小学奥数举一反三四年级

小学奥数举一反三四年级

数学 SHU XUE 适用于小学四年级奥数 目 录 第 1 讲 找规律（一）.............................................................................................................................................. 1 第 2 讲 找规律（二）.............................................................................................................................................. 3 第 3 讲 简单推理 .....................................................................................................................................................5 第 4 讲 应用题（一）.............................................................................................................................................. 8 第 5 讲 算式谜（一）............................................................................................................................................ 11 第 6 讲 算式谜（二）............................................................................................................................................ 13 第 7 讲 最优化问题................................................................................................................................................ 16 第 8 讲 巧妙求和（一）........................................................................................................................................ 19 第 9 讲 变化规律（一）........................................................................................................................................ 22 第 10 讲 变化规律.................................................................................................................................................. 25 第 11 讲 错中求解.................................................................................................................................................. 28 第 12 讲 简单列举.................................................................................................................................................. 31 第 13 讲 和倍问题.................................................................................................................................................. 34 第 14 讲 植树问题.................................................................................................................................................. 37 第 15 讲 图形问题.................................................................................................................................................. 40 第 16 讲 巧妙求和.................................................................................................................................................. 43 第 17 讲 数数图形（一）...................................................................................................................................... 46 第 18 讲 数数图形（二）...................................................................................................................................... 48 第 19 讲 应用题.......................................................................................................................................................51 第 20 讲 速算与巧算.............................................................................................................................................. 54 第 21 周 速算与巧算（二）.................................................................................................................................. 57 第 22 周 平均数问题.............................................................................................................................................. 59 第 23 周 定义新运算.............................................................................................................................................. 62 第 24 周 差倍问题.................................................................................................................................................. 64 第 25 周 和差问题.................................................................................................................................................. 67 第 26 周 巧算年龄.................................................................................................................................................. 70 第 27 周 较复杂的和差倍问题.............................................................................................................................. 73 第 28 周 周期问题.................................................................................................................................................. 75 第 29 周 行程问题（一）...................................................................................................................................... 78 第 30 周 用假设法解题.......................................................................................................................................... 81 第 31 周 还原问题.................................................................................................................................................. 84 第 32 周 逻辑推理.................................................................................................................................................. 87 第 33 周 速算与巧算（三）.................................................................................................................................. 91 第 34 周 行程问题（二）...................................................................................................................................... 93 第 35 周 容斥原理.................................................................................................................................................. 96 第 36 周 二进制.......................................................................................................................................................99 第 37 周 应用题（三）........................................................................................................................................ 102 第 38 周 应用题（四）........................................................................................................................................ 105 第 39 周 盈亏问题................................................................................................................................................ 108 第 40 周 数学开放题............................................................................................................................................ 111 第 1 页 共 117 页 第 1 讲 找规律（一） 考点归纳 观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下 几个方面来找规律： 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 典型例题 【例 1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。 1，4，7，10，（ ），16，19 【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是 3，即每一个数加上 3 都等于后面的数。根据这一规律， 括号里应填的数为：10+3=13 或 16－3=13。 像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。 练习 1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，6，10，14，（ ），22，26 （2）3，6，9，12，（ ），18，21 （3）33，28，23，（ ），13，（ ），3 （4）55，49，43，（ ），31，（ ），19 （5）3，6，12，（ ），48，（ ），192 （6）2，6，18，（ ），162，（ ） （7）128，64，32，（ ），8，（ ），2 （8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3.. 【例题 2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1，2，4，7，（ ），16，22 【思路导航】在这列数中，前 4 个数每相邻的两个数的差依次是 1，2，3。由此可以推算 7 比括号里的数 少 4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。 应填的数为：7+4=11 或 16-5=11。 练习 2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）10，11，13，16，20，（ ），31 （2）1，4，9，16，25，（ ），49，64 （3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2 （4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8 （5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0 （6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1 （7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2 （8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14 【例题 3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12 第 2 页 共 117 页 【思路导航】在这列数中，第一个数减去 3 的差是第三个数，第二个数加上 2 的和是第四个数，第三个数 减去 3 的差是第五个数，第四个数加上 2 的和是第六个数……依此规律，8 后面的一个数为：17-3=14，11 前面的数为：8+2=10 练习 3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ） （2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ） （3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14 （4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ） （5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12 （6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486 （7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ） （8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ） 【例题 4】在数列 1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55……中，括号里应填什么数？ 【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据 这一规律，括号里应填的数为：8+13=21 或 34－13=21 上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。 练习 4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ） （2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ） （3）0，1，3，8，21，（ ），144 （4）3，7，15，31，63，（ ），（ ） （5）33，17，9，5，3，（ ） （6）0，1，4，15，56，（ ） （7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78 （8）0，1，2，4，7，12，20，（ ） 【例题 5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。 （8，4）（5，7）（10，2）（□，9） 【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是 12。根据这一规律，□里 所填的数应为：12－9=3 练习 5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。 （1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，） （2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□） （3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5） （4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□） （5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□） （6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□） （7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21） （8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□） 第 3 页 共 117 页 第 2 讲 找规律（二） 考点归纳 对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考： 1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合 运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们 解这类题的突破口。 3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。 典型例题 【例题 1】根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。 【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边 的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。 练习 1：找规律，在空格里填上适当的数。 【例题 2】根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？ 【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5×12÷10=6 4 ×20÷10=8 根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24. 练习 2：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。 （1） （2） （3） 第 4 页 共 117 页 【例题 3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。 12345679×9= 12345679×18=12345679× 54= 12345679×81= 【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是 12345679，它是有趣的“缺 8 数”，与 9 相乘，结果是由九 个 1 组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中 包含几个 9，乘积中就包含几个 111111111。 因为：12345679×9=111111111 所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222 12345679×54=12345679×9×6=666666666 12345679×81=12345679×9×9=999999999. 练习 3：找规律，写得数。 （1） 1+0×9= 2+1×9= 3+12×9= 4+123×9= 9+12345678×9= （2） 1×1= 11×11= 111×111= 111111111×111111111= （3） 19+9×9= 118+98×9= 1117+987×9=11116+9876× 9= 111115+98765×9= 【例题 4】找规律计算。（1） 81－18=（8－1）×9=7×9=63 （2） 72—27=（7－2）×9=5×9=45 （3） 63－36=（□－□）×9=□×9=□ 【思路导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减， 只要用十位与个位数字的差乘 9，所得的积就是这两个数的差。 练习 4： 1．利用规律计算。（1）53－35 （2）82－28 （3）92－29 （4）61－16 （5）95－59 2．找规律计算。（1） 62+26=（6+2）×11=8×11=88（2） 87+78=（8+7）×11=15×11=165（3） 54+45= （□+□）×11=□×11=□ 【例题 5】计算（1）26×11 （2）38×11 【思路导航】一个两位数与 11 相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求 的积。（1） 26×11=2（2+6）6=286（2） 38×11=3（3+8）8=418 注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。 练习 5：计算下面各题。 （1）27×11 （2）32×11 （3） 39×11 （4）46×11 （5）92×11 （6）98×11 第 5 页 共 117 页 第 3 讲 简单推理 考点归纳 解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理地进行，要充分利用已经 得出的结论，作为进一步推理的依据。 典型例题 【例题 1】 一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4 袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋饼干 等于几袋牛肉干的重量？ 【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4 袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可 推出：两袋饼干的重量=4 袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的重量=两袋牛肉干的重量。 练习 1： （1）一只菠萝的重量等于 4 根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨子的重量等于 几根香蕉的重量？ （2）3 包巧克力的重量等于两袋糖的的重量，12 袋牛肉干的重量等于 3 包巧克力的重量，一袋糖的重量 等于几袋牛肉干的重量？ （3）一只小猪的重量等于 6 只鸡的重量，3 只鸡的重量等于 4 只鸭的重量。一只小猪的重量等于几只鸭的 重量？ 【例题 2】一头象的重量等于 4 头牛的重量，一头牛的重量等于 3 匹小马的重量，一匹小马的重量等于 3 头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量？ 【思路导航】根据“一头象的重量等于 4 头牛的重量”与“一头牛的重量等于 3 匹小马的重量”可推出： “一头象的重量等于 12 匹小马的重量”，而“一匹小马的重量等于 3 头小猪的重量”，因此，一头象的 重量等于 36 头小猪的重量。 练习 2： （1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1 个菠萝的重量等于 4 个苹果的重量，1 个苹果的重量等于两 个橘子的重量。1 只西瓜的重量等于几个橘子的重量？ （2）一头牛一天吃草的重量和一只兔子 9 天吃草的重量相等，也和 6 只羊一天吃草的重量相等。已知一 头牛每天吃青草 18 千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？ （3）一只小猪的重量等于 6 只鸡的重量，3 只鸡的重量等于 4 只鸭的重量，两只鸭的重量等于 6 条鱼的重 量。问：两只小猪的重量等于几条鱼的重量？ 【例题 3】根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=18 ○＋□=10 第 6 页 共 117 页 【思路导航】在第一个算式中，3 个○相加的和是 18，所以○代表的数是：18÷3=6，又由第二个算式可 求出□代表的数是：10－6=4. 