∠AEB=∠AEG=90°.‎ 又AE=AE，‎ ‎∴ △AEG ≌ △AEB，‎ ‎∴ AG=AB=4 .‎ ‎∵ △ABD是等腰直角三角形，‎ ‎∴AD=2，‎ ‎∴ DF=DG=AG-AD=4 - 2.‎ ‎②如图，连接OE，‎ ‎∵ 四边形OBEH为菱形，‎ ‎∴ BE=BO.‎ ‎∵ OB= OE，‎ ‎∴△OBE是等边三角形，‎ ‎∴ ∠ABE=60°.‎ ‎∵ AB是直径，‎ ‎∴ ∠AEB=90°，‎ ‎∴ ∠EAB=30°.‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-24-1-1]圆}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:圆的其它综合题}‎ ‎{题目}18．（2019河南，T18）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：‎ a.七年级成绩频数分布直方图：‎ b.七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：‎ ‎70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79‎ c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：‎ ‎ 年级 平均数 中位数 ‎ 七 ‎76.9‎ m ‎ 八 ‎79.2‎ ‎79.5‎ 根据以上信息，回答下列问题： ‎ ‎（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人；‎ ‎（2）表中m的值为 ；‎ ‎（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；‎ ‎（4）该七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.‎ ‎{解析}（1）先确定七年级成绩频数分布直方图，成绩在80≤x＜90，,90≤x＜100，分别有15人，8人，相加即可求出;‎ ‎（2）根据七年级成绩中位数为第25个、26个数据的平均数，第25个、26个数据的平均数在70≤x＜80这一组，数据即确定m的值;‎ ‎(3)根据两个年级的平均分，中位数，解答可得;‎ ‎(4)用总人数乘以样本中超过76.9分的人数所占比例可得.‎ ‎{答案}解：（1）∵七年级成绩频数分布直方图80≤x＜90,90≤x＜100的人数为15人和8人，‎ ‎∴七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人.‎ ‎（2）中位数为第25个、26个数据的平均数，第25个、26个数据的平均数这一组中的77和78，所以中位数m==77.5；‎ ‎（3）∵七年级学生的成绩超过平均分76.9分且高于中位数77.5分，位于中上等，而八年级学生的成绩低于平均分且低于中位数，位于中下等. ‎ ‎∴七年级学生的排名更靠前.‎ ‎（4）估计七年级400人成绩超过平均分76.9分的人数为：400×=224人 答：七年级成绩超过平均数76.9分的人数是224人.‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{题目}19．（2019河南，T19）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.(精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，)‎ ‎ ‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意构造直角三角形.先在Rt△ACE中，利用三角函数求出AC，然后求出BC的长，最后在Rt△BCD中，利用三角函数求出CD的长，从而可求DE的长.‎ ‎{答案}解：由题意可得：CE=55,AB=21，∠A=34°，∠CBD=60°.‎ 在Rt△ACE中：∵tanA==,‎ 即tan34°=≈0.67,∴AC≈82.1.‎ ‎∴BC=AC-AB≈82.1-21=61.1，‎ 在Rt△BCD中：∵tan∠CBD==，即tan60°=≈1.73，‎ ‎∴CD≈61.1×1.73≈105.7，‎ ‎∴DE=CD-CE≈105.7-55≈51.‎ 答：炎帝塑像DE的高度约为51m.‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用－仰角}‎ ‎{题目}20．（2019河南，T20）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.‎ ‎（1）求A、B两种奖品的单价；‎ ‎（2）学校准备购买A、B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.‎ ‎{解析}（1）分别根据“购买3个A奖品和2个B奖品共需120元”、“ 购买5个A奖品和4个B奖品共需210元”列出方程组并求解即可得出A、B两种奖品的单价；‎ ‎（2）设学校准备购买A种奖品个，则B种奖品购买个，由“A奖品的数量不少于B奖品数量的”可列出不等式，求得的取值范围；设学校购买A、B两种奖品所需的钱数为w元，写w出与之间的函数关系式，由函数的增减性即可求出最省钱的购买方案.‎ ‎{答案}解：（1）设A、B两种奖品的单价分别为元、元，依题意，得：‎ ‎，解得：.‎ 答：A、B两种奖品的单价分别为30元、15元.‎ ‎（2）设学校准备购买A种奖品个，则B种奖品购买个，则：‎ ‎，解得；‎ 设学校购买A、B两种奖品所需的钱数为w元，则：‎ ‎，因，所以随的增大而增大，故当=8时，购买A、B两种奖品所需的钱数最少，此时购买A种奖品8个，B种奖品22个.‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:一元一次不等式的整数解}‎ ‎{考点:一元一次不等式的应用}‎ ‎{题目}21. (2019河南，T21)模具厂计算生产面积为4，周长为的矩形模具.对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：‎ ‎（1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即.满足要求的（，）应是两个函数图象在第象 限内交点的坐标.‎ ‎（2）画出函数图象 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线.‎ ‎（3）平移直线，观察函数图象:‎ ‎①当直线平移到与函数的图象有唯一交点（2，2）时，周长的值为 ；‎ ‎②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围.‎ ‎（4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为 .