练习 3： （1）根据下面两个算式，求□与△各代表多少？ □＋□＋□＋□=32 △ －□=20 （2）根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=15 ○＋○＋□＋□＋□=40 （3）根据下面两个算式，求○与△各代表多少？○－△=8 △＋△＋△=○ 【例题 4】根据下面两个算式，求○与△各代表多少？ △－○=2 ○＋○＋△＋△＋△=56 【思路导航】由第一个算式可知，△比○多 2；如果将第二个算式的○都换成△，那么 5 个△=56＋2×2， △=12，再由第一个算式可知，○=12－2=10. 练习 4： （1）根据下面两个算式求□与○各代表多少？ □－○=8 □＋□＋○＋○=20 （2）根据下面两个算式，求△与○各代表多少？ △＋△＋△＋○＋○=78 △＋△＋○＋○＋○=72 （3）根据下面两个算式，求△与□各代表多少？ △＋△＋△－□－□=12 □＋□＋□－△－△=2 【例题 5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上他们分别获得跳高、跳远和垒 球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军，甲不是跳高冠军；乙既不是二小的也不是跳高 冠军。问：他们三个人分别是哪个学校的？获得哪项冠军？ 【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；因为“一小的不是垒球冠军”， 所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军”，“乙既不是二小的也不是跳高冠 军”可知，一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远冠军，三小的乙是垒球冠军。 练习 5： 第 7 页 共 117 页 （1）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的。但不知哪一 个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙 子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗？ （2）小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加 100 米比赛，比赛结束后小猴说：“我比小猫跑得快。”小狗 说：“小鹿在我前面冲过终点线。”小兔说：“我们的名次排在小猴前面，小狗在后面。”请根据它们的 回答排出名次。 （3）五个女孩并排坐着，甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离相等的座位上，戌坐 在她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐？ 第 8 页 共 117 页 第 4 讲 应用题（一） 考点归纳 解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、 转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。 典型例题 【例题 1】 某玩具厂把 630 件玩具分别装在 5 个塑料箱和 6 个纸箱里，1 个塑料箱与 3 个纸箱装的玩具 同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？ 【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。 因为 3 个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以 6 个纸箱与 2 个塑料箱装的同样多。这样，5 个塑料箱装的 玩具件数和 7 个塑料箱装的就同样多。由此，可求出一个塑料箱装多少件。 练习 1： （1）百货商店运来 300 双球鞋分别装在 2 个木箱和 6 个纸箱里。如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样 多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？ （2）新华小学买了两张桌子和 5 把椅子，共付款 195 元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的 4 倍，每张 桌子多少元？ （3）王叔叔买了 3 千克荔枝和 4 千克桂圆，共付款 156 元。已知 5 千克荔枝的价钱等于 2 千克桂圆的价 钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？ 【例题 2】一桶油，连桶重 180 千克，用去一半油后，连桶还有 100 千克。问：油和桶各重多少千克？ 【思路导航】原来油和桶共重 180 千克，用去一半油后，连桶还有 100 千克，说明用去的一半油的重是 180 －100=80（千克），一桶油的重量就是 80×2=160（千克），油桶的重量就是 180－160=20（千克）。 练习 2： （1）一筐梨，连筐重 38 千克，吃去一半后，连筐还有 20 千克。问：梨和筐各重多少千克？ （2）一筐苹果，连筐共重 35 千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送给一年级小朋友，余 下的苹果连筐重 11 千克。这筐苹果重多少千克？ （3）一只油桶里有一些油，如果把油加到原来的 2 倍，油桶连油重 38 千克；如果把油加到原来的 4 倍， 这里油和桶共重 46 千克。原来油桶里有油多少千克？ 【例题 3】有 5 盒茶叶，如果从每盒中取出 200 克，那么 5 盒剩下的茶叶正好和原来 4 盒茶叶的重量相等。 原来每盒茶叶有多少克？ 第 9 页 共 117 页 【思路导航】由条件“每盒取出 200 克，5 盒剩下的茶叶正好和原来 4 盒茶叶重量相等”可以推出，拿出 的 200×5=1000（克）茶叶正好等于原来的 5－4=1（盒）茶叶的重量。 练习 3： （1）有 6 筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出 40 个，6 筐梨子剩下的个数总和正好和原来两 筐的个数相等。原来每筐有多少个？ （2）在 5 个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木箱中拿出 60 个橘子，那么 5 个木箱中剩下的橘子的 个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。原来每个木箱中有多少个橘子？ （3）某食品店有 5 箱饼干，如果从每个箱子里取出 20 千克，那么 5 个箱子里剩下的饼干正好等于原来 3 箱饼干的重量。原来每个箱子里装多少千克饼干？ 【例题 4】一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产 60 张，实际每天比原计划多生产 4 张，结果提前 一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？ 【思路导航】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前 1 天完成任务，这就相当于把原计 划最后 1 天的任务平均分到前面的几天去做，正好分完。实际比原计划每天多生产 4 张，所以实际生产的 天数是 60÷4=15 天，原计划生产的天数是 15＋1=16 天。所以原计划要生产 60×16=960 张。 练习 4： （1）电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产 90 台，可以按期完成。实际每天多生产 5 台，结果提前 1 天完成任务。这批电视机共有多少台？ （2）小明看一本故事书，计划每天看 12 页，实际每天多看 8 页，结果提前 2 天看完。这本故事书有多少 页？ （3）修一条公路，计划每天修 60 米，实际每天比计划多修 15 米，结果提前 4 天修完。一共修了多少米？ 【例题 5】有两盒图钉，甲盒有 72 只，乙盒有 48 只，从甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使两盒中的图钉 相等？ 第 10 页 共 117 页 【思路导航】由条件可知，甲盒比乙盒多 72－48=24 只。要盒两盒中的图钉相等，只要把甲盒比乙盒多的 24 只图钉平均分成 2 份，取其中的 1 份放入乙盒就行了。所以应拿出 24÷2=12 只。 练习 5： （1）有两袋面粉，第一袋面粉有 24 千克，第二袋面粉有 18 千克。从第一袋中取出几千克放入第二袋， 才能使两袋中的面粉重量相等？ （2）有两盒图钉，甲盒有 72 只，乙盒有 48 只。每次从甲盒中拿 4 只放到乙盒，拿几次才能使两盒相等？ （3）有两袋糖，一袋是 68 粒，另一袋是 20 粒。每次从多的一袋中拿出 6 粒放到少的一袋里，拿几次才 能使两袋糖同样多？ 第 11 页 共 117 页 第 5 讲 算式谜（一） 考点归纳 “算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据已学过的知识， 运用正确的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。由于这类题目的解答过程类似全平时进行 的猜谜语游戏，所以，我们把这类题目称为“算式谜题”。 解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通常要运 用倒推法、凑整法、估值法等。 典型例题 【例题 1】 在下面算式的括号里填上合适的数。 【思路导航】根据题目特点，先看个位：7＋5=12，在和的个位（ ）中填 2，并向十位进一；再看十位， （ ）+4+1 的和个位是 1，因此，第一个加数的（ ）中只能填 6，并向百位进 1；最后来看百位、千位， 6+（ ）+1 的和的个位是 2，第二个加数的（ ）中只能填 5，并向千位进 1；因此，和的千位（ ）中应填 8。 练习 1：（1）在括号里填上合适的数。 （2）在方框里填上合适的数。 （3）下面的竖式里，有 4 个数字被遮住了，求竖式中被盖住的 4 个数字的和。 【例题 2】下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字， 相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。 【思路导航】先看个位，3 个“飞”相加的和的个位数字是 1，可推知“飞”代表 7；再看十位，3 个“腾” 相加，再加上个位进来的 2，所得的和的个位是 0，可推知“腾”代表 6；再看百位，两个“龙”相加，加 上十位进上来的 2，所得和的个位是 0，“龙”可能是 4 或 9，考虑到千位上的“巨”不可能为 0，所以“龙” 只能代表 4，“巨”只能代表 1。 练习 2： 【例题 3】下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表 0—9 这十个数字中 第 12 页 共 117 页 的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字？ 【思路导航】这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这个数字 只能是 0。确定“卒”是 0 后，所有是“卒”的地方，都是 0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”， 容易知道“兵”是 5，“车”是 1；再由十位上的情况可推知“马”是 4，进而推得“炮”是 2。 练习 3： 【例题 4】将 0、1、2、3、4、5、6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成一个整 数算式。 ○×○=□=○÷○ 【思路导航】要求用七个数字组成五个数，这五个数有三个是一位数，有两个是两位数。显然，方格中的 数和被除数是两位数，其他是一位数。 0 和 1 不能填入乘法算式，也不能做除数。由于 2×6=12（2 将出现两次），2×5=10（经试验不合题意）， 2×4=8（7 个数字中没有 8），2×3=6（6 不能成为商）。因此，0、1、2 只能用来组成两位数。经试验可 得：3×4=12=6=÷5. 练习 4：（1）将 0、1、3、5、6、8、9 这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好出现一次组成一个整 数算式。 ○×○=□=○÷○ （2）填入 1、2、3、4、7、9，使等式成立。 □÷□=□÷□ （3）用 1、2、3、7、8 这五个数字可以列成一个算式：（1+3）×7=28。请你用 0、1、2、3、4、6 这六 个数字列成一个算式。 【例题 5】把“＋、－、×、÷”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），并在方框中填上适当 的数，使下面的两个等式成立。36○0○15=15 21○3○5=□ 【思路导航】先从第一个等式入手，等式右边是 15，与等式左边最后一个数 15 相同，因为 0+15=15，所 以，只要使 36 与 0 的运算结果为 0 就行。显然，36×0+15=15 因为第一个等式已填“×”、“+”，在第二个等式中只有“－”、“÷”可以填，题目要求在方框中填 整数，已知 3 不能被 5 整除，所以“÷”只能填在 21 与 3 之间，而 3 与 5 之间填“－”。 练习 5：（1）把“＋、－、×、÷”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当的整数，使下面每组的 两个等式成立。 ① 9○13○7=100 14○2○5=□ ② 17○6○2=100 5○14○7=□ （2）将 1～9 这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式。 □＋□=□ □－□=□ □×□=□ 第 13 页 共 117 页 第 6 讲 算式谜（二） 考点归纳 解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点： 1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断； 2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字； 3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的； 4．算式谜解出后，要验算一遍。 典型例题 【例题 1】 在下面的方框中填上合适的数字。 【思路导航】由积的末尾是 0，可推出第二个因数的个位是 5；由第二个因数的个位是 5， 并结合第一个因数与 5 相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是 3；由第一 个因数为 376 与积为 31□□0，可推出第二个因数的十数上是 8。题中别的数字就容易 填了。 练习 1： 在□里填上适当的数。 【例题 2】在下面方框中填上适合的数字。 【思路导航】由商的十位是 1，以及 1 与除数的乘积的最高位是 1 可推知除数的十位是 1。由第一次除后 余下的数是 1，可推知被除数的十位只可能是 7、8、9。如果是 7，除数的个位是 0，那么最后必有余数； 如果被除数是 8，除数的个位就是 1，也不能除尽；只有当被除数的十位是 9 时，除数的个位是 2 时，商 的个位为 6，正好除尽。完整的竖式是： 练习 2：在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。 第 14 页 共 117 页 【例题 3】下面算式中的 a、b、c、d 这四个字母各代表什么数字？ 【思路导航】因为四位数 abcd 乘 9 的积是四位数，可知 a 是 1；d 和 9 相乘的积的个位是 1， 可知 d 只能是 9；因为第二个因数 9 与第一个因数百位上的数 b 相乘的积不能进位，所以 b 只能是 0（1 已经用过）；再由 b=0，可推知 c=8。 练习 3： 求下列各题中每个汉字所代表的数字。 【例题 4】在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其结果等于 100（数字的顺序不能改变）。 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 【思路导航】先凑出与 100 比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。 比如：123 与 100 比较接近，所以把前三个数字组成 123，后面的数字凑出 23 就行。因为 45 与 67 相差 22， 8 与 9 相差 1，所以得到一种解法：123＋45－67＋8－9=100 再比如：89 与 100 比较接近，78 与 67 正好相差 11，所此可得另一种解法：123＋45－67＋8－9=100. 练习 4： （1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于 99（数字的顺序不能改变）。 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99 （2）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于 100（数字的顺序不能改变）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 （3）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100 花= 红 = 柳 = 绿 = 华 = 罗 = 庚 = 金 = 杯 = 盼 = 望 = 祖 = 国 = 早 = 日 = 统 = 一 = 第 15 页 共 117 页 【例题 5】在下面的式子里添上括号，使等式成立。 7×9＋12÷3－2 = 23 【思路导航】采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的结果减 2，那么前面 式子的运算结果应等 25，又因为 25×3=75，而前面 7×9＋12 又正好等于 75，所以，应给前面两步运算加 括号。 （7×9＋12）÷3－2 = 23 练习 5： 1.在下面的式子里添上括号，使等式成立。 （1）7×9＋12÷3－2 = 75 （2）7×9＋12÷3－2 = 47 （3）88＋33－11÷11×2 = 5 2.在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其结果等于 100（数 字的顺序不能改变）。 第 16 页 共 117 页 第 7 讲 最优化问题 考点归纳 在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少， 效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小” 等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以 上的问题实际上都是“最优化问题”。 典型例题 【例题 1】 用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要 2 分钟（规定正反面各需要 1 分钟）。 问煎 3 个饼至少需要多少分钟？ 【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个 翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎， 再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎 3 个饼至少需要 3 分钟。 练习 1： 1.烤面包时，第一面需要 2 分钟，第二面只要烤 1 分钟，即烤一片面包需要 3 分钟。小丽用来烤面包的架 子，一次只能放两片面包，她每天早上吃 3 片面包，至少要烤多少分钟？ 2.用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要 3 分钟，现在要烙 3 个大饼，最少要 用几分钟？ 3.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放 4 个大饼，烙一个要用 4 分钟（每面各需要 2 分钟）。可小华烙 6 个大饼只用了 6 分钟，他是怎样烙的？ 【例题 2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要 1 分钟，烧开水需要 15 分钟，洗茶壶需要 1 分钟，洗 茶杯需要 1 分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？ 【思路导航】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因此， 洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。 根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用 1 分钟，接着烧开水用 15 分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿 茶叶，水开了就沏茶，共需要 16 分钟。 练习 2： 1.小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要 10 分钟，把开水灌进热水瓶需要 2 分钟，取奶需要 5 分 钟，整理书包需要 4 分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？ 2.小强给客人沏茶，烧开水需要 12 分钟，洗茶杯要 2 分钟，买茶叶要 8 分钟，放茶叶泡茶要 1 分钟。为 了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？ 第 17 页 共 117 页 3.在早晨起床后的 1 小时内，小欣要完成以下事情：叠被 3 分钟，洗脸刷牙 8 分钟，读外语 30 分钟，吃 早餐 10 分钟，收碗擦桌 5 分钟，收听广播 30 分钟。最少需要多少分钟？ 【例题 3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要 5 分 钟，孙勇包纱布需要 3 分钟，李佳点眼药水需要 1 分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的 治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？ 【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时 间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳 1 分钟，赵 1+3=4 分钟，赵明 1+3+5=9 分钟。 时间总和是 1+4+9=14 分钟。 练习 3： 1．甲、乙、丙三人分别拿着 2 个、3 个、1 个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水龙头只有一个，怎 样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？ 2．甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是 10 分钟、16 分钟和 8 分钟。 怎样安排，使 3 人所花的时间最少？最少时间是多少？ 3．甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要 3 分钟，乙洗抹布需要 2 分钟，丙洗衣服 需要 10 分钟，丁用桶注水需要 1 分钟。怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少？最少时间 是多少？ 【例题 4】用 18 厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最 大是多少？ 【思路导航】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是 18÷2=9 厘米。显然，当长与宽的差越小， 围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是 5 厘米，宽是 4 厘米时，围 成的长方形的面积最大：5×4=20 平方厘米。 练习 4： 1.用长 26 厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多 少？ 2.一个长方形的周长是 20 分米，它的面积最大是多少？ 第 18 页 共 117 页 3.一个长方形的面积是 36 平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘 米？ 【例题 5】用 3～6 这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 【思路导航】解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。 所以应把 6 和 5 这两个数字放在十位，4 和 3 放在个位。根据“两个因数的差越小，积越大”的规律，3 应放在 6 的后面，4 应放在 5 的后面。63×54=3402. 练习 5： 1.用 1～4 这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 2.用 5～8 这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 3.用 3～8 这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。 第 19 页 共 117 页 第 8 讲 巧妙求和（一） 考点归纳 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数 列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第 n 项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 典型例题 【例题 1】 有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为 6，首项是 4，末项是 52.要求项数，可直接带入项数公 式进行计算。 项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有 9 项。 练习 1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列 11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题 2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第 100 项是多少？ 【思路导航】这个等差数列的首项是 3.公差是 4，项数是 100。要求第 100 项，可根据“末项=首项+公差 ×（项数－1）”进行计算。 第 100 项=3+4×（100－1）=399. 练习 2： 1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求 1.4，7，10……这个等差数列的第 30 项。 3.求等差数列 2.6，10，14……的第 100 项。 第 20 页 共 117 页 【例题 3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把 1.2.3.4，…，99，100 与列 100，99，…，3.2.1 相加，则得到（1+100）+（2+99） +（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是 101.一共有 100 个 101 相加， 所得的和就是所求数列的和的 2 倍，再除以 2.就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习 3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题 4】求等差数列 2，4，6，…，48，50 的和。 【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25 首项=2.末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650. 练习 4： 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 第 21 页 共 117 页 （3）9+18+27+36+…+261+270 【例题 5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） 【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相 减。 进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1 ～ 100 这 100 个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每 个数列都有 50 个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到 50 个差，再求出 所有差的和。 （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） =（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99） =1+1+1+…+1 =50 练习 5： 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999） （3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998） 第 22 页 共 117 页 第 9 讲 变化规律（一） 考点归纳 和、差的规律见下表（m≠0） 一个加数（a） 另一个加数（b） 和（c） ±m 不变 ±m 不变 ±m ±m ±m  m 不变 被减数（a） 减数（b） 差（c） ±m 不变 ±m 不变 ±m  m ±m ±m 不变 典型例题 【例题 1】 两个数相加，一个加数增加 9，另一个加数减少 9，和是否发生变化？ 【思路导航】一个加数增加 9，假如另一个加数不变，和就增加 9；假如一个加数不变，另一个加数减少 9， 和就减少 9；和先增加 9，接着又减少 9，所以不发生变化。 练习 1： 1.两个数相加，一个数减 8，另一个数加 8，和是否变化？ 2.两个数相加，一个数加 3.另一个数也加 3.和起什么变化？ 3.两个数相加，一个数减 6，另一个数减 2.和起什么变化？ 【例题 2】两个数相加，如果一个加数增加 10，要使和增加 6，那么另一个加数应有什么变化？ 【思路导航】一个加数增加 10，假如另一个加数不变，和就增加 10。现在要使和增加 6，那么另一个加数 应减少 10－6=4。 练习 2： 1.两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和增加 15，另一个加数应有什么变化？ 2.两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和减少 15，另一个加数应有什么变化？ 第 23 页 共 117 页 3.两个数相加，如果一个加数减少 8，要使和减少 8，另一个加数应有什么变化？ 【例题 3】两数相减，如果被减数增加 8，减数也增加 8，差是否起变化？ 【思路导航】被减数增加 8，假如减数不变，差就增加 8；假如被减数不变，减数增加 8，差就减少 8。两 个数的差先增加 8，接着又减少 8，所以不起什么变化。 练习 3： 1.两数相减，被减数减少 6，减数也减少 6，差是否起变化？ 2.两数相减，被减数增加 12.减数减少 12.差起什么变化？ 3.两数相减，被减数减少 10，减数增加 10，差起什么变化？ 【例题 4】两数相乘，如果一个因数扩大 8 倍，另一个因数缩小 2 倍，积将有什么变化？ 【思路导航】如果一个因数扩大 8 倍，另一个因数不变，积将扩大 8 倍；如果一个因数不变，另一个因数 缩小 2 倍，积将缩小 2 倍。积先扩大 8 倍又缩小 2 倍，因此，积扩大了 8÷2=4 倍。 练习 4： 1.两数相乘，如果一个因数缩小 4 倍，另一个因数扩大 4 倍，和是否起变化？ 2.两数相乘，如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数缩小 12 倍，积将有什么变化？ 3.两数相乘，如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数扩大 6 倍，积将有什么变化？ 【例题 5】两数相除，如果被除数扩大 4 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？ 【思路导航】如果被除数扩大 4 倍，除数不变，商就扩大 4 倍；如果被除数不变，除数缩小 2 倍，商就扩 大 2 倍。商先扩大 4 倍，接着又扩大 2 倍，商将扩大 4×2=8 倍。 第 24 页 共 117 页 练习 5： 1.两数相除，被除数扩大 30 倍，除数缩小 5 倍，商将怎样变化？ 2.两数相除，被除数缩小 12 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？ 3.两数相除，除数扩大 6 倍，要使商扩大 3 倍，被除数应怎样变化？ 第 25 页 共 117 页 第 10 讲 变化规律 考点归纳 乘、除变化规律见下表（m≠0） 被乘数（a） 乘数（b） 积（c） ×÷m 不变 ×÷m 不变 ×÷m ×÷m ×÷m ÷×m 不变 被除数（a） 除数（b） 商（c） ×÷m 不变 ×÷m 不变 ×÷m ÷×m ×÷m ×÷m 不变 我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。 典型例题 【例题 1】 两数相减，被减数减少 8，要使差减少 12.减数应有什么变化？ 【思路导航】被减数减少 8，假如减数不变，差也减少 8；现在要使差减少 12.减数应增加 12－8=4。 练习 1： 1.两数相减，如果被减数增加 6，要使差增加 15，减数应有什么变化？ 2.两数相减，如果被减数增加 20，要使差减少 12.减数应有什么变化？ 3.两数相减，减数减少 9，要使差增加 16，被减数应有什么变化？ 【例题 2】两个数相除，商是 8，余数是 20，如果被除数和除数同时扩大 10 倍，商是多少？余数是多少？ 【思路导航】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。所以商是 8， 余数是 20×10=200。 练习 2： 1.两数相除，商是 6，余数是 30，如果被除数和除数同时扩大 10 倍，商是多少？余数是多少？ 2.两个数相除，商是 9，余数是 3。如果被除数和除数同时扩大 120 倍，商是多少？余数是多少？ 第 26 页 共 117 页 3.两个数相除，商是 8，余数是 600。如果被除数和除数同时缩小 100 倍，商是多少？余数是多少？ 【例题 3】两数相乘，积是 48。如果一个因数扩大 2 倍，另一个因数缩小 3 倍，那么积是多少？ 【思路导航】一个因数扩大 2 倍，积扩大 2 倍；另一个因数缩小 3 倍，积缩小 3 倍。所以最后的积是 48 ×2÷3=32。 练习 3： 1.两数相乘，积是 20。如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数缩小 4 倍，那么积是多少？ 2.两数相除，商是 19。如果被除数扩大 20 倍，除数缩小 4 倍，那么商是多少？ 3.两数相除，商是 27。如果被除数扩大 12 倍，除数扩大 6 倍，那么商是多少？ 【例题 4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的 1 错误地写成 7，把另一个加数十位上的 3 错 误地写成 8，所得的和是 1996。原来两个数相加的正确答案是多少？ 【思路导航】根据题意，一个加数个位上的 1 被写成了 7，这样错写一个加数比原来增加了 6；另一个加 数十位上的 3 写成 8，增加了 50。这样，所得的结果就比原来增加了 6+50=56。所以，原来两数相加的正 确答案是：1996－（6＋56）=1940。 练习 4： 1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的 0 错写成 8，把另一个加数个位上的 6 错写成 9，所得的和是 532。正确的和是多少？ 2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的 7 错写成 1.把个位上的 8 错写成 0，所得的和是 285。正确的 和是多少？ 3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的 5 错写成 3.把另一个加数十位上的 3 错写成 8，所得的和是 650。 正确的和是多少？ 第 27 页 共 117 页 【例题 5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的 3 错写成 5，把十位上的 6 错写成 0，这样 算得差是 189。正确的差是多少？ 【思路导航】根据题意，被减数个位上的 3 写成 5，因此增加了 2；十位上的 6 写成 0，因此减少 60。这 样错写的被减数比原来减少了 60－2=58。因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多 50。正确的差是：189＋58=247。 练习 5： 1.小军在做题时，把被减数个位上的 3 错写成 8，把十位上的 0 错写成 6，这样算得的差是 198。正确的差 是多少？ 2.小刚在做题时，把减数个位上的 9 错写成 6，把十位上的 3 错写成 8，这样算得的差是 268。正确的差是 多少？ 3.小红在做题时，把被减数十位上的 0 错写成 8，把减数个位上的 8 错写成 3.这样算得的差是 632。正确 的差是多少？ 第 28 页 共 117 页 第 11 讲 错中求解 考点归纳 在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生 错误。这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。 典型例题 【例题 1】小玲在计算除法时，把除数 65 写成 56，结果得到的商是 13.还余 52。正确的商是多少？ 【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数，求出被除数：13 ×56＋52=780。所以，正确的商是：780÷65=12。 练习 1： 1.小星在计算除法时，把除数 87 错写成 78，结果得到的商是 5，余数是 45。正确的商应该是多少？ 2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用 12 去除，蜜蜜用 15 去除，甜甜得到的商是 32 还余 6，蜜蜜 计算的结果应该是多少？ 3.小虎在计算除法时，把被除数 1250 写成 1205，结果得到的商是 48，余数是 5。正确的商应该是多少？ 【例题 2】小芳在计算除法时，把除数 32 错写成 320，结果得到商是 48。正确的商应该是多少？ 【思路导航】根据题意，把除数 32 改成 320 扩大到原来的 10 倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律， 正确的商应该是错误商的 10 倍。所以正确的商应该是 48×10=480。 练习 2： 1.小丽在计算除法时，把除数 530 末尾的 0 漏写了，得到的商是 40。正确的商应该是多少？ 2.小马在计算除法时，把被除数 1280 误写成 12800，得到的商是 32。正确的商应该是多少？ 3.小欣在计算除法时，把被除数 420 错写成 240，结果得到商是 48。正确的商应该是多少？ 【例题 3】小冬在计算有余数的除法时，把被除数 137 错写成 173.这样商比原来多了 3.而余数正好相同。 正确的商和余数是多少？ 第 29 页 共 117 页 【思路导航】因为被除数 137 被错写成了 173.被除数比原来多了 173－137=36，又因为商比原来多了 3. 而且余数相同，所以除数是 36÷3=12。又由 137÷12=11……5，所以余数是 5。 练习 3： 1.小军在计算有余数的除法时，把被除数 208 错写成 268，结果商增加了 5，而余数正好相同。正确的除 数和余数是多少？ 2.李明在计算有余数的除法时，把被除数 171 错写成 117，结果商比原来少了 3.而余数正好相同。求这道 除法算式正确的商和余数。 3.刘强在计算有余数的除法时，把被除数 137 错写成 174，结果商比原来多 3.余数比原来多 1。求这道除 法算式的除数和余数。 【例题 4】小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字 4 错当作 1.乘得的结果是 525，实际 应为 600。这两个两位数各是多少？ 【思路导航】一个因数的个位 4 错当作 1.所得的结果比原来少了（4－1）个另一个因数；实际的结果与错 误的结果相差 600－525=75，75÷3=25，600÷25=24。所以一个因数是 24，另一个因数是 25。 练习 4： 1.小锋在计算乘法时，把一个因数的个位数 8 错当作 3.得 345，实际应为 420。这两个因数各是多少？ 2.小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字 1 误写成 7，结果得 646，实际应为 418。这两 个两位数各是多少？ 3.李晓在计算两位数乘两位数的题目时，把一个因数十位上的 3 误当作 8，结果得 2150，这道题的正确积 应是 900。这两个两位数各是多少？ 【例题 5】方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加 14，计算的积增加了 84，圆圆误将另一个 因数增加 14，积增加了 168。那么，正确的积应是多少？ 第 30 页 共 117 页 【思路导航】由“方方将一个因数增加 14，计算结果增加了 84”可知另一个因数是 84÷14=6；又由“圆 圆误将另一个因数增加 14，积增加了 168”可知，这个因数是 168÷14=12。所以正确的积应是 12×6=72。 练习 5： 1.两个数相乘，如果一个因数增加 10，另一个因数不变，那么积增加 80；如果一个因数不变，另一个因 数增加 6，那么积增加 72。原来的积是多少？ 2.两个数相乘，如果一个因数增加 3.另一个因数不变，那么积增加 18；如果一个因数不变，另一个因数 减少 4，那么积减少 200。原来的积是多少？ 3.小敏在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字 5 误写成 3.得出的乘积是 552；另一个学生却 把这个 5 写成 8，得出的乘积是 672。正确的乘积是多少？ 第 31 页 共 117 页 第 12 讲 简单列举 考点归纳 有些题目，因其所求问题的答案有多种，直接列式解答比较困难，在这种情况下，我们不妨采用一一列举 的方法解决。这种根据题目的要求，通过一一列举各种情况最终达到解答整个问题的方法叫做列举法。 典型例题 【例题 1】从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有 3 条路可走。 王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种走法？ 【思路导航】为了帮助理解，先画一个线路示意图，并 用①、②、③、④、⑤表示其中的 5 条路。 我们把王叔叔的各种走法一一列举如下： 根据以上列举可以发现，从南通经过①到上海再到南京 有 3 种方法，从南通经过②到上海再到南京也有 3 种方 法，共有两个 3 种方法，即 3×2=6（种）。 练习 1： 1.小明从家到学校有 3 条路可走，从学校到少年宫有两条路，小明从家经过学校到少年宫有几种走法？ 2.从甲地到乙地，有两条走达铁路和 4 条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同走法？ 3.从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有 4 条直达公路。那么，从甲地到丙地有多少种不同 的走法？ 【例题 2】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 【思路导航】要使信号不同，就要求每一种信号颜色的顺序不同， 我们把这些不同的信号一一列举如下： 从上面的排列中可以发现，红色信号灯排在第一位置时，有两种 不同的信号，黄色信号灯排在第一位置时，也有两种不同的信号，蓝色信号灯排在第一位置时，也有两种 不同的信号。因此，共有 2×3=6 种不同的排法。 练习 2：1．甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？ 2．小红有 3 种不同颜色的上衣，4 种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法？ 第 32 页 共 117 页 3．用 3、4、5、6 四个数字可以组成多少个不同的四位数？ 【例题 3】有三张数字卡片，分别为 3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位 数？【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位，下面我们进行分类考虑。（1）十位上排 6，个位 上有两个数字可选，这样的数共有两个：60，63；（2）十位上排 3.个位上也有两个数字可选，这样的数 也有两个：30，60。从以上列举容易发现，一共可以排成 2×2=4（个）两位数。 练习 3：1.用 0、2、9 这三个数字，可以组成多少个不同的两位数？ 2.用 8、6、3、0 这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？ 3.用 0、1、5、6 这四个数字，可以组成多少个不同的四位数？从小到大排列，1650 是第几个？ 【例题 4】从 1～～8 这八个数字中，每次取出两个数字，要使它们的和大于 8，有多少种取法？ 【思路导航】为了既不重复，又不遗漏地统计出结果，应该按一定的顺序来分类列举，可以按“几＋8、 几＋7、几＋5、几＋6、几＋5”的顺序来思考。 1＋8、2＋8、3＋8、……7＋8，共 7 个；2＋7、3＋7、 4＋7、……6＋7，共 5 个；3＋6、4＋6、5＋6，共 3 个；4＋5 共 1 个。这样，两个数的和大于 8 的算式共 有 7＋5＋3＋1=16（个），所以，共有 16 种不同的取法。 练习 4：1.从 1～6 这六个数中，每次取两个数，要使它们的和大于 6，有多少种取法？ 2.从 1～9 这九个数中，每次取两个数，要使它们的和大于 10，有多少种取法？ 3.营业员有一个伍分币，4 个贰分币，8 个壹分币，他要找给顾客 9 分钱，有几种找法？ 【例题 5】在一次足球比赛中，4 个队进行循环赛，需要比赛多少场？（两个队之间比赛一次称为 1 场） 第 33 页 共 117 页 【思路导航】4 个队进行循环赛，也就是说 4 个队每两个队都要赛一场，设 4 个队分别为 A、B、C、D，我 们可以用图表示 4 个队进行循环赛的情况。 A 队和其他 3 个队各比赛 1 次，要赛 3 场；B 队和其他两个队还要各比赛 1 次，要赛 2 场；C 队还要和 D 队 比赛 1 次，要赛 1 场。这样，一共需要比赛 3＋2＋1=6（场）。 练习 5： 1.在一次羽毛球赛中，8 个队进行循环赛，需要比赛多少场？ 2.在一次乒乓球赛中，参加比赛的队进行循环赛，一共赛了 15 场。问有几个队参加比赛？ 3.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛，共有 6 所学校的足球队比赛，比赛采取循环制，每个队都要和其 他各队赛一场，根据积分排名次。这些比赛分别安排在 3 个学校的球场上进行，平均每个学校要安排几场 比赛？ 第 34 页 共 117 页 第 13 讲 和倍问题 考点归纳 已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。解答和倍应用题的 基本数量关系是： 和÷（倍数＋1）=小数 小数×倍数=大数 （和－小数=大数） 典型例题 【例题 1】 学校有科技书和故事书共 480 本，科技书的本数是故事书的 3 倍。两种书各有多少本？ 【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析： 由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技书的本数 就是这样的 3 份，两种书的总本数就是这样的 1＋3=4 份。把 480 本书平均分成 4 份，1 份是故事书的本数，3 份是科技书的本数。 480÷（1＋3）=120（本） 120×3=360（本）. 练习 1： 1.用锡和铝制成的合金是 720 千克，其中铝的重量是锡的 5 倍。铝和锡各用了多少千克？ 2.甲、乙两数的和是 112.甲数除以乙数的商是 6，甲、乙两数各是多少？ 3.一块长方形黑板的周长是 96 分米，长是宽的 3 倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？ 【例题 2】果园里有梨树、桃树和苹果树共 1200 棵，其中梨树的棵数是苹果树的 3 倍，桃树的棵数是苹果 树的 4 倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？ 【思路导航】如果把苹果树的棵数看作 1 份，三种树的总棵数是这样的 1+3+4=8 份。所以，苹果树有 1200 ÷8=150（棵），梨树有 150×3=450（棵），桃树有 150×4=600（棵）. 练习 2： 1.李大伯养鸡、鸭、鹅共 960 只，养鸡的只数是鹅的 3 倍，养鸭的只数是鹅的 4 倍。鸡、鸭、鹅各养了多 少只？ 2.甲、乙、丙三数之和是 360，已知甲是乙的 3 倍，丙是乙的 2 倍。求甲、乙、丙各是多少。 第 35 页 共 117 页 3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共 560 支，圆珠笔的支数是钢笔的 3 倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。 铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？ 【例题 3】有三个书橱共放了 330 本书，第二个书橱里的书是第一个的 2 倍，第三个书橱里的书是第二个 的 4 倍。每个书橱里各放了多少本书？ 【思路导航】把第一个书橱里的本数看作 1 份，那么第二个书橱里的本数是这样的 2 份，第三个就是这样 的 2×4=8 份，三个书橱里的总本数就是这样的 1+2+8=11 份。所以，第一个书橱里放了 330÷11=30（本），第二个书橱里放了 30×2=60（本），第三个书橱里放了 60×4=240（本）。 练习 3： 1．甲、乙、丙三个数之和是 400，已知甲是乙的 3 倍，丙是甲的 4 倍。求甲、乙、丙各是多少。 2．三块钢板共重 621 千克，第一块的重量是第二块的 3 倍，第二块的重量是第三块的 2 倍。三块钢板各 重多少千克？ 3．甲、乙、丙三个修路队共修路 1200 米，甲队修的米数是乙队的 2 倍，乙队修的数数是丙队的 3 倍。三 个队各修了多少米？ 【例题 4】少先队员种柳树和杨树共 216 棵，杨树的棵数比柳树的 3 倍多 20 棵，两种树各种了多少棵？ 【思路导航】如果杨树少种 20 棵，那么柳树和杨树的总棵数是 216－20=196（棵），这里杨树的棵数恰好 是柳树的 3 倍。所以，柳树的棵数是 196÷（1＋3）=49（棵），杨树的棵数是 216－49=167（棵）。 练习 4：1.粮站有大米和面粉共 6300 千克，大米的重量比面粉的 4 倍还多 300 千克，大米和面粉各有多少 千克？ 2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得 168 分，小华的得分比小明的 2 倍少 42 分。两人各得多少分？ 3.学校购买了 720 本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的 3 倍多 8 本，中年级分得的 比低年级的 2 倍多 4 本。高、中、低年级各分得图书多少本？ 第 36 页 共 117 页 【例题 5】三个筑路队共筑路 1360 米，甲队筑的米数是乙队的 2 倍，乙队比丙队多 240 米。三个队各筑多 少米？ 【思路导航】把乙队的米数看作 1 份，甲队筑的米数是这样的 2 份。假设丙队多筑 240 米，那么三个队共 筑了 1360＋240=1600 米，正好是乙队的 2＋1＋1=4 倍。所以，乙队筑了 1600÷4=400 米，甲队筑了 400 ×2=800 米，丙队筑了 400－240=160 米。 练习 5：1.三个植树队共植树 1900 棵，甲队植树的棵数是乙队的 2 倍，乙队比丙队少植 300 棵。三个队各 植树多少棵？ 2.三个数的和是 1540，甲数是丙数的 7 倍，乙数比甲数多 40。三个数各是多少？ 3.城东小学共有篮球、足球和排球共 95 个，其中足球比排球少 5 个，排球的个数是篮球个数的 2 倍。篮 球、足球、排球各有多少个？ 第 37 页 共 117 页 第 14 讲 植树问题 考点归纳 1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形： （1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多 1.即： 棵数=段数＋1； （2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数； （3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少 1.即： 棵数=段数－1。 2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即： 棵数=段数。 典型例题 【例题 1】 城中小学在一条大路边从头至尾栽树 28 棵，每隔 6 米栽一棵。这条路长多少米？ 【思路导航】题中已知栽树 28 棵，28 棵树之间有 28－1=27 段，每隔 6 米为一段，所以这条大路长 6×27=162 米。 练习 1： 1.在一条马路一边从头至尾植树 36 棵，每相邻两棵树之间隔 8 米，这长马路有多长？ 2.同学们做早操，21 个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离是 40 米，相邻两个人隔多少米？ 3.一条路长 200 米，在路的一旁从头至尾每隔 5 米植一棵树，一共要植多少棵？ 【例题 2】在一个周长是 240 米的游泳池周围栽树，每隔 5 米栽一棵，一共要栽多少棵树？ 【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。240÷5=48（棵） 练习 2： 1.一个鱼塘的周长是 1500 米，沿鱼塘周围每隔 6 米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树？ 2.在圆形的水池边，每隔 3 米种一棵树，共种树 60 棵，这个水池的周长是多少米？ 3.在一块长 80 米，宽 60 米的长方形地的周围种树，每隔 4 米种一棵，一共要种多少棵？ 第 38 页 共 117 页 【例题 3】在一座长 800 米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了 202 盏，相邻两盏之间的距离 都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。 【思路导航】大桥两边一共挂了 202 盏彩灯，每边各挂 202÷2=101 盏，101 盏彩灯把 800 米长的大桥分成 101－1=100 段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是 800÷100=8 米。 练习 3： 1.在一条长 100 米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽 52 棵，相邻的两棵树之间的距离相 等。求相邻两棵树之间的距离。 2.一座长 400 米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔 4 米，从桥头到桥尾一共装了多少盏灯？ 3.六年级学生参加广播操比赛，排了 5 路纵队，队伍长 20 米，前后两排相距 1 米。六年级有学生多少人？ 【例题 4】一个木工锯一根 19 米的木料，他先把一头损坏部分锯下来 1 米，然后锯了 5 次，锯成同样长的 短木条。每根短木条长多少米？ 【思路导航】根据题意，把长 19－1=18 米的木条锯了 5 次，可以锯成 5＋1=6 段，所以每根短木条长 18 ÷6=3 米。 练习 4： 1.