‎ ‎{解析}（1）根据实际意义，矩形的长和宽不可能是0或负数，所以满足要求的（，）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；‎ ‎（2）描点、连线，画出函数图象即可；‎ ‎（3）①交点（2，2）在函数的图象上，代入可求得周长的值；‎ ‎②观察图象，不难发现，在直线的平移过程中，除了两个函数图象有唯一交点（此时）外，交点的个数还有其它两种情况：一是无交点，此时；二是有两个不同的交点，此时；‎ ‎（4）观察图象，当两函数图象有交点时，能生产出面积为4的矩形模具，其周长周长的取值范围为.‎ ‎{答案}解：（1）一；‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎（3）①交点（2，2）在函数的图象上，所以，解得，故填8；‎ ‎②直线在第一象限内平移的过程中，其与函数的图象交点的个数还有两种情况：一是无交点，二是有两个不同的交点，如下表：‎ 交点个数 无交点 有唯一交点 有两个不同的交点 的取值范围 ‎（4）.‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{题目}22．（2019年河南）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α.点P是平面内不与点A，C重合的 任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.‎ ‎(1)观察猜想 如图1，当α＝60°时，的值是 .‎ 直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是: .‎ ‎(2)类比探究 如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由.‎ ‎(3)解决问题 当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值.‎ ‎{解析}本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理．‎ 第（1）问中，利用“SAS”可以证得△ACP≌△ABD.可得BD=CP,BD与CP的夹角等于∠BAC.‎ 第（2）问中,模仿（1）中的思路，可以利用两边成比例且夹角相等来证明△ACP∽△ABD，BD与CP的夹角仍然等于∠BAC. 第（3）问中,画出对应的图形后，找出有关的角度即可解决问题.‎ (1) ‎{答案}解：1；60° （证得△ACP≌△ABD即可）‎ (2) ‎,直线BD与CP相交所成的角度是45°,‎ 理由如下：‎ 如图1，假设BD与CP相交于点M，AC与BD交于点N，‎ 由题意可知，△PAD是等腰直角三角形 ‎∴∠DAP＝45， ,‎ ‎∵CA＝CB，∠ACB＝α＝90°，‎ ‎∴△ACB是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CAB＝45°，，‎ ‎∵∠CAP＝∠PAD+∠CAD＝45°+∠CAD，‎ ‎∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝45°+∠CAD，‎ ‎∴∠PAC＝∠DAB，‎ 又∵，∴△APC∽△ADB，∴，∠PCA=∠ABD.‎ ‎∵∠ANB=∠DNC，∴∠CMN=∠CAB=45°‎ 即直线BD与CP相交所成的角度为45°.‎ 综上所述：,直线BD与CP相交所成的角度是45°.‎ ‎（3）或 解法提示：如图2，设CP=a，由（2）则可得BD=.设CD与AB相交于点Q，由平行线分线段成比例则可得PQ=CP=a.可证∠DQB=∠DBQ=67.5°，则DQ=BD=，易得,所以.‎ 如图3，可设AP=DP=b，则AD=.由EF∥AB，∠PEA=∠CAB=45°，可证∠ECD=∠EAD=22.5°，易得CD=AD=，CP= +b,所以.‎ 综上所述：.‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}‎ ‎{题目}23.（2019河南，T23）如图，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点C，直线经过点A，点C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴的垂线，交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.‎ ‎①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；‎ ‎②作点B关于点C的对称点B′,则平面内存在直线,使点M,B,B′到该直线的距离都相等.当点P在轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线:的解析式.(k,b可用含m的式子表示).‎ ‎{解析}（1）根据一次函数求出点A和点C的坐标，代入抛物线解析式联立成方程组求解即可解决；‎ ‎（2）①是直角三角形存在性问题，因为∠PMC与∠OCA这个角确定不变，所以分∠MPC=90°和∠PCM=90°两种情况讨论即可，再结合对称性特点或构造一线三直角相似建立方程即可求出点P的坐标；‎ ②三个不同的点到直线的距离都相等，所以直线一定过任意两点的中点，由于点C为BB′的中点，所以只需确定MB的中点坐标，两个点确定一条直线，由两个中点坐标则直线的解析式就可确定.‎ ‎{答案}（1）∵经过点A，点C，∴A，C，∵过点A和点C，‎ ‎∴，∴解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为：；‎ ‎（2）①∵PM⊥轴， ∴∠PMC=∠OCA,∵ △PCM为直角三角形 ,‎ ‎∴只有两种情况：∠MPC=90°或∠PCM=90°，‎ 当∠MPC=90°时，∴PM⊥PC，∴PC轴 ，‎ ‎∴点P和点C关于的对称轴对称，‎ ‎∵的对称轴为，C，∴P.‎ 当∠PCM=90°时，过点C作AC的垂线交抛物线与点P，即为所求，如图：‎ 第一种方法（几何法）过点P作PE⊥轴与点E，过点M作MF⊥轴与点F.‎ ‎∵P，∴M，E，F，C，‎ ‎∴PE=, EC=, CF=, MF=，‎ ‎∵△PEC∽△CFM， ∴，即，‎ ‎ ∴ ， ∴ ，∴P，‎ 第二种方法（代数法） CP⊥AC，直线AC的解析式为，‎ ‎∴直线CP的解析式为，‎ ‎∴由得， ‎ ‎∴ ∴P.‎ ‎（3）.提示：由（1）可得点B（0,2），‎ ‎∵ C 又∵点B和点B′关于点C对称∴由中点坐标公式可得B′（-2，-4），‎ ‎∵P,∴M.‎ ‎∵点B与点B′到直线的距离相等 ∴直线必过BB′的中点C∴k≠0，b=-2,‎ 连MB，取MB的中点Q,‎ ‎∵M，B（0,2） ∴Q，‎ ‎∵ 点B与点M到直线的距离相等， ∴直线必过的中点Q,∴‎ ‎,,解得，‎ ‎∴直线的解析式为.‎ ‎{分值}11‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:二次函数中讨论直角三角形}‎