一个木工锯一根长 17 米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来 2 米，然后锯了 4 次，锯成同样长的短 木条，每根短木条长几米？ 2.有一根圆钢长 22 米，先锯下 2 米，剩下的锯成每根都是 4 米的小段，又锯了几次？ 3.有一个工人把长 12 米的圆钢锯成了 3 米长的小段，锯断一次要 5 分钟。共需要多少分钟？ 【例题 5】有一幢 10 层的大楼，由于停电电梯停开。某人从 1 层走到 3 层需要 30 秒，照这样计算，他从 3 层走到 10 需要多少秒？ 第 39 页 共 117 页 【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔，1 层至 3 层有两个时间间隔，所以每个间隔用去的 时间是 30÷（3－1）=15 秒，3 层到 10 层经过了 10－3=7 个时间间隔，所以，他从 3 层到 10 层需要 15× 7=105 秒。 练习 5： 1.把 6 米长的木料平均锯成 3 段要 6 分钟，照这样计算，如果锯成 6 段，需要多少分钟？ 2.时钟 4 点敲 4 下，6 秒钟敲完。那么 12 点钟敲 12 下，多少秒钟敲完？ 3.一游人以等速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等，他从第一棵树走到第 10 棵树用了 11 分钟，如果这个游人走 22 分钟，应走到第几棵树？ 第 40 页 共 117 页 第 15 讲 图形问题 考点归纳 解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点： 1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决； 2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。 典型例题 【例题 1】 人民路小学操场长 90 米，宽 45 米。改造后，长增加 10 米，宽增加 5 米。现在操场面积比原 来增加了多少平方米？ 【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。操场现在的面积是（90+10） ×（45+5）=5000 平方米，操场原来的面积是 90×45=4050 平方米。所以，现在的面积比原来增加 5000－ 4050=950 平方米。 练习 1：1.有一块长方形的木板，长 22 分米，宽 8 分米。如果长和宽分别减少 10 分米、3 分米，面积比 原来减少多少平方分米？ 2.一块长方形铁板，长 18 分米，宽 13 分米。如果长和宽各减少 2 分米，面积比原来减少多少平方分米？ 3.一块长方形地，长是 80 米，宽是 45 米。如果把宽增加 5 米，要使面积不变，长应减少多少米？ 【例题 2】一个长方形，如果宽不变，长增加 6 米，那么它的面积增加 54 平方米；如果长不变，宽减少 3 米，那么它的面积减少 36 平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？ 【思路导航】由“宽不变，长增加 6 米，面积增加 54 平方米”可知，它的宽为 54÷6=9 米；由“长不变， 宽减少 3 米，面积减少 36 平方米”可知，它的长为 36÷3=12 米。所以，这个长方形原来的面积是 12×9=108 平方米。 练习 2：1.一个长方形，如果宽不变，长减少 3 米，那么它的面积减少 24 平方米；如果长不变，宽增加 4 米，那么它的面积增加 60 平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？ 2.一个长方形，如果宽不变，长增加 5 米，那么它的面积增加 30 平方米；如果长不变，宽增加 3 米，那 么它的面积增加 48 平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？ 第 41 页 共 117 页 3.一个长方形，如果它的长减少 3 米，或它的宽减少 2 米，那么它的面积都减少 36 平方米。求这个长方 形原来的面积。 【例题 3】下图是一个养禽专业户用一段 16 米的篱笆围成的一个长方形养鸡场， 求它的占地面积。 【思路导航】根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于 16 米。 而宽是 4 米，那么长是（16－4）÷2=6 米，占地面积是 6×4=24 平方米。 练习 3：1.右图是某个养禽专业户用一段长 13 米的篱笆围成的一个长方形养鸡 场，求养鸡场的占地面积。 2.用 56 米长的木栏围成长或宽是 20 米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才 能使围成的面积最大？ 3.用 15 米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如果每边的长度都是整 数，怎样才能使围成的面积最大？ 【例题 4】街心花园中一个正方形的花坛四周有 1 米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是 12 平方米，中间 花坛的面积是多少平方米？ 【思路导航】把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一个长方 形的面积是 12÷4=3 平方米。因为水泥路宽 1 米，所以小长方形的长是 3÷1=3 米。 从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长 是 3－1=2 米。中间花坛的面积是 2×2=4 平方米。 练习 4：1.有一个正方形的水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一个宽 8 米的花池，花池的面积是 480 平方米，求水池的边长。 2.四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如图），大正方形的 第 42 页 共 117 页 面积是 64 平方米，小正方形的面积是 4 平方米，长方形的短边是多少米？ 3.已知大正方形比小正方形的边长多 4 厘米，大正方形的面积比小正方形面积大 96 平方厘米（如下图）。 问大小正方形的面积各是多少？ 【例题 5】一块正方形的钢板，先截去宽 5 分米的长方形，又截去宽 8 分米的长方形（如图），面积比原 来的正方形减少 181 平方分米。原正方形的边长是多少？ 【思路导航】把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上长、宽分别是 8 分米、 5 分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是 181+8 ×5=221 平方分米，长是原来正方形的边长，宽是 8+5=13 分米。所以，原来正方形的边长是 221÷13=17 分米。 练习 5： 1.一个正方形一条边减少 6 分米，另一条边减少 10 分米 后变为一个长方形，这个长方形的面积比正方形的面积少 260 平方米，求原来正方形的边长。 2.一个长方形的木板，如果长减少 5 分米，宽减少 2 分米，那么它的面积就减少 66 平方分米，这时剩下 的部分恰好是一个正方形。求原来长方形的面积。 3.一块正方形的的玻璃，长、宽都截去 8 厘米后，剩下的正方形比原来少 448 平方厘米，这块正方形玻璃 原来的面积是多大？ 第 43 页 共 117 页 第 16 讲 巧妙求和 考点归纳 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如 果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数 合理配对，使问题得以顺利解决。 典型例题 【例题 1】 刘俊读一本长篇小说，他第一天读 30 页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多 3 页，第 11 天读了 60 页，正好读完。这本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多 3 页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列 的数，即 30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列， 首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第 11 天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习 1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了 30 个，以的每天都比前一天多做 2 个，第 15 天做了 48 个，正好做完。 这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了 20 页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多 5 页。最后一天读 了 50 页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了 6 个，以后每天都比前一天多学 1 个，最后一天学会了 16 个。丽丽在 这些天中学会了多少个英语单词？ 【例题 2】30 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了 29 把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即 开第一把锁至多需要试 29 次；同理，开第二把锁至多需试 28 次，开第三把锁至多需试 27 次……等打开 第 29 把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试 29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）× 29÷2=435（次）。 练习 2： 第 44 页 共 117 页 1.有 80 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试 28 次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙 搞乱了？ 3.有 10 只盒子，44 只羽毛球。能不能把 44 只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？ 【例题 3】某班有 51 个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？ 【思路导航】假设 51 个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了 50 次，第二个依次和剩下 的人握手，共握了 49 次，第三个人握了 48 次。依次类推，第 50 个人和剩下的一人握了 1 次手，这样， 他们握手的次数和为： 50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）. 练习 3： 1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有 21 人参加比赛，一共要进行多少 场比赛？ 2.在一次同学聚会中，一共到 43 位同学和 4 位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么 一共握了多少次手？ 3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了 78 次电话，问有多少位同学相约互通电话？ 【例题 4】求 1 ～ 99 这 99 个连续自然数的所有数字之和。 【思路导航】首先应该弄清楚这题是求 99 个连续自然数的数字之和，而不是求这 99 个数之和。为了能方 便地解决问题，我们不妨把 0 算进来（它不影响我们计算数字之和）计算 0～99 这 100 个数的数字之和。 这 100 个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是 9+9=18，一共有 100÷2=50 对，所以，1～99 这 99 个连续自然数的所有数字之和是 18×50=900。 练习 4： 1.求 1～199 这 199 个连续自然数的所有数字之和。 第 45 页 共 117 页 2.求 1～999 这 999 个连续自然数的所有数字之和。 3.求 1～3000 这 3000 个连续自然数的所有数字之和。 【例题 5】求 1～209 这 209 个连续自然数的全部数字之和。 【思路导航】不妨先求 0～199 的所有数字之和，再求 200～209 的所有数字之和，然后把它们合起来。0～ 199 的所有数字之和为（1+9×2）×（200÷2）=1900，200～209 的所有数字之和为 2×10+1+2+…+9=65。 所以，1～209 这 209 个连续自然数的全部数字之和为 1900+65=1965。 练习 5： 1.求 1～308 连续自然数的全部数字之和。 2.求 1～2009 连续自然数的全部数字之和。 3.求连续自然数 2000～5000 的全部数字之和。 第 46 页 共 117 页 第 17 讲 数数图形（一） 考点归纳 我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复 杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地 运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1.弄清被数图形的特征和变化规律。 2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。 典型例题 【例题 1】 数出下面图中有多少条线段。 【思路导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。 从图中可以看出，从 A 点出发的不同线段有 3 条：AB、AC、AD；从 B 点出发的不同线段有 2 条：BC、BD； 从 C 点出发的不同线段有 1 条：CD。因此，图中共有 3+2+1=6 条线段。 练习 1：数出下列图中有多少条线段。 【例题 2】数一数下图中有多少个锐角。 【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中 有多少个锐角，可根据公式 1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）. 练习 2：下列各图中各有多少个锐角？ 第 47 页 共 117 页 【例题 3】数一数下图中共有多少个三角形。 【思路导航】图中 AD 边上的每一条线段与顶点 O 构成一个三角形，也就是说，AD 边上有几条线段，就构 成了几个三角形，因为 AD 上有 4 个点，共有 1+2+3=6 条线段，所以图中有 6 个三角形。 练习 3：数一数下面图中各有多少个三角形。 【例题 4】数一数下图中共有多少个三角形。 【思路导航】与前一个例子相比，图中多了一条线段 EF，因此三角形的个数应是 AD 和 EF 上面的线段与点 O 所围成的三角形个数的和。显然，以 AD 上的线段为底边的三角形也是 1+2+3=6 个，所以图中共有 6×2=12 个三角形。 练习 4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。 【例题 5】数一数下图中有多少个长方形。 【思路导航】数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考，图中的长方形的个数取决于 AB 或 CD 边上的 线段，AB 边上的线段条数是 1+2+3=6 条，所以图中有 6 个长方形。 练习 5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。 第 48 页 共 117 页 第 18 讲 数数图形（二） 考点归纳 在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数， 也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。 典型例题 【例题 1】 数一数下图中有多少个长方形？ 【思路导航】图中的 AB 边上有线段 1+2+3=6 条，把 AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作 为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有 6×3=18 个长方形。 数长方形可以用下面的公式： 长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数 练习 1：：数一数，下面各图中分别有几个长方形？ 【例题 2】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为 1 的正方形） 【思路导航】图中边长为 1 个长度单位的正方形有 3×3=9 个，边长为 2 个长度单位的正方形有 2×2=4 个， 边长为 3 个长度单位的正方形有 1×1=1 个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14 个。 经进一步分析可以发现，由相同的 n×n 个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1× 1＋2×2＋…＋n×n。 练习 2：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是 1 的小正方形） 【例题 3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为 1 个长度单位的正方形） 【思路导航】边长是 1 个长度单位的正方形 有 3×2=6 个，边长是 2 个长度单位的正方 第 49 页 共 117 页 形有 2×1=2 个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8 个。 经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成 m 等份，宽被分成 n 等份（长和宽的每 一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n. 练习 3： 1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。 2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？ 【例题 4】从广州到北京的某次快车中途要停靠 8 个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？ 这些车票中有多少种不同的票价？ 【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有 10 个 站，共有 1+2+3+…+9=45 条线段，因此要准备 45 种不同的车票。由于这些车站之间的距离各不相等，因 此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有 45 种不同的票价。 练习 4： 1.从上海到武汉的航运线上，有 9 个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？ 2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠 6 个大站，这次列车有几种不同票价？ 3.从成都到南京的快车，中途要停靠 9 个站，有几种不同的票价？ 【例题 5】求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米） 【思路导航】要求图中的线段长度总和，可以这样计算： AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE 第 50 页 共 117 页 =1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352 厘米 从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长 1 厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称为基本 线段）出现了 4 次，长 4 厘米的线段出现了（3×2）次，长 2 厘米的线段出现了（2×3）次，长 3 厘米的 线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还可以这样算：1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1 ×4） =1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52 厘米 上式中的 5 是线段上的 5 个点，如果设线段上的点数为 n，基本线段分别为 a1、a2、…a(n－1)。以上各 线段长度的总和为 L，那么 L= a1×(n－1)×1+ a2×(n－2)×2+ a3×(n－3)×3+…+ a(n－1)×1×(n－ 1)。 练习 5： 1.一条线段上有 21 个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是 4 厘米，所有线段长度的总和是多少？ 2.求下图中所有线段的总和。（单位：米） 3.求下图中所有线段的总和。（单位：厘米） 第 51 页 共 117 页 第 19 讲 应用题 考点归纳 解答复合应用题时一般有如下四个步骤： 1.弄清题意，找出已知条件和所求问题； 2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径； 3.拟定解答计划，列出算式，算出得数； 4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。 典型例题 【例题 1】 某发电厂有 10200 吨煤，前 10 天每天烧煤 300 吨，后来改进炉灶，每天烧煤 240 吨。这堆煤 还能烧多少天？ 【思路导航】条件摘录 综合法思路： 前 10 天每天烧煤 300 吨，可以求出 10 天烧的吨数； 已知煤的总吨数和前 10 天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧； 根据还剩的吨数和后来每天烧煤 240 吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。 分析法思路： 要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240 吨）； 要求还有多少吨煤，要知道这堆煤有多少吨（10200 吨）和已经烧了多少吨。 要求已经烧了多少吨，要知道已经烧了多少天（10 天）和每天烧多少吨（300 吨）。 （10200－300×10）÷240=30（天）. 练习 1： 1.某电冰箱厂要生产 1560 台冰箱，已经生产了 8 天，每天生产 120 台。剩下的每天生产 150 台，还要多 少天才能完成任务？ 2.某工厂计划生产 36500 套轴承，前 5 天平均每天生产 2100 套，后来改进操作方法，平均每天可以生产 2600 套。这样完成这批轴承生产任务共需多少天？ 3.某机床厂计划每天生产机床 40 台，30 天完成任务。现在要提前 10 天完成任务，每天要生产多少台？ 第 52 页 共 117 页 【例题 2】师傅和徒弟同时开始加工 200 个零件，师傅每小时加工 25 个，完成任务时，徒弟还要做 2 小时 才能完成任务。徒弟每小时加工多少个？ 【思路导航】由条件可知，师傅完成任务用了 200÷25=8 小时，徒弟完成任务用了 8+2=10 小时。所以， 徒弟每小时加工 200÷10=20 个。 练习 2： 1.张师傅和李师傅同时开始各做 90 个玩具，张师傅每天做 10 个，完成任务时，李师傅还要做 1 天才能完 成任务。李师傅每天做多少个？ 2.小华和小明同时开始写 192 个大字，小华每天写 24 个，完成任务时，小明还要写 4 天才能完成。小明 每天写多少个字？ 3.丰华农具厂计划 20 天制造农具 2400 件，实际每天多制造 30 件，这样可提前几天完成任务？ 【例题 3】甲、乙两地相距 200 千米，汽车行完全程要 5 小时，步行要 40 小时。张强从甲地出发，先步行 8 小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地？ 【思路导航】根据题意，汽车 5 小时行 200 千米，每小时行 200÷5=40 千米；步行 200 千米要 40 小时， 平均每小时行 200÷40=5 千米，8 小时行了 5×8=40 千米；全程有 200 千米，乘汽车行了 200－40=160 千 米，所以，还需 160÷40=4 小时到达乙地。 练习 3： 1.玩具厂一车间要生产 900 个玩具，如果用手工做要 20 小时才能完成，用机器只需要 4 小时。一车间工 人先用手工做了 5 小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成任务？ 2.甲、乙两地相距 200 千米，汽车行完全程要 5 小时，步行要 40 小时。张强从甲地出发，先乘汽车 4 小 时，后改步行，他从甲地到乙地共用了多少小时？ 3.A、B 两城相距 300 千米，摩托车行完全程要 5 小时，自行车要 25 小时。王亮从 A 城出发，先骑自行车 5 小时，后改骑摩托车。他从 A 城到 B 城共用了多少小时？ 第 53 页 共 117 页 【例题 4】某筑路队修一条长 4200 米的公路，原计划每人每天修 4 米，派 21 人来完成；实际修筑时增加 了 4 人，可以提前几天完成任务？ 【思路导航】要求可以提前几天完成任务，要知道原计划多少天完成和实际多少天完成。原计划 21 人每 天修 4×21=84 米，修 4200 米需要 4200÷84=50 天。实际增加了 4 人，每天修 4×（21+4）=100 米，修同 样长的公路需要 4200÷100=42 天。所以可提前 50－42=8 天完成任务。 练习 4： 1.羊毛衫厂要生产 378 件羊毛衫，原计划每人每天生产 3 件，派 18 人来完成。实际增加了 3 人，可以提 前几天完成任务？ 2.某筑路队修一条长 8400 米的公路，原计划每人每天修 4 米，派 42 人来完成。如果每人的工作效率不变， 要提前 8 天完成任务，需要多少人参加？ 3.友谊服装厂要加工 192 套服装，原计划每人每天加工 2 套，8 人可以按时完成。如果每人工作效率不变， 要提前 4 天完成任务，需要增加多少人加工？ 【例题 5】自行车厂计划每天生产自行车 100 辆，可按期完成任务，实际每天生产 120 辆，结果提前 8 天 完成任务。这批自行车有多少辆？ 【思路导航】假如以计划生产的时间为准，那么实际完成任务后，再生产 8 天可多生产 120×8=960 辆。 实际每天多生产 120－100=20 辆，可以求出多生产 960 辆所用的时间，这个时间就是原计划所需要的时间， 960÷20=48 天。所以，这批自行车有 100×48=4800 辆。 练习 5： 1.农机厂生产柴油机，原计划每天生产 40 台，可以在预定的时间内完成任务。实际每天生产 50 台，结果 提前 6 天完成，这批柴油机有多少台？ 2.一辆汽车运一堆黄沙，计划每天运 15 吨，可以在预定时间内完成任务。实际每天运 20 吨，结果提前 3 天运完。这批黄沙有多少吨？ 3.新兴机械厂原计划 30 天生产一批机器，实际每天比原计划多生产 80 台，结果提前 25 天就完成了任务。 这批机器有多少台？ 第 54 页 共 117 页 第 20 讲 速算与巧算 考点归纳 速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思 维能力。这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过 对算式适当变形从而使计算简便。 在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性 质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。 典型例题 【例题 1】 计算 9+99+999+9999 【思路导航】这四个加数分别接近 10、100、1000、10000。在计算这类题目时，常使用减整法，例如将 99 转化为 100－1。这是小学数学计算中常用的一种技巧。 9+99+999+9999 =（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1） =10+100+1000+10000－4 =11106 练习 1： 1.计算 99999+9999+999+99+9 2.计算 9+98+996+9997 3.计算 1999+2998+396+497 4.计算 198+297+396+495 5.计算 1998+2997+4995+5994 6.计算 19998+39996+49995+69996. 【例题 2】计算 489+487+483+485+484+486+488 【思路导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数 490 接近，所以选 490 为基准数。 489+487+483+485+484+486+488=490×7－1－3－7－5－6－4－2=3430－28=3402 想一想：如果选 480 为基准数，可以怎样计算？ 练习 2： 1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264 3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379 第 55 页 共 117 页 5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453. 【例题 3】计算下面各题。 （1）632－156－232 （2）128+186+72－86 【思路导航】在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数 或减数的位置。 练习 3： 计算下面各题 1.1208－569－208 2.283+69－183 3.132－85+68 4，2318+625－1318+375 【例题 4】计算下面各题。 1. 248+（152－127） 2. 324－（124－97） 3. 283+（358－183） 【思路导航】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+” 号，去括号时，括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时，括号内的加号就要变成减号， 减号就要变成加号。 我们可以把上面的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变 号。 1.248+（152－127） =248+152－127 =400－127 =273 练习 4： 计算下面各题 2.324－（124－97） =324－124+97 =200+97 =297 3.283+（358－183） =283+358－183 =283－183+358 =100+358 =458 （2）128+186+72－86 =128+72+186－86 =（128+72）+（186－86） =200+100=300 （1）632－156－232 =632－232－156 =400－156 =244 第 56 页 共 117 页 1.348+（252－166） 2. 629+（320－129） 3. 462－(262－129) 4. 662－(315－238) 5.5623－(623－289)+452－(352－211) 6. 736+678+2386－(336+278)－186 【例题 5】计算下面各题。 （1）286+879－679 （2）812－593+193 【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，采用添括号的方法使 计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号； 括号前面是减号，添上括号要变号。 练习 5： 计算下面各题。 1. 368+1859－859 2. 582+393－293 3. 632－385+285 4. 2756－2748+1748+244 5. 612－375+275+（388+286） 6. 756+1478+346－（256+278）－246 （2）812－593+193 =812－（593－193） =812－400 =412 （1）286+879－679 =286+（879－679） =286+200 =868 第 57 页 共 117 页 第 21 周 速算与巧算（二） 考点归纳 乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式 适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算，从 而使计算简便。 典型例题 例 1：计算 325÷25 分析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道 计算题简便。 325÷25=（325×4）÷（25×4）=1300÷100=13 练习 1： 计算下面各题。 1，450÷25 2，525÷25 3，3500÷125 4，10000÷625 5，49500÷900 6，9000÷225 例 2：计算 25×125×4×8 分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如果先把 25 与 4 相乘，可以得到 100；同时把 125 与 8 相乘，可以得到 1000；再把 100 与 1000 相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律 使计算简便。 25×125×4×8=（25×4）×（125×8）=100×1000=100000 练习 2： 计算下面各题。 125×15×8×4 25×24 25×5×64×125 125×25×32 75×16 125×16 例 3：计算（1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15 分析与解答：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和（或 差）。利用这一性质，可以使这道题计算简便。 （1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15 =360÷36+108÷36 =450÷15－75÷15 =10+3 =30－5 =13 =25 练习 3： 计算下面各题。 1．（720+96）÷24 2．（4500－90）÷45 3．6342÷21 4．8811÷89 5．73÷36+105÷36+146÷36 6．（10000－1000－100－10）÷10 第 58 页 共 117 页 例 4：计算 158×61÷79×3 分析与解答：在乘除法混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除 数的位置。 158×61÷79×3=158÷79×61×3=2×61×3=366 练习 4： 计算下面各题。 1，238×36÷119×5 2，624×48÷312÷8 3，138×27÷69×50 4，406×312÷104÷203 例 5：计算下面各题。 （1）123×96÷16 （2）200÷（25÷4） 分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点，采用加括号或去括号的方 法，使计算简便。其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号，添、去括 号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号。 （1）123×96÷16 （2）200÷（25÷4） =123×（96÷16） =200÷25×4 =123×6 =8×4 =738 =32 练习 5： 计算下面各题。 1，612×366÷183 2，1000÷（125÷4） 3，（13×8×5×6）÷（4×5×6） 4，241×345÷678÷345×（678÷241） 第 59 页 共 117 页 第 22 周 平均数问题 考点归纳 我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平 均数。 平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。 求平均数问题的基本数量关系是： 总数量÷总份数=平均数 解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除 以总份数求出平均数。 典型例题 例 1：二（1）班学生分三组植树，第一组有 8 人，共植树 80 棵；第二组有 6 人，共植树 66 棵；第三组有 6 人，共植树 54 棵。平均每人植树多少棵？ 分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此 所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200 棵，总人数为： 8+6+6=20 人，所以平均每人植树 200÷20=10 棵。 练习 1： 1，电视机厂四月份前 10 天共生产电视机 3300 台，后 20 天共生产电视机 6300 台。这个月平均每天生产 电视机多少台？ 2，小明参加数学考试，前两次的平均分是 85 分，后三次的总分是 270 分。求小明这五次考试的平均分数 是多少。 3，二（1）班学生分三组植树，第一组有 8 人，平均每人植树 10 棵；第二组有 6 人，平均每人植树 11 棵； 第三组有 6 人，平均每人植树 9 棵。二（1）班平均每人植树多少棵？ 例 2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高 153 厘米，一个同学身高 152 厘米， 有两个同学身高 149 厘米，还有两个同学身高 147 厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。 分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方 法求解，容易发现，同学们的身高都在 150 厘米左右，可以假设平均身高为 150 厘米，把它当作基准数， 用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”。 （153×2＋152＋149×2＋147×2）÷（2＋1＋2＋2）=150 厘米 或：150＋（3×2＋2－1×2－3×2）÷（2＋1＋2＋2）=150 厘米 练习 2： 1，五（1）班有 7 个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了 99 分，还有三个同学得了 96 分，另外两个 同学分别得了 97、89 分。这 7 个同学的平均成绩是多少？ 第 60 页 共 117 页 2，气象小组每天早上 8 点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃。求一周 的平均气温。 3，敬老院有 8 个老人，他们的年龄分别是 78 岁、76 岁、77 岁、81 岁、78 岁、78 岁、76 岁、80 岁。求 这 8 个老人的平均年龄。 例 3：从山顶到山脚的路长 36 千米，一辆汽车上山，需要 4 小时到达山顶，下山沿原路返回，只用 2 小时 到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。 分析与解答：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是 36×2=72 千米，往返 的时间是 4+2=6 小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行 72÷6=12 千米。 练习 3： 1，小强家离学校有 1200 米，早上上学，他家到学校用了 15 分钟，从学校到家用了 10 分钟。求小强往返 的平均速度。 2，李大伯上山采药，上山时他每分钟走 50 米，18 分钟到达山顶；下山时，他沿原路返回，每分钟走 75 米。求李大伯上下山的平均速度。 3，小亮上山时的速度是每小时走 2 千米，下山时的速度是每小时走 6 千米。那么，他在上、下山全过程 中的平均速度是多少千米？ 例 4：李华参加体育达标测试，五项平均成绩是 85 分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是 83 分。李华 投掷得了多少他？ 分析与解答：先求出五项的总得分：85×5=425 分，再算出四项的总分：83×4=332 分，最后用五项总分 减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93 分。 练习 4： 1，小军参加了 3 次数学竞赛，平均分是 84 分。已知前两次平均分是 82 分，他第三次得了多少分？ 2，小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是 92 分；数学成绩公布后，她的平均成绩 下降了 1 分。小丽的数学考了多少分？ 3，某班一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是 95 分，第二天他的补考成绩是 65 分， 如果加上李星的成绩后，全班的平均分是 94 分。这个班有多少人？ 第 61 页 共 117 页 例 5：如果四个人的平均年龄是 23 岁，四个人中没有小于 18 岁的。那么年龄最大的人可能是多少岁？ 分析与解答：因为四个人的平均年龄是 23 岁，那么四个人的年龄和是 23×4=92 岁；又知道四个人中没有 小于 18 岁的，如果四个人中三个人的年龄都是 18 岁，就可去求另一个人的年龄最大可能是 92－18×3=38 岁。 练习 5： 1，如果三个人的平均年龄是 22 岁，且没有小于 18 岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？ 2，如果四个人的平均年龄是 28 岁，且没有大于 30 岁的。那么最小的人的年龄可能是多少岁？ 3，如果四个人的平均年龄是 25 岁，四个人中没有小于 16 岁的，且这四个人的年龄互不相等。那么年龄 最大的可能是多少岁？ 第 62 页 共 117 页 第 23 周 定义新运算 考点归纳 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如 6＋2=8，6×2=12 等。都是 2 和 6，为什么运算结果不同呢？ 主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应 方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一 个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 典型例题 例 1：设 a、b 都表示数，规定：a△b 表示 a 的 3 倍减去 b 的 2 倍，即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1） 5△6；（2）6△5。 分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的 3 倍减 去符号后面的数的 2 倍。 5△6=5×3－6×2=3 6△5=6×3－5×2=8 显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换。 练习 1： 1，设 a、b 都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算 3○4。 2，设 a、b 都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是 A、B，A▽B 表示 A 与 B 的平均数。已知 A▽6=17，求 A。 例 2：对于两个数 a 与 b，规定 a⊕b=a×b＋a＋b，试计算 6⊕2。 分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。6⊕2=6×2＋6＋2=20 练习 2： 1，对于两个数 a 与 b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算 3⊕5。 2，对于两个数 A 与 B，规定：A☆B=A×B÷2。试算 6☆4。 3，对于两个数 a 与 b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果 5⊕x=29，求 x。 例 3：如果 2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算 3△5。 第 63 页 共 117 页 分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前面的一个数多 1，加 数的个数为运算符号后面的数。所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25 练习 3： 1，如果 5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：3▽5。 2，如果 2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算 8▽4。 3，如果 2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且 1△x=15，求 x。 例 4：对于两个数 a 与 b，规定 a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知 x□6=27，求 x。 分析与解答：经仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面的数加起，每次加的 数都比它相邻的前一个数多 1，加数的个数为运算符号后面的数，原式即 x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27， 解这个方程，即可求出 x=2。 练习 4： 1，如果 2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知 x□3=5973，求 x。 2，对于两个数 a 与 b，规定 a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知 95□x=585，求 x。 3，如果 1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算 5！。 例 5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：7▽3。 分析与解答：仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b，依此规律： 7▽3=7×2＋3=17。 练习 5： 1，有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此规律计算： 8▽4。 2，有一个数学运算符号“□”使下列算式成立： 2 □ 63  ， 6 □ 427  ，5 □ 459  。按此规律计算： 8 □11。 3，对于两个数 a、b，规定 a▽b=b×x－a×2，并且已知 82▽65=31，计算：29▽57。 第 64 页 共 117 页 第 24 周 差倍问题 考点归纳 解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般财政部下，它们往往不会直接告诉我们， 这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数 量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。 解答差倍应用题的基本数量关系是： 差÷（倍数－1）=小数 小数×倍数=大数 或：小数+差=大数 典型例题 例 1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的 3 倍，比踢踺子的多 36 人。参加跳 绳和踢踺子比赛的各有多少人？ 分析与解答：如果把踢踺子的人数看作 1 份，那么跳绳的人数是这样的 3 份。36 人是这样的 3－1=2 份。 这样，把 36 人平均分成 2 份，1 份就是踢踺子的人数：36÷2=18 人，跳绳的有 18×3=54 人。 练习 1： 1，城南小学三年级的人数是一年级人数的 2 倍，三年级的人数比一年级多 130 人。三年级和一年级各有 多少人？ 2，一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的 4 倍，这种钢笔比圆珠笔贵 12 元。这种钢笔和圆珠笔的单价各是多少 元？ 3，农业科技小组有两块小麦试验田，第二块比第一块少 6 公顷，第一块的面积是第二块的 3 倍。两块试 验田各是多少公顷？ 例 2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多 3900 千克，面粉的千克数比大米的 2 倍还多 100 千 克。仓库有大米和面粉各多少千克？ 分析与解答：如果面粉减少 100 千克，那么面粉的千克数就是大米的 2 倍，3900－100=3800 千克，就是大 米的 2－1=1 倍。所以，大米有 3800÷1=3800 千克，面粉有 3800＋3900=7700 千克。 练习 2： 1，三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的 3 倍多 2 人，已知做游戏的比打球的多 38 人， 打球和做游戏的各有多少人？ 2，学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多 41 人，今年的人数比去年的 3 倍少 35 人。今年有多少人 参加？ 3，果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多 1600 棵，苹果树的棵数比桃树的 3 倍多 100 棵。 苹果树和桃树各种了多少棵？ 第 65 页 共 117 页 例 3：育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多 7 只，排球比篮球多 11 只，足球的只数是 篮球的 3 倍。足球、排球和篮球各买了多少只？ 分析与解答：由题意可知，足球比篮球多买了 7+11=18 只，它是篮球的 3－1=2 倍。所以，买篮球 18÷2=9 只，买排球 9+11=20 只，买足球 20+7=27 只。 练习 3： 1，玩具厂二月份比一月份多生产玩具 2000 个，三月份比二月份多生产 3000 个，三月份生产的玩具个数 是一月份的 2 倍。每个月各生产多少个？ 2，某农具厂第三季度比第二季度多生产 2800 套轴承，第一季度比第二季度少生产 1200 套。第三季度生 产的是第一季度的 3 倍。求每季度各生产多少？ 3，三个小朋友们折纸飞机，小晶比小亮多折 12 架，小强比小亮少折 8 架，小晶折的是小强的 3 倍。三个 人各折纸飞机多少架？ 例 4：商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的 3 倍，卖出红糖 380 千克，白糖 110 千克后，红糖 和白糖重量相等。商店原有红糖和白商各多少千克？ 分析与解答：由“红糖卖出 380 千克，白糖卖出 110 千克后，红糖和白糖重量相等”可知原来红糖比白糖 多 380－110=270 千克，它是白糖的 3－1=2 倍。所以，白糖原有 270÷2=135 千克，红糖原有 135×3=405 千克。 练习 4： 1．甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的 3 倍，从甲仓库运走 720 千克，从 乙仓库运走 120 千克后，两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各有面粉多少千克？ 2．有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的 2 倍。如果第一筐中再放入 48 个，第二筐中再放入 18 个，那么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘子多少个？ 3．甲桶的酒是乙桶的 4 倍，如果从甲桶中取出 15 千克倒入乙桶，那么两桶酒的重量相等。原来两桶酒各 有多少千克？ 第 66 页 共 117 页 例 5：甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出 2 本，从乙书架取出 60 本后，乙书架的本数 是甲书架的 3 倍。原来两个书架各有图书多少本？ 分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等，从甲书架取 240 本，从乙书架取出 60 本”可知乙书架 余下的书比甲书架多 240－60=180 本，它是甲书架余下的 2 倍，所以甲书架余下 180÷2=90 本。甲书架原 有 90＋240=330 本。 练习 5： 1，两筐同样的苹果，甲筐卖出 8 千克，乙筐卖出 20 千克以后，甲筐剩下的是乙筐的 3 倍。两筐苹果原来 各有多少千克？ 2，甲、乙两个人的存款数相等，甲取出 60 元，乙存入 20 元，乙的存款是甲的 3 倍。两人原来各有存款 多少元？ 3，甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出 120 本放到乙书架，乙书架的本数是甲书架的 4 倍。原来两个书架各有图书多少本？ 第 67 页 共 117 页 第 25 周 和差问题 考点归纳 已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系 是： （和－差）÷2=小数 小数＋差=大数（和－小数=大数） 或：（和＋差）÷2=大数 大数－差=小数（和－大数=小数） 解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应 用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。 典型例题 例 1：三、四年级同学共植树 128 棵，四年级比三年级多植树 20 棵，求三、四年级各植树多少棵？ 分析与解答：假如把三、四年级植的 128 棵加上 20 棵，得到的和就是四年级植树的 2 倍，所以，四年级 植树的棵数是（128+20）÷2=74 棵，三年级植树的棵数是 74－20=54 棵。 这道题还可以这样解答：假如从 128 棵中减去 20 棵，那么得到的差就是三年级植树棵数的 2 倍，由出， 先求出三年级植树的棵数（128－20）÷2=54 棵，再求出四年级植树的棵数：54＋20=74 棵。 练习 1： 1，两堆石子共有 800 吨，第一堆比第二堆多 200 吨。两堆各有多少吨？ 2，用锡和铝混合制成 600 千克的合金，铝的重量比锡多 400 千克。锡和铝各是多少千克？ 3，甲、乙两人年龄的和是 35 岁，甲比乙小 5 岁。甲、乙两人各多少岁？ 例 2：两筐梨子共有 120 个，如果从第一筐中拿 10 个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。两筐原来 各有多少个梨？ 分析与解答：根据题意，第一筐减少 10 个，第二筐增加 10 个后，则两筐梨子个数相等，可知原来第一筐 比第二筐多 10×2=20 个。假如从 120 个中减去 20 个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的 2 倍，所以， 第二筐原来有（120－20）÷2=50 个，第一筐原来有 50＋20=70 个。 练习 2： 1，红星小学三（1）班和三（2）班共有学生 108 人，从三（1）班转 3 人到三（2）班，则两班人数同样 多。两个班原来各有学生多少人？ 2，某汽车公司两个车队共有汽车 80 辆，如果从第一车队调 10 辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相 等。两个车队原来各有汽车多少辆？ 第 68 页 共 117 页 3，甲、乙两笨共有水果 60 千克，如果从甲箱中取出 5 千克放到乙箱中，则两箱水果一样重。两箱原来各 有水果多少千克？ 例 3：今年小勇和妈妈两人的年龄和是 38 岁，3 年前，小勇比妈妈小 26 岁。今年妈妈和小勇各多少岁？ 分析与解答：3 年前，小勇比妈妈小 26 岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小 26 岁。显然， 这属于和差问题。所以妈妈今年（38+26）÷2=32 岁，小勇（38－26）÷2=6 岁。 练习 3： 1，今年小刚和小强俩人的年龄和是 21 岁，1 年前，小刚比小强小 3 岁。今年小刚和小强各多少岁？ 2，黄茜和胡敏两人今年的年龄和是 23 岁，4 年后，黄茜将比胡敏大 3 岁。黄茜和胡敏今年各多少岁？ 3，两年前，胡炜比陆飞大 10 岁；3 年后，两人的年龄和将是 42 岁。求胡炜和陆飞今年各多少岁？ 例 4：甲乙两个仓库共有大米 800 袋，如果从甲仓库中取出 25 袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多 8 袋。两个仓库原来各有多少袋大米？ 分析与解答：先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由“从甲仓库中取出 25 袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙 仓库还多 8 袋”可知甲仓库原来比乙仓库多 25×2＋8=58 袋。由此可求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429 袋，乙仓库原来有 800－429=371 袋。 练习 4： 1．甲、乙两箱洗衣粉共有 90 袋，如果从甲箱中取出 4 袋放到乙箱中，则甲箱比乙箱还多 6 袋。两箱原来 各有多少袋？ 2．甲、乙两筐香蕉共重 60 千克，从甲筐中取 5 千克放到乙筐，结果甲筐比乙筐还多 2 千克。两筐原来各 有多少千克香蕉？ 3．两笼鸡蛋共 19 只，若甲笼再放入 4 只，乙笼中取出 2 只，这时乙笼比甲笼还多 1 只。甲、乙两笼原来 各有鸡蛋多少只？ 第 69 页 共 117 页 例 5：把长 108 厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多 12 厘米，长和宽各是多少厘米？ 分析与解答：根据题意可知围成的长方形的周长是 108 厘米，因此，这个长方形长与宽的和是 108÷2=54 厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）÷2=33 厘米，宽为 54－33=21 厘米。 练习 5： 1，把长 84 厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少 6 厘米。长和宽各是多少厘米？ 2，赵叔叔沿长和宽相差 30 米的游泳池跑 6 圈，做下水前的准备活动，共跑 1080 米。游泳池的长和宽各 是多少米？ 3，刘晓每天早晨沿长和宽相差 40 米的操场跑步，每天跑 6 圈，共跑 2400 米。这个操场的面积是多少平 方米？ 第 70 页 共 117 页 第 26 周 巧算年龄 考点归纳 年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是 和、差、倍数等问题的综合，需要灵活地加以解决。 解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律： 1，无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的； 2，随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量； 3，随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。 典型例题 例 1：爸爸今年 43 岁，儿子今年 11 岁。几年后爸爸的年龄是儿子的 3 倍？ 分析与解答：儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是 43－11=32 岁。 所以，当爸爸的年龄是儿子 3 倍时，儿子是 32÷（3－1）=16 岁，因此 16－11=5 年后，爸爸的年龄是儿 子的 3 倍。 练习 1： 1，妈妈今年 36 岁，儿子今年 12 岁。几年后妈妈年龄是儿子的 2 倍？ 2，小强今年 15 岁，小亮今年 9 岁。几年前小强的年龄是小亮的 3 倍？ 3，爷爷今年 60 岁，孙子今年 6 岁。再过多少年爷爷的年龄比孙子大 2 倍？ 例 2：妈妈今年的年龄是女儿的 4 倍，3 年前，妈妈和女儿的年龄和是 39 岁。妈妈和女儿今年各多少岁？ 分析与解答：从 3 年前到今年，妈妈和女儿都长了 3 岁，她们今年的年龄和是：39+3×2=45 岁。于是，这 个问题可转化为和倍问题来解决。所以，今年女儿的年龄是 45÷（1+4）=9 岁，妈妈今年是 9×4=36 岁。 练习 2： 1，今年爸爸的年龄是儿子的 4 倍，3 年前，爸爸和儿子的年龄和是 44 岁。爸爸和儿子今年各是多少岁？ 2，今年小丽和她爸爸的年龄和是 41 岁，4 年前爸爸的年龄恰好是小丽的 10 倍。小丽和爸爸今年各是多少 岁？ 3，今年小芳和她妈妈的年龄和是 38 岁，3 年前妈妈的年龄比小芳的 9 倍多 2 岁。小芳和妈妈今年各多少 岁？ 第 71 页 共 117 页 例 3：今年小红的年龄是小梅的 5 倍，3 年后小红的年龄是小梅的 2 倍。小红和小梅今年各多少岁？ 分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的，因此两人的年龄差是小梅今年的 5－1=4 倍，也是 3 年后小 梅年龄的 2－1=1 倍，即：小梅今年的年龄＋3=小梅今年的年龄×4。所以，小梅今年的年龄为：3÷（4－ 1）=1 岁，小红今年的年龄为：1×5=5 岁。 练习 3： 1，今年小明的年龄是小娟的 3 倍，3 年后小明的年龄是小娟的 2 倍。小明和小娟今年各多少岁？ 2，今年小亮的年龄是小英的 2 倍，6 年前小亮的年龄是小英的 5 倍。小英和小亮今年各多少岁？ 3，10 年前父亲的年龄是儿子的 7 倍，15 年后父亲的年龄是儿子的 2 倍。父亲和儿子今年各多少岁？ 例 4：甜甜的爸爸今年 28 岁，妈妈今年 26 岁。再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为 80 岁？ 分析与解答：两人的年龄和每年增加 2 岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54 岁，再求 80 比 54 多 80－54=26 岁。26 里面包含多少个 2，就是经过的年数。所以，再过 26÷2=13 年爸爸和妈妈的年龄和 为 80 岁。 练习 4： 1，蜜蜜的爸爸今年 27 岁，她的妈妈今年 26 岁。再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄和为 73 岁？ 2，林星今年 8 岁，爸爸今年 34 岁。当他们的年龄和为 72 岁时，爸爸和林星各多少岁？ 3，今年爸爸 56 岁，儿子 30 岁。当父子的年龄和为 46 岁时，爸爸和儿子各是多少岁？ 例 5：小英一家由小英和她的父母组成。小英的父亲比母亲大 3 岁，今年全家年龄总和是 71 岁，8 年前这 个家的年龄总和是 49 岁。今年三人各多少岁？ 第 72 页 共 117 页 分析与解答：已知 8 年前这个家的年龄总和是 49 岁，这个条件中 8 年与 49 岁看上去有一个是多余的，有 的同学可能认为 8 年前这个家的年龄总和应该是 71－（1+1+1）×8=47 岁，但这与题中所给的条件 49 不 一致。为什么呢？这说明 8 年前小英还没有出生。这相差的 2 岁就是 8 年前与小英年龄的差。由此可以求 出小英今年是 8－2=6 岁。今年父母的年龄和为 71－6=65 岁。已知小英的父亲比母亲大 3 岁，所以今年父 亲（65+3）÷2=34 岁，母亲 34－3=31 岁。 练习 5： 1，父、母、子三人今年的年龄和为 70 岁，而 10 年前三人的年龄和为 46 岁，父亲比母亲大 4 岁。求三人 今年各多少岁。 2，全家四口人，父亲比母亲大 3 岁，姐姐比弟弟大 2 岁。4 年前他们的年龄和为 58 岁，现在全家的年龄 和是 73 岁。现在每个人各多少岁？ 3，吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴林还有他们的父母组成，其中父亲比母亲大 2 岁。今年全家的年龄 和是 64 岁，5 年前全家的年龄和是 52 岁。求今年每人的年龄。 第 73 页 共 117 页 第 27 周 较复杂的和差倍问题 考点归纳 前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题，有的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这 类问题叫做复杂的和差倍问题。 解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的转化，从而将较复杂 的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。 典型例题 例 1：两箱茶叶共重 96 千克，如果从甲箱取出 12 千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的 3 倍。两箱 原来各有茶叶多少千克？ 分析与解答：由“两箱茶叶共重 96 千克，如果从甲箱取出 12 千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的 3 倍”可求出现在甲箱中有茶叶 96÷（1＋3）=24 千克。由此可求出甲箱原来有茶叶 24＋12=36 千克，乙 箱原来有茶叶 96－36=60 千克。 练习 1： 1，书架的上、下两层共有书 180 本，如果从上层取下 15 本放入下层，那么下层的本数正好是上层的 2 倍。 两层原来各有书多少本？ 2，甲、乙两人共储蓄 2000 元，甲取出 160 元，乙又存入 240 元，这时甲储蓄的钱数比乙的 2 倍少 20 元。 甲、乙两人原来各储蓄多少元？ 3，某畜牧场共有绵羊和山羊 3561 只，后来卖了 60 只绵羊，又买来山羊 100 只，现在绵羊的只数比山羊 的 2 倍多 1 只。原来绵羊和山羊各有多少只？ 例 2：甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做 5 道，丙做的是甲的 2 倍，比乙多做 20 道。他们一 共做了多少道数学题？ 分析与解答：甲比乙多 5 道，丙比乙多 20 道，丙做的是甲的 2 倍，因此，20－5=15 道是丙的一半，也就 是甲做的道数。丙做了 15×2=30 道，乙做了 15－5=10 道。他们共做了：（20－5）×（1＋2）＋[（20－ 5）－5]=55 道。 练习 2： 1，某厂一季度创产值比三季度多 2 万元，二季度的产值是一季度产值的 2 倍，比三季度产值多 42 万元。 三个季度共创产值多少万元？ 2，甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做 12 个，丙做的比甲的 2 倍少 20 个，比乙做的多 38 个。 这批零件共有多少个？ 第 74 页 共 117 页 3，果园里的苹果树是桃树的 3 倍，管理员每天能给 25 棵苹果树和 15 棵桃树洒农药。几天后，当桃树喷 完农药时，苹果树还有 140 棵没有喷药。果园里共有多少棵树？ 例 3：某工厂一、二、三车间共有工人 280 人，第一车间比第二车间多 10 人，第二车间比第三车间多 15 人。三个车间各有工人多少人？ 分析与解答：这是多量的和差问题，解题的时候确定的标准不同，解法也就不同。如果以第二车间的人数 为标准，第一车间减少 10 人，第三车间增加 15 人，那么 280－10＋15=285 人是第二车间人数的 3 倍，由 此可以求出第二车间有 285÷3=95 人，第一车间有 95＋10=105 人，第三车间有 95－15=80 人。 练习 3： 1，一个三层书架共放书 168 本，上层比中层多 12 本，下层比中层少 6 本。三层各放书多少本？ 2，一个三层柜台共放皮鞋 120 双，第一层比第二层多放 4 双，第二层比第三层多 7 双，三层各多皮鞋多 少双？ 3，四个数的和是 152，第一个数比第二个数多 16，比第三个数多 20，比第四个数少 12。第一个数和第四 个数是多少？ 例 4：两个数相除，商是 4，被除数、除数、商的和是 124。被除数和除数各是多少？ 分析与解答：从 124 里去掉商，是 124－4=120，它是除数的 1＋4=5 倍，除数是 120÷5=24，被除数是 24×4=94。 练习 1： 1，在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是 123。已知商是 3，被除数和除数各是多少？ 2，两个数相除，商是 5，余数是 7，被除数、除数、商、余数的和是 187，求被除数。 3，两个数相除，商是 17，余数是 8，被除数、除数、商和余数的和是 501，求被除数和除数是多少。 例 5：甲的存款是乙的 4 倍，如果甲取出 110 元，乙存入 110 元，那么乙的存款是甲的 3 倍。甲、乙原来 各有存款多少元？ 分析与解答：由“乙存入 110 元，甲取出 110 元”，可知乙存入 110 元后相当于甲存款数的 3 倍，取出 110×3=330 元；而由甲的存款是乙的 4 倍，可知甲原有存款的 3 倍相当于乙原有存款的 4×3=12 倍，乙现在存入 110 第 75 页 共 117 页 元后相当于甲原有的 12 倍，取 110×3=330 元，所以，330＋110=440 元，相当于乙原有的 12－1=11 倍。所 以，乙原有存款 440÷11=40 元，甲原有存款 40×4=160 元。 练习 5： 1，甲的存款是乙的 5 倍，如果甲取出 60 元，乙存入 60 元，那么乙的存款是甲的 2 倍。甲、乙原来各有 存款多少元？ 2，刘叔叔的存款是李叔叔的 6 倍，如果刘叔叔取出 1100 元，李叔叔存入 1100 元，那么刘叔叔的存款是 李叔叔的 2 倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元？ 3，有大、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装 16 千克，大筐装的是小筐的 4 倍。 大、中、小三筐各装菠萝多少千克？ 第 28 周 周期问题 第 76 页 共 117 页 考点归纳 在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖、每周的七天等等。我们把这 种特殊的规律性问题称为周期问题。 解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果 为周期里的最后一个；如果比整数个周期多 n 个，那么为下个周期里的第 n 个；如果不是从第一个开始循 环，可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算。 典型例题 例 1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第 20 个图形分别是什么。 （1）□△□△□△□△…… （2）□△△□△△□△△…… 分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20÷2=10，即“□△”重复出现 10 次， 所以第 20 个图形是△。第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现，20÷3=6…2，即“□△△” 重复出现 6 次后又出现了两个图形“□△”，所以第 20 个图形是△。 练习 1： （1）□□△△□□△△□□△△……第 28 个图形是什么？ （2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第 2001 个字是什么字？ （3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第 63 只灯泡是什么颜色？第 112 只呢？ 例 2：有一列数，按 5、6、2、4、5、6、2、4…排列。 （1）第 129 个数是多少？（2）这 129 个数相加的和是多少？ 分析与解答：（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列，那么 一个循环就是 4 个数，则 129÷4=32…1，可知有 32 个“5、6、4、2”还剩一个。所以第 129 个数是 5。 （2）每组四个数之和是 5+6+4+2=17，所以，这 129 个数相加的和是 17×32＋5=549。 练习 2： 1，有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7… （1）第 58 个数是多少？（2）这 58 个数的和是多少？ 2，小青把积存下来的硬币按先四个 1 分，再三个 2 分，最后两个 5 分这样的顺序一直往下排。（1）他排 到第 111 个是几分硬币？（2）这 111 个硬币加起来是多少元钱？ 3，河岸上种了 100 棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下去一直这样 排列。问：第 100 棵是什么桃树？三种树各有多少棵？ 第 77 页 共 117 页 例 3：假设所有的自然数排列起来，如下所示 39 应该排在哪个字母下面？88 应该排在哪个字母下面？ A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9… 分析与解答：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大 4 个数一个循环，我们可以根据这些数除以 4 所得的余数来分析。 39÷4=9…3 88÷4=22 所以，39 应排在第 10 个循环的第三个字母 C 下面，88 应排在第 22 个循环的第四个字母 D 下面。 练习 3： 1，假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000 应分别排在哪个字母下面？ A B C D 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 … 2，2001 个学生按下列方法编号排成五列： 一 二 三 四 五 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 … 问：最后一个学生应该排在第几列？ 例 4：1991 年 1 月 1 日是星期二，（1）该月的 22 日是星期几？该月 28 日是星期几？（2）1994 年 1 月 1 日是星期几？ 分析与解答：（1）一个星期是 7 天，因此，7 天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算 头”的方法。（22－1）÷7=3，没有余数，该月 22 日仍是星期二；（28－1）÷7=3…6，从星期三开始（包 括星期三）往后数 6 天，28 日是星期一。 （2）1991 年、1993 年是平年，1992 年是闰年，从 1991 年 1 月 2 日到 1994 年 1 月 1 日共 1096 天，1096 ÷7=156…4，从星期三开始往后数 4 天，1994 年 1 月 1 日是星期六。 练习 4： 1，1990 年 9 月 22 日是星期六，1991 年元旦是星期几？ 2，1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再过 10 年的 12 月 5 日是星期几？ 第 78 页 共 117 页 3，1996 年 8 月 1 日是星期四，1996 年的元旦是星期几？ 例 5：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12 种动物按顺序轮流代表年号，例 如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年…。如果公元 1 年属鸡年，那么公元 2001 年 属什么年？ 分析与解答：一共有 12 种动物，因此 12 为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、 龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环，从公元 2 年到公元 2001 年共经历了 2000 年（算头不算尾）， 2000÷12=166…8，从狗年开始往后数 8 年，公元 2001 年是蛇年。 练习 5： 我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12 种动物按顺序轮流代表年号。 1，如果公元 3 年属猪年，那么公元 2000 年属什么年？ 2，如果公元 6 年属虎年，那么公元 21 世纪的第一个虎年是哪一年？ 3，公元 2001 年属蛇年，公元 2 年属什么年？ 第 29 周 行程问题（一） 第 79 页 共 117 页 考点归纳 我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问 题和追及问题。这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。 解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考， 对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。 典型例题 例 1：甲乙两人分别从相距 20 千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米。两 人几小时后相遇？ 分析与解答：这是一道相遇问题。所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动 的问题。根据题意，出发时甲乙两人相距 20 千米，以后两人的距离每小时缩短 6＋4=10 千米，这也是两 人的速度和。所以，求两人几小时相遇，就是求 20 千米里面有几个 10 千米。因此，两人 20÷（6＋4）=2 小时后相遇。 练习 1： 1，甲乙两艘轮船分别从 A、B 两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶 18 千米，乙船每小时行驶 15 千米， 经过 6 小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米？ 2，一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距 900 千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行 40 千米，摩托车每 小时行 50 千米。8 小时后两车相距多少千米？ 3，甲乙两车分别从相距 480 千米的 A、B 两城同时出发，相向而行，已知甲车从 A 城到 B 城需 6 小时，乙 车从 B 城到 A 城需 12 小时。两车出发后多少小时相遇？ 例 2：王欣和陆亮两人同时从相距 2000 米的两地相向而行，王欣每分钟行 110 米，陆亮每分钟行 90 米。 如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行 500 米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回 头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？ 分析与解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知，狗的速度是每 分钟行 500 米，关键是要求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的 时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即 2000÷（110＋90）=10 分钟。所以狗共行了 500× 10=5000 米。 练习 2： 1，甲乙两队学生从相隔 18 千米的两地同时出发相向而行。一个同学骑自行车以每小时 15 千米的速度在 两队之间不停地往返联络。甲队每小时行 5 千米，乙队每小时行 4 千米。两队相遇时，骑自行车的同学共 行多少千米？ 第 80 页 共 117 页 2，A、B 两地相距 400 千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行 38 千米，乙车每小时行 42 千米。一只燕子以每小时 50 千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。这样 一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？ 3，甲、乙两个车队同时从相隔 330 千米的两地相向而行，甲队每小时行 60 千米，乙队每小时行 50 千米。 一个人骑摩托车以每小时行 80 千米的速度在两车队中间往返联络，问两车队相遇时，摩托车行驶了多少 千米？ 例 3：甲每小时行 7 千米，乙每小时行 5 千米，两人于相隔 18 千米的两地同时相背而行，几小时后两人相 隔 54 千米？ 分析与解答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问题。在相背问题中， 相遇问题的基本数量关系仍然成立，根据题意，甲乙两人共行的路程应该是 54－18=36 千米，而两人每小 时共行 7＋5=12 千米。要求几小时能行完 36 千米，就是求 36 千米里面有几个 12 千米。所以，36÷12=3 小时。 练习 3： 1，甲车每小时行 6 千米，乙车每小时行 5 千米，两车于相隔 10 千米的两地同时相背而行，几小时后两人 相隔 65 千米？ 2，甲每小时行 9 千米，乙每小时行 7 千米，甲从南庄向南行，同时乙从北庄向北行。经过 3 小时后，两 人相隔 60 千米。南北两庄相距多少千米？ 3，东西两镇相距 20 千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的 2 倍，3 小 时后两人相距 56 千米。两人的速度各是多少？ 例 4：甲乙两人分别从相距 24 千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行 13 千米，乙步行每小时走 5 千米。几小时后甲可以追上乙？ 分析与解答：这是一道追及问题。根据题意，甲追上乙时，比乙多行了 24 千米（路程差）。甲骑自行车 每小时行 13 千米，乙步行每小时走 5 千米，甲每小时比乙多行 13－5=8 千米（速度差），即甲每小时可 以追上乙 8 千米，所以要求追上乙所用的时间，就是求 24 千米里面有几个 8 千米。因此，24÷8=3 小时甲 可以追上乙。 第 81 页 共 117 页 练习 4： 1，甲乙两人同时从相距 36 千米的 A、B 两城同向而行，乙在前甲在后，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 6 千米。几小时后甲可追上乙？ 2，解放军某部从营地出发，以每小时 6 千米的速度向目的地前进，8 小时后部队有急事，派通讯员骑摩托 车以每小时 54 千米的速度前去联络。多长时间后，通讯员能赶上队伍？ 3，小华和小亮的家相距 380 米，两人同时从家中出发，在同一条笔直的路上行走，小华每分钟走 65 米， 小亮每分钟走 55 米。3 分钟后两人相距多少米？ 例 5：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑 290 米，乙每分钟跑 270 米，跑道一圈长 400 米。如果 两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙？ 分析与解答：这是一道封闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑，方向一致。因此，当甲第一次追上 乙时，比乙多跑了一圈，也就是甲与乙的路程差是 400 米。根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求出 甲追上乙所需的时间：400÷（290－270）=20 分钟。 练习 5： 1，一条环形跑道长 400 米，小强每分钟跑 300 米，小星每分钟跑 250 米，两人同时同地同向出发，经过 多长时间小强第一次追上小星？ 2，光明小学有一条长 200 米的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。亮亮每秒跑 6 米，晶晶每秒跑 4 米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？ 3，甲、乙两人绕周长 1000 米的环形广场竞走，已知甲每分钟走 125 米，乙的速度是甲的 2 倍。现在甲在 乙后面 250 米，乙追上甲需要多少分钟？ 第 30 周 用假设法解题 考点归纳 假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，然后按已知 条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整，从而找到正确答案。 第 82 页 共 117 页 运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相 等；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适当的调整。 典型例题 例 1：今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共 35 个，鸡脚与兔脚共 94 只。问鸡、兔各有多少只？ 分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根 据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。 假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是 2×35=70 只，与实际相比，减少了 94－70=24 只。减少的原因是 把一只兔当作一只鸡时，要减少 4－2=2 只脚。所以兔有 24÷2=12 只，鸡有 35－12=23 只。 练习 1： 1，鸡与兔共有 30 只，共有脚 70 只。鸡与兔各有多少只？ 2，鸡与兔共有 20 只，共有脚 50 只。鸡与兔各有多少只？ 3，鸡与兔共有 100 只，鸡脚比兔脚多 80 只。鸡与兔各有多少只？ 例 2：面值是 2 元、5 元的人民币共 27 张，全计 99 元。面值是 2 元、5 元的人民币各有多少张？ 分析与解答：这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值 2 元的人民币，那么 27 张人民币是 2×27=54 元，与实际相比减少了 99－54=45 元，减少的原因是每把一张面值 2 元的人民币当作一张面 5 元的人民币， 要减少 5－2=3 元，所以，面值是 5 元的人民币有 45÷3=15 张，面值 2 元的人民币有 27－15=12 张。 练习 2： 1，孙佳有 2 分、5 分硬币共 40 枚，一共是 1 元 7 角。两种硬币各有多少枚？ 2，50 名同学去划船，一共乘坐 11 只船，其中每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人。问大船和小船各几只？ 3，小明参加猜谜比赛，共 20 道题，规定猜对一道得 5 分，猜错一道倒扣 3 分（不猜按错算）。小明共得 60 分，他猜对了几道？ 例 3：一批水泥，用小车装载，要用 45 辆；用大车装载，只要 36 辆。每辆大车比小车多装 4 吨，这批水 泥有多少吨？ 分析与解答：求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用 36 辆小车来运，则剩 4×36=144 吨，需 45 －36=9 辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是 144÷9=16 吨，所以，这批水泥共有 16×45=720 吨。 练习 3： 第 83 页 共 117 页 1，一批货物用大卡车装要 16 辆，如果用小卡车装要 48 辆。已知大卡车比小卡车每辆多装 4 吨，问这批 货物有多少吨？ 2，有一堆黄沙，用大汽车运需运 50 次，如果用小汽车运，要运 80 次。每辆大汽车比小汽车多运 3 吨， 这堆黄沙有多少吨？ 3，一批钢材，用小车装，要用 35 辆，用大车装只用 30 辆，每辆小车比大车少装 3 吨，这批钢材有多少 吨？ 例 4：某玻璃杯厂要为商场运送 1000 个玻璃杯，双方商定每个运费为 1 元，如果打碎一个，这个不但不给 运费，而且要赔偿 3 元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费 920 元。求打碎了几个玻璃杯？ 分析与解答：假设 1000 个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费 1×1000=1000 元，实际上少得 1000－ 920=80 元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个，不但不给运费还要赔偿 3 元，这样玻璃杯厂就 少收入 1＋3=4 元。又已求出共少收入 80 元，所以打碎的玻璃杯数为 80÷4=20 个。 练习 4： 1，搬运 1000 玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费 3 角。但打碎一只，不仅不给搬运费还要赔 5 角。如 果运完后共得运费 260 元，那么，搬运中打碎了多少只？ 2，某次数学竞赛共 20 道题，评分标准是每做对一题得 5 分，每做错一题倒扣 1 分。刘亮参加了这次竞赛， 得了 64 分。刘亮做对了多少道题？ 3，某校举行化学竞赛共有 15 道题，规定每做对一题得 10 分，每做错一道或不做倒扣 4 分。小华在这次 竞赛中共得 66 分，他做对了几道题？ 例 5：某场乒乓球比赛售出 30 元、40 元、50 元的门票共 200 张，收入 7800 元。其中 40 元和 50 元的张数 相等，每种票各售出多少张？ 第 84 页 共 117 页 分析与解答：因为“40 元和 50 元的张数相等”，所以可以把 40 元和 50 元的门票都看作 45 元的门票，假 设这 200 张门票都是 45 元的，应收入 45×200=9000 元，比实际多收入 9000－7800=1200 元，这是因为把 30 元的门票都当作 45 元来计算了。因此 30 元的门票有 1200÷（45－30）=80 张，40 元和 50 元的门票各 有（200－80）÷2=60 张。 练习 5： 1，某场球赛售出 40 元、30 元、50 元的门票共 400 张，收入 15600 元。其中 40 元和 50 元的张数相等， 每种门票各售出多少张？ 2，数学测试卷有 20 道题，做对一题得 7 分，做错一题倒扣 4 分，不做得 0 分。红红得了 100 分，她几道 题没做？ 3，有甲、乙、丙三种练习簿，价钱分别为 7 角、3 角和 2 角，三种练习簿一共买了 47 本，付了 21 元 2 角。 买乙种练习簿的本数是丙种练习簿的 2 倍，三种练习簿各买了多少本？ 第 31 周 还原问题 考点归纳 第 85 页 共 117 页 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆 运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。 典型例题 例 1：小刚的奶奶今年年龄减去 7 后，缩小 9 倍，再加上 2 之后，扩大 10 倍，恰好是 100 岁。小刚的奶奶 今年多少岁？ 分析与解答：从最后一个条件恰好是 100 岁向前推算，扩大 10 倍后是 100 岁，没有扩大 10 倍之前应是 100 ÷10=10 岁；加上 2 之后是 10 岁，没有加 2 之前应是 10－2=8 岁；没有缩小 9 倍之前应是 8×9=72 岁；减 去 7 之后是 72 岁，没有减去 7 前应是 72＋7=79 岁。所以，小刚的奶奶今年是 79 岁。 练习 1： 1，在□里填上适当的数。 20×□÷8＋16=26 2，一个数的 3 倍加上 6，再减去 9，最后乘上 2，结果得 60。这个数是多少？ 3，小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上 9，除以 4，减去 2，再乘上 3，恰好是 30 岁。”王老师今年多少岁？ 例 2：某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多 10 台，下午售出剩下的一半多 20 台，还剩 95 台。这个 商场原来有洗衣机多少台？ 分析与解答：从“下午售出剩下的一半还多 20 台”和“还剩 95 台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的 95 台和下午多卖的 20 台合起来，即 95＋20=115 台正好是上午售后剩下的一半，那么 115×2=230 台就是 上午售出后剩下的台数。而 230 台和 10 台合起来，即 230＋10=240 台又正好是总数的一半。那么，240× 2=480 台就是原有洗衣机的台数。 练习 2： 1，粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多 3 吨，第二次运出剩下的一半多 5 吨，还剩下 4 吨。粮 库原有大米多少吨？ 2，爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多 1 个，第二天吃了剩下的一半多 1 个，第三 天又吃掉了剩下的一半多 1 个，还剩下 1 个。爸爸买了多少个橘子？ 第 86 页 共 117 页 3，某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多 2 个，第二次卖掉了剩下的一半多 1 个，第三次卖掉第二 次卖后剩下的一半多 1 个，这时只剩下一外菠萝。三次共卖得 48 元，求每个菠萝多少元？ 例 3：小明、小强和小勇三个人共有故事书 60 本。如果小强向小明借 3 本后，又借给小勇 5 本，结果三个 人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？ 分析与解答：不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是 60 本，根据结果三个人故事书本数相同， 可以求最后三个人每人都有故事书 60÷3=20 本。如果小强不借给小勇 5 本，那么小强有 20＋5=25 本，小 勇有 20－5=15 本；如果小强不向小明借 3 本，那么小强有 25－3=22 本，小明有 20＋3=23 本。 练习 3： 1，甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡 90 张。如果甲给乙 3 张后，乙又送给丙 5 张，那么三个人的贺年卡 张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？ 2，小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽 13 张，小丽给小敏 23 张，小敏给小红 3 张，那么他们每人各有 40 张。原来三个人各有年历片多少张？ 3，甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子 10 颗，甲给乙 13 颗，乙给丙 18 颗，丙给丁 16 颗，四人 的个数相等。他们原来各有弹子多少颗？ 例 4：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶 同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是 36 千克。问两桶油原来各有多少千克？ 分析与解答：如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油 36÷2=18 千克，乙桶应有 油 36＋18=54 千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为 54÷2=27 千克， 甲桶原有油 18＋27=45 千克。 练习 1： 1，王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多 的画片给王亮，这时两个人都有 24 张。问王亮和李强原来各有画片多少张？ 第 87 页 共 117 页 2，甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给 丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲、乙，这时，他们三个人 都有 32 个玻璃球。原来每人各有多少个？ 3，书架上分上、中、下三层，共放 192 本书。现从上层出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与 下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三书架所放的书本数 相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书？ 例 5：两只猴子拿 26 个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从 乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴 5 个，这时乙猴比甲猴多 5 个。问甲猴最初准备拿几个？ 分析与解答：先求出两个猴现在各拿多少，根据“有 26 个桃”和“这时乙猴比甲猴多 2 个”，可知乙猴 现在拿（26＋2）÷2=14 个，甲猴现在拿 26－14=12 个。甲猴从乙猴那儿抢走一半，又还给乙猴 5 个后有 12 个，如果甲猴不还给乙猴，那么甲猴有 12＋5=17 个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（26－ 17）×2=18 个。乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有 18 个，如果不抢，那么甲猴最初准备拿（26 －18）×2=16 个。 练习 1： 1，学校运来 36 棵树苗，小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就抢 了 10 棵，小强不肯，又从小萍那里抢了 6 棵，这时小强拿的棵数是小萍的 2 倍。问最初小强准备拿多少 棵？ 2，李辉和张新各搬 60 本图书，李辉抢先拿了若干本，张新看李辉拿了太多，就抢了一半；李辉不肯，张 新就给了他 10 本。这时李辉比张新多 4 本。问最初李辉拿了多少本？ 3，有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出 15 加到乙数，再从乙数中拿出 18 加到丙数，最后从丙数拿出 12 加到甲数，这时三个数都是 180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少？ 第 32 周 逻辑推理 考点归纳 第 88 页 共 117 页 解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑： 1，选准突破口，分析时综合几个条件进行判断； 2，根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论； 3，对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确 的； 4，遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。 典型例题 例 1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多。” 静静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好事最少？ 分析与解答：我们用“＞”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。 兰兰＞静静 冬冬＞静静 冬冬＞兰兰 所以，冬冬＞兰兰＞静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。 练习 1： 1，卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道： 卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员？ 2，小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师。小张年龄比工程师大；小李 和数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁是工程师？ 3，江波、刘晓、吴萌三个老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知： 江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：三个老师分别教什么 科目？ 例 2：有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。 这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？ （1） 奥匹 林 （2） 数奥 学 （3） 林数 克 分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对 面不是什么字。 从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”。所以， “奥”的对面一定是“克”。 从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知，“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数” 的对面一定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。 练习 2： 1，下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜色。请判断黄色的对 第 89 页 共 117 页 面是什么颜色？白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？ （A） 黄黑 白 （B） 红白 绿 （C） 红蓝 黄 2，一个正方体，六个面分别写上 A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法，求出相对的两个 面的字母是什么吗？ DA F AC B CD E 3，五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字 1~6，把木块叠成下图，那么，2 的对面是几？ 4 的对面是几？5 的对面是几？ 5 4 6 5 2 3 6 3 6 4 5 例 3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃。”丙说：“是 乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？ 分析与解答：由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假设，看结论和条件是否 矛盾。 如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只有一 人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。 如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是真话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所 以不是乙打碎的。 如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话，符合条 件中只有一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。 练习 3： 1，已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不 会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车？ 第 90 页 共 117 页 2，某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了 A、B、C 三个学生。A 说：“是 B 做的。”B 说：“不是我 做的。”C 说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话，这件好事是谁做的？ 3，A、B、C、D 四个孩子踢球打碎了玻璃。A 说：“是 C 或 D 打碎的。”B 说：“是 D 打碎的。”C 说：“我没 有打碎玻璃。”D 说：“不是我打碎的。”他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎了玻璃？ 例 4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后：甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是 第一名，丁是第四名。”丙说：“丁是第一名，我是第三名。”丁没有说话。成绩揭晓时，大家发现甲、乙、 丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗？ 分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们可以借助图表进行分 析。 （1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的。 （2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件，丙说“我是第三名”是对的。 （3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。 甲 √ 丙（1） × 甲（3） 乙 × 乙（1） √ 丁（4） 丙 × 丁（2） √ 丙（3） 重新推理： （1）由甲说的“我是第一名”推出丙说的“我是第三名”是错的，而丙说的“我是第一名”是对的。 （2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的，而乙说的“我是第一名”是对的。 （3）从表中我们可看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。 练习 4： 1．甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名，丁是第三名。”有 的说：“甲是第一名，丁是第二名。”有的说：“丙是第二名，丁是第四名。”实际上，上面三种说法各说对 了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名？ 2，红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人 猜各包里的珠子的颜色。甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二名蓝色，第四包红色。”丙猜： “第三包蓝色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第五包白色。”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色。” 结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？ 甲 × 丙（1） √ 甲（3） 乙 √ 乙（1） × 丁（4） 丙 √ 丁（2） × 丙（3） 第 91 页 共 117 页 3，张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖每个湖泊写上号码，这五个同学只认对了 一半。他们是这样回答的： 甲：2 是巢湖，3 是洞庭湖；乙：4 是鄱阳湖，2 是洪泽湖；丙：1 是鄱阳湖，5 是太湖；丁：4 是太湖，3 是洪泽湖；戌：2 是洞庭湖，5 是巢湖。请写出各个号码所代表的湖泊。 例 5：A、B、C、D 与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A 赛了 4 盘，B 赛了 3 盘，C 赛了 2 盘，D 赛了一盘。问小强已经赛了几盘？ 分析与解答：用五个点表示这 5 个人，如果某两个之间已经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一 条线。现在 A 赛 4 盘，所以 A 应该与其余 4 个点都连线。B 赛了 3 盘，由于 D 只赛了 1 盘，是和 A 赛的， 所以 B 应该与 C 连。（B、A 已连线）C 已连了 2 条线，小强也连了 2 条线，所以小强已赛了 2 盘。 练习 5： 1，上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现在为止，上海队赛了 3 场，辽宁队赛了 2 场， 山东队赛了 1 场。问北京队赛了几场？ 2，明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要握一次手。明明已握 了 5 次手，冬冬握了 4 次手，兰兰握了 5 次手，静静握了 2 次，思思握了 1 次手。问毛毛握了几次手？ 3，甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。 问丁胜了几场？ 第 33 周 速算与巧算（三） 考点归纳 这一周，我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。这些计算从表面上看似 第 92 页 共 117 页 乎不能巧算，而如果把已知数适当分解或转化就可以使计算简便。 对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征，通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算 式间的联系，灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化。 典型例题 例 1：计算 236×37×27 分析与解答：在乘除法的计算过程中，除了常常要将因数和除数“凑整”，有时为了便于口算，还要将一 些算式凑成特殊的数。例如，可以将 27 变为“3×9”，将 37 乘 3 得 111，这是一个特殊的数，这样就便于 计算了。 236×37×27=236×（37×3×9）=236×（111×9）=236×999=236×（1000－1）=236000－236=235764 练习 1： 计算下面各题： 132×37×27 315×77×13 6666×6666 例 2：计算 333×334＋999×222 分析与解答：表面上，这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即 可简算。 333×334＋999×222=333×334＋333×（3×222）=333×（334＋666）=333×1000=333000 练习 2： 计算下面各题： 9999×2222＋3333×3334 37×18＋27×42 46×28＋24×63 例 3：计算 20012001×2002－20022002×2001 分析与解答：这道题如果直接计算，显得比较麻烦。根据题中的数的特点，如果把 20012001 变形为 2001 ×10001，把 20022002 变形为 2002×10001，那么计算起来就非常方便。 20012001×2002－20022002×2001=2001×10001×2002－2002×10001×2001=0 练习 3： 计算下面各题： 1，192192×368－368368×192 2，19931993×1994－19941994×1993 3，9990999×3998－59975997×666 第 93 页 共 117 页 例 4：不用笔算，请你指出下面哪个得数大。 163×167 164×166 分析与解答：仔细观察可以发现，第二个算式中的两个因数分别与第一个算式中的两个因数相差 1，根据 这个特点，可以把题中的数据作适当变形，再利用乘法分配律，然后进行比较就方便了。 163×167 164×166 =163×（166＋1） =（163＋1）×166 =163×166＋163 =163×166＋166 所以，163×167＜164×166 练习 4： 1，不用笔算，比较下面每道题中两个积的大小。 （1）242×248 与 243×247 （2）A=987654321×123456789 与 B=987654322×123456788 2，计算：8353×363－8354×362 例 5：888…88[1993 个 8]×999…99[1993 个 9]的积是多少？ 分析与解答：将 999…99[1993 个 9]变形为“100…0[1993 个 0]－1”，然后利用乘法分配律来进行简便计 算。 888…88[1993 个 8]×999…99[1993 个 9] =888…88[1993 个 8]×（100…0[1993 个 0]－1） =888…88[1993 个 8]000…0[1993 个 0]－888…88[1993 个 8] =888…88[1993 个 8]111…1[1992 个 1]2 练习 5： 1，666…6[2001 个 6]999…9[2001 个 9]的积是多少？ 2，999…9[1988 个 9]×999…9[1988 个 9]＋1999…9[1988 个 9]的末尾有多少个 0？ 3，999…9[1992 个 9]×999…9[1992 个 9]＋1999…9[1992 个 9]的末尾有多少个 0？ 第 34 周 行程问题（二） 考点归纳 行船问题是指在流水中的一种特殊的行程问题，它也有路程、速度与时间之间的数量关系。因此，它比一 第 94 页 共 117 页 般行程问题多了一个水速。在静水中行船，单位时间内所行的路程叫船速，逆水的速度叫逆水速度，顺水 下行的速度叫顺水速度。船在水中漂流，不借助其他外力只顺水而行，单位时间内所走的路程叫水流速度， 简称水速。 行船问题与一般行程问题相比，除了用速度、时间和路程之间的关系外，还有如下的特殊数量关系： 顺水速度=船速＋水速 逆水速度=船速－水速 （顺水速度＋逆水速度）÷2=船速 （顺水速度－逆水速度）÷2=水速 典型例题 例 1：货车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时行 48 千米，客车每小时行 42 千米，两车在距中 点 18 千米处相遇。东西两地相距多少千米？ 分析与解答：由条件“货车每小时行 48 千米，客车每小时行 42 千米”可知货、客车的速度和是 48＋42=90 千米。由于货车比客车速度快，当货车过中点 18 千米时，客车距中点还有 18 千米，因此货车比客车多行 18×2=36 千米。因为货车每小时比客车多行 48－42=6 千米，这样货车多行 36 千米需要 36÷6=6 小时，即 两车相遇的时间。所以，两地相距 90×6=540 千米。 练习 1： 1，甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行 20 千米，乙每小时行 18 千米。两人相遇时距 全程中点 3 千米，求全程长多少千米。 2，甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 56 千米，两车在距 中点 16 千米处相遇。东西两城相距多少千米？ 3，快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行 40 千米，经过 3 小时后，快车已驶过中点 25 千米，这时慢车还相距 7 千米。慢车每小时行多少千米？ 例 2：甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟 30 米、40 米、50 米，甲、乙在 A 地，而丙在 B 地同时出 发相向而行，丙遇乙后 10 分钟和甲相遇。A、B 两地间的路长多少米？ 分析与解答：从图中可以看出，丙和乙相遇后又经过 10 分钟和甲相遇，10 分钟内甲丙两人共行（30＋50） ×10=800 米。这 800 米就是乙、丙相遇比甲多行的路程。乙每分钟比甲多行 40－30=10 米，现在乙比甲多 行 800 米，也就是行了 80÷10=80 分钟。因此，AB 两地间的路程为（50＋40）×80=7200 米。 练习 2： 1，甲每分钟走 75 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 100 米，甲、乙从东镇，丙人西镇，同时相向出发， 丙遇到乙后 3 分钟再遇到甲。求两镇之间相距多少米？ 2，有三辆客车，甲、乙两车从东站，丙车从西站同时相向而行，甲车每分钟行 1000 米，乙车每分钟行 800 米，丙车每分钟行 700 米。丙车遇到甲车后 20 分钟又遇到乙车。求东西两站的距离。 3，甲、乙、丙三人，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67 米，丙每分钟走 73 米。甲、乙从南镇，丙从北镇 第 95 页 共 117 页 同时相向而行，丙遇乙后 10 分钟遇到甲。求两镇相距多少千米。 例 3：甲、乙两港间的水路长 286 千米，一只船从甲港开往乙港顺水 11 小时到达；从乙港返回甲港，逆水 13 小时到达。求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。 分析与解答：要求船速和水速，要先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度可按行程问题的一般数量关系 求，即：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆水时间=逆水速度。因此，顺水速度是 286÷11=26 千米， 逆水速度是 286÷13=22 千米。所以，船在静水中每小时行（26＋22）÷2=24 千米，水流速度是每小时（26 －22）÷2=2 千米。 练习 3： 1，A、B 两港间的水路长 208 千米。一只船从 A 港开往 B 港，顺水 8 小时到达；从 B 港返回 A 港，逆水 13 小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。 2，甲、乙两港间水路长 432 千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要 18 小时，从乙港返回甲港，需 要 24 小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。 3，甲、乙两城相距 6000 千米，一架飞机从甲城飞往乙城，顺风 4 小时到达；从乙城返回甲城，逆风 5 小 时到达。求这架飞机的速度和风速。 例 4：一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而下每小时行 25 千米，返回时逆流而上用了 75 小时。已知这 段航道的水流是每小时 5 千米，求上海港与武汉港相距多少千米？ 分析与解答：先根据顺水速度和水速，可求船速为每小时 25－5=20 千米；再根据船速和水速，可求出逆 水速度为每小时行 20－5=15 千米。又已知“逆流而上用了 75 小时”，所以，上海港与武汉港相距 15×75=1125 千米。 练习 4： 1，一只轮船从 A 港开往Ｂ港，顺流而下每小时行 20 千米，返回时逆流而上用了 60 小时。已知这段航道 的水流是每小时 4 千米，求 A 港到 B 港相距多少千米？ 2，一只轮船从甲码头开往乙码头，逆流每小时行 15 千米，返回时顺流而下用了 18 小时。已知这段航道 的水流是每小时 3 千米，求甲、乙两个码头间水路长多少千米？ 3，某轮船在相距 216 千米的两个港口间往返运送货物，已知轮船在静水中每小时行 21 千米，两个港口间 的水流速度是每小时 3 千米，那么，这只轮船往返一次需要多少时间？ 第 96 页 共 117 页 例 5：A、B 两个码头之间的水路长 80 千米，甲船顺流而下需要 4 小时，逆流而上需要 10 小时。如果乙船 顺流而行需要 5 小时，那么乙船在静水中的速度是多少？ 分析与解答：虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水路上行驶，所以水速相同。根据题意，甲船顺 水每小时行 80÷4=20 千米，逆水每小时行 80÷10=8 千米，因此，水速为每小时（20－8）÷2=6 千米。又 由“乙船顺流而行 80 千米需要 5 小时”，可求乙船在顺水中每小时行 80÷5=16 千米。所以，乙船在静水 中每小时行 16－6=10 千米。 练习 5： 1，甲乙两个码头间的水路长 288 千米，货船顺流而下需要 8 小时，逆流而上需要 16 小时。如果客船顺流 而下需要 12 小时，那么客船在静水中的速度是多少？ 2，A、B 两个码头间的水路全长 80 千米，甲船顺流而下需要 4 小时，逆流而上需要 10 小时。如果乙船逆 流而上需要 20 小时，那么乙船在静水中的速度是多少？ 3，一条长 160 千米的水路，甲船顺流而下需要 8 小时，逆流而上需要 20 小时。如果乙船顺流而下要 10 小时，那么乙船逆流而上需要多少小时？ 第 35 周 容斥原理 考点归纳 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为 了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 第 97 页 共 117 页 容斥原理：对 n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质 a 分类与性质 b 分类（如图），那么具有性质 a 或性质 b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。 Nab NbNa 典型例题 例 1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。又问：“谁做完数 学作业？请举手！”有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语 文、数学作业都完成的人数。 分析与解答：完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37＋42=79 人，多于全班人数。 这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人 数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31 人。 练习 1： 1，五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的 有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？ 2，四年级一班有 54 人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有 13 人，订《小学生优 秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？ 3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，其中两种 乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人？ 例 2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的有 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都答得不对？ 分析与解答：已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 25－15=10 人。又已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答 对的人数：10＋23=33 人。所以，两题都答得不对的有 36－33=3 人。 练习 2： 1，五（1）班有 40 个学生，其中 25 人参加数学小组，23 人参加科技小组，有 19 人两个小组都参加了。 那么，有多少人两个小组都没有参加？ 2，一个班有 55 名学生，订阅《小学生数学报》的有 32 人，订阅《中国少年报》的有 29 人，两种报纸都 订阅的有 25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？ 第 98 页 共 117 页 3，某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖了，有 27 人两项比赛都没 有获奖。已知作文比赛获奖的有 14 人，问数学比赛获奖的有多少人？ 例 3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 27 人，如果两科都没有参加的有 25 人， 那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31 人，再求两 科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24 人。 练习 3： 1，一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人。两样都会的有 多少人？ 2，一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的有 52 人，这两种棋都不会下的 有 12 人。问这两种棋都会下的有多少人？ 3，三年级一班参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14 人。这 两队都没有参加的有 10 人。请算一算，这个班共有多少人？ 例 4：在 1 到 100 的自然数中，既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多少个？ 分析与解答：从 1 到 100 的自然数中，减去 5 或 6 的倍数的个数。从 1 到 100 的自然数中，5 的倍数有 100 ÷5=20 个，6 的倍数有 16 个（100÷6=16……4），其中既是 5 的倍数又是 6 的倍数（即 5 和 6 的公倍数） 的数有 3 个（100÷30=3……10）。因此，是 6 或 5 的倍数的个数是 16＋20－3=33 个，既不是 5 的倍数又 不是 6 的倍数的数的个数是：100－33=67 个。 练习 4： 1，在 1 到 200 的全部自然数中，既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的数有多少个？ 2，在 1 到 130 的全部自然数中，既不是 6 的倍数又不是 5 的倍数的数有多少个？ 3，五（1）班做广播操，全班排成 4 行，每行的人数相等。小华排的位置是：从前面数第 5 个，从后面数 第 8 个。这个班共有多少个学生？ 第 99 页 共 117 页 例 5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有 24 幅不是五年 级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法作品共有多少 幅？ 分析与解答：由题意知，24 幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22 幅是一、二、三、四、 五年级参展作品的总数。24＋22=46 幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数， 从其中去掉五、六两个年级共参展的 10 幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除 以 2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18 幅。 练习 5： 1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有 32 件。其他年级参展的作品共有多少件？ 2，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25 幅画不是三年级的， 有 19 幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有 8 幅。其他年级参展的画共有多少幅？ 3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有 28 幅不是五年级的， 有 24 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 20 幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级 参展作品的总数少 4 幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？ 第 36 周 二进制 考点归纳 二进制就是只用 0 和 1 两数字，在计数与计算时必须“满二进一”，即每两个相同的单位组成一个和它相 邻的最高的单位。 二进制的最大特点是：每个数的各个数位上只有 0 或只有 1 两种状态。 二进制与十进制之间可以互相转化。 1，将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数；（2） 将各数位上对应的十进制数求和，所得结果就是相应的十进制数。将十进制数改写成二进制数的过程，正 好相反。 2，十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。 第 100 页 共 117 页 3，二进制数的计算法则： （1）加法法则：0＋0=0 0＋1=1 1＋0=1 1＋1=10 （2）乘法法则：0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1 典型例题 例 1：把二进制数 110（2）改写成十进制数。 分析与解答：十进制有两个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进 1。二进制有两个特点：（1） 它的数值部分，只需用两个数码 0 和 1 来表示；（2）它是“满二进一”。 把二进制数 110（2）改写成十进制数，只要把它写成 2 的幂之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可。 110（2）=1×22＋1×21＋0×20 =1×4＋1×2＋0×1 =4＋2＋0 =6 练习 1： 把下列二进制数分别改写成十进制数。 （1）100（2） （2）1001（2） （3）1110（2） 例 2：把十进制数 38 改写成二进制数。 分析与解答：把十进制数改写成二进制数，可以根据二进制数“满二进一”的原则，用 2 连续去除这个十 进制数，直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来，就是所化成的二进制数，这种方法叫 做“除以二倒取余数”。 2 38 ……0 2 19 ……1 2 9 ……1 2 4 ……0 2 2 ……0 1 ……1 即：38（10）=100110（2） 练习 2： 把下列十进制数分别改写成二进制数。 （1）12（10） （2）15（10） （3）78（10） 例 3：计算 1011（2）＋11（2） 分析与解答：任何进位制数的运算，都可以根据十进制数的运算法则来进行，做一位数的运算需要有加法 表（即加法口诀）。二进制的加法口诀只有一句：1（2）＋1（2）=10（2） 1011（2）＋11（2）=1110（2） 1011（2） ＋ 11（2） 第 101 页 共 117 页 1110（2） 你能用十进制计算来检验上面的计算吗？ 练习 3： 1，计算 101（2）＋10（2） 2，计算 1110（2）＋11（2） 3，计算 11010（2）－1111（2） 例 4：计算 1101（2）×11（2） 分析与解答：二进制的乘法口诀只有一句：1（2）×1（2）=1（2 1101（2） × 11（2） 1101（2） 1101 （2） 100111（2） 你能用十进制计算来检验上面的计算吗？ 练习 4： 1，计算 110（2）×10（2） 2，计算 1011（2）×11（2） 3，计算 101（2）×110（2） 例 5：计算 1111（2）÷101（2） 分析与解答：二进制数的除法运算与十进制的除法运算一样，是乘法的逆运算。 11（2） 101（2） 1111（2） 101 101 第 102 页 共 117 页 101 0 练习 5： 1，计算 11100（2）÷100（2） 2，计算 10010（2）÷11（2） 3，计算 10000111（2）÷11（2） 第 37 周 应用题（三） 考点归纳 这一周，我们来学习一些较复杂的典型问题，如平均数问题、和倍问题、差倍问题等。这些问题的数 量关系比较隐蔽，往往需要通过适当的转化，使数量关系明朗化，从而找到解题思路。 第 103 页 共 117 页 典型例题 例 1：甲、乙、丙三个公司到汽车制造厂订购了 18 辆汽车，按合同三个公司平均分配，付款时丙没有带钱， 甲公司付出 10 的钱，乙公司付出 8 辆的钱，丙公司应付款 90 万元。甲、乙两公司应收回多少万元？ 分析与解答：根据题意，把 18 辆汽车平均分给三个公司，每个公司应得 18÷3=6 辆。丙公司 6 辆汽车付 款 90 万元，每辆汽车应是 90÷6=15 万元。因为甲公司多付出 10－6=4 辆的钱，所以，甲公司应收回 15 ×4=60 万元；乙公司多付 8－6=2 辆的钱，应收回 15×2=30 万元。 练习 1： 1，甲、乙、丙三人一起买了 12 个面包平分着吃，甲拿出 7 个面包的钱，乙付了 5 个面包的钱，丙没有带 钱。等吃完后一算，丙应该拿出 4 元钱。甲应收回多少钱？ 2，王叔叔和李叔叔去江边钓钱，王叔叔钓了 7 条鱼，李叔叔钓了 11 条鱼。中午来了位游客，王叔叔和李 叔叔把钓得的鱼烧熟后平均分成 3 份。餐后，游客付了 6 元钱给王叔叔和李叔叔两人。问：王叔叔和李叔 叔各应得多少元？ 3，小华、小明和小强三人合用一些练习本，小华带来 8 本，小明带来 7 本，小强没有练习本，他付出了 10 元。小华应得几元钱？ 例 2：两个数的和是 94，有人计算时将其中一个加数个位上的 0 漏掉了，结果算出的和是 31。求这两个数。 分析与解答：根据题意，正确算式中的一个加数是错误算式中的一个加数的 10 倍，即比它多 9 倍。而两 个结果相差 94－31=63，因此，误加上的数是 63÷9=7，应该加的数是 7×10=70，另一个加数为 94－70=24， 所以，这两个数分别是 24 和 70。 练习 2： 1，楠楠和锋锋同算两数之和，楠楠得 982，计算正确；锋锋得 577，计算错误。锋锋算错的原因是将其中 一个加数个位的 0 漏掉了。两个加数各是多少？ 2，小龙和小虎同算两数之和。小龙得 2467，计算正确；小虎得 388，计算错误。小虎算错的原因是将其 中一个加数十位和个位上的两个 0 漏掉了。两个加数各是多少？ 3，小梅把 6×（□＋8）错看成 6×□＋8，她得到的结果与正确的答案相差多少？ 第 104 页 共 117 页 例 3：学校三个兴趣小组共有学生 180 人，数学兴趣小组的人数比科技兴趣小组和美术兴趣小组人数的总 和还多 12 人，科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多 4 人。三个兴趣小组各有多少人？ 分析与解答：根据前两个已知条件，可求数学兴趣小组有（180＋12）÷2=96 人，科技兴趣小组和美术兴 趣小组的人数的和是 180－96=84 人；又由“科技兴趣小组和美术兴趣小组的人数的和是 84 人”和“科技 兴趣小组的人数比美术兴趣小组多 4 人”，可求科技兴趣小组有（84＋4）÷2=44 人，美术兴趣小组有 84 －44=40 人。 练习 3： 1，三只船运木板 9800 块，第一只船比其余两只船共运的少 1800 块，第二只船比第三只船多运 200 块。 三只船各运木板多少块？ 2，红花、绿花和黄花共有 78 朵，红花和绿花的总朵数比黄花多 6 朵，红花比绿花少 6 朵。三种花各有多 少朵？ 3，甲、乙、丙三个数的和是 120，其中甲、乙两个数的和是丙的 3 倍，甲比乙多 10。三个数各是多少？ 例 4：有甲、乙、丙三袋化肥，甲、乙两袋共重 32 千克，乙、丙两袋共重 30 千克，甲、丙两袋共重 22 千 克。甲、乙、丙三袋各重多少千克？ 分析与解答：根据“甲、乙两袋共重 32 千克”与“乙、丙两袋共重 30 千克”，可知甲袋比丙袋重 32－30=2 千克，又已知“甲、丙两袋共重 22 千克”，于是，这道题目可以转化为和差问题来解。所以甲袋化肥重（22 ＋2）÷2=12 千克，丙袋化肥重 22－12=10 千克，乙袋化肥重 32－12=20 千克。 练习 4： 1，某工厂一车间和二车间共有 100 人，二车间和三车间共有 97 人，一车间和三车间共有 93 人。三个车 间各有多少人？ 2，某校一年级有四个班，共有 138 人，其中一（1）班和一（2）班共有 70 名学生，一（1）班和一（3） 班共有 65 名学生，一（2）班和一（3）班共有 59 名学生。一（4）有多少名学生？ 第 105 页 共 117 页 3，甲、乙、丙三个数，甲、乙两数的和比丙多 59，乙、丙两数的和比甲多 49，甲、丙两数的和比乙多 85。 甲、乙、丙三个数各是多少？ 例 5：小龙有故事书的本数是小虎的 6 倍，如果两人再各买 2 本，那么小龙有故事书的本数是小虎的 4 倍。 两人原来各有故事书多少本？ 分析与解答：如果小虎再买 2 本，小龙再买 2×6=12 本，那么现在小龙的本数仍是小虎的 6 倍，而现在小 龙的本数是小虎的 4 倍，因此，2×6－2=10 本就是小虎现有本数的 6－2=4 倍。所以，小虎现在有 10÷2=5 本，小虎原来有 5－3=2 本，小龙原来有 3×6=18 本。 练习 5： 1，城南小学有红皮球的只数是黄皮球的 5 倍，如果这两种皮球再各买 4 只，那么红皮球的只数是黄皮球 的 4 倍。原来红皮球和黄皮球各有多少只？ 2，学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔的 3 倍，后来，白粉笔和彩色粉笔各用去 12 盒，现在白粉笔的盒数是彩色粉笔的 7 倍。学校原来有彩色粉笔和白粉笔各多少盒？ 3，某小队队员提一篮苹果和梨子到敬老院去慰问，每次从篮里取出 2 个梨子、5 个苹果送给老人，最后剩 下 11 个苹果，梨子正好分完，这时他们才想起来原来苹果是梨子的 3 倍。敬老院有多少个老人？ 第 38 周 应用题（四） 考点归纳 大家都希望自己成为一个“小高斯”。这一周，我们来学习一些需要较高解题技巧的应用题，它们的 解题思路往往比较独特，并且容易做错。如：书本的页码问题，较复杂的植树问题，以及其他智巧问题。 第 106 页 共 117 页 这些智巧问题正是训练你成为“小高斯”的好题目。 典型例题 例 1：第七册数学课本共 153 页，编印这本书的页码共要用多少个数字？ 分析与解答：从 1 到 153 按数的位数分，可以分为：一位数、两位数、三位数，它们分别由 1 个、2 个、3 个数字组成。从第 1 页到第 9 页，要用 9 个数字；从第 10 页到第 99 页，要用 2×90=180 个数字；从第 100 页到 153 页，要用 3×54=162 个数字，所以，一共要用 9＋180＋162=351 个数字。 练习 1： 1，一本故事书共 131 页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字？ 2，一本辞典共 1008 页，编印这本辞典的页码共要用多少个数字？ 3，一本小说共 320 页，数字 0 在页码中共出现了多少次？ 例 2：排一本辞典的页码共用了 2886 个数字，这本辞典共有多少页？ 分析与解答：排这本辞典的第 1 页到第 9 页的页码，要用 9 个数字；排第 10 页到 99 页的页码，要用 2× 90=180 个数字；这样，剩下的页码要用 2886－9－180=2697 个数字。2697÷3=899 页，即页码是三位数的 排了 899 页。这样，这本辞典共有 9＋90＋899=998 页。 练习 2： 1，排一本科幻小说的页码共用了 270 个数字，这本科幻小说共有多少页？ 2，排一本学生词典的页码，共用了 3829 个数字。这本词典共有多少页？ 3，一本故事书的页码，用了 39 个 0，这本书共有多少页？ 例 3：两棵杨树相距 75 米，在中间又等距离地栽了 14 棵白玉兰树。第 9 棵与第 1 棵之间相距多少米？ 分析与解答：根据题意，两棵杨树之间又增加了 14 棵白玉兰树，可知 75 米内共栽树 14＋2=16 棵，共有 16－1=15 段，每段长 75÷15=5 米。而第 1 棵到第 9 棵之间有 9－1=8 段，所以，第 9 棵到第 1 棵之间相距 5×8=40 棵。 练习 3： 1，两棵树相隔 45 米，在中间以相等距离增加 8 棵树后，第 8 棵与第 1 棵相隔多少米？ 第 107 页 共 117 页 2，两棵树相隔 92 米，在中间以相等距离增加 22 棵后，第 10 棵与第 1 棵间相隔多少米？ 3，两盆花相隔 12 米，在中间以相等距离增加 11 盆花后，第 9 盆与第 3 盆花之间相隔多少米？ 例 4：一个圆形花坛，绕着它走一圈是 90 米，如果沿着它的周围每隔 6 米栽一株丁香花，再在每相邻两株 丁香花之间等距离地栽两株月季花。问丁香花和月季花各栽了多少株？ 分析与解答：在圆形花坛的周围栽花，栽丁香花的株数正好等于分成的段数，所以，丁香花栽了 90÷6=15 株。由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽两株月季花，所以月季花栽了 2×15=30 株。 练习 4： 1，一个圆形花坛的周长是 60 米，沿着它的周围每隔 3 米插一面红旗，每两面红旗中间插一面绿旗。红旗 和绿旗各插了多少面？ 2，有一个圆形花圃，周长是 120 米，每隔 6 米栽一棵黄杨树，每两棵黄杨树之间等距离地栽 3 棵月季花。 花圃周围栽了多少棵黄杨树？栽了多少棵月季花？ 3，有一条公路长 450 米，在两旁栽树，两端各栽一棵，每隔 18 米栽一棵柳树，每两棵柳树之间以相等的 距离栽了 3 棵槐树。柳树、槐树各栽了多少棵？ 例 5：有 80 个零件，分装成 8 袋，每袋装 10 个。在其中的 7 袋里面装的零件每个都是 50 克，有一袋里面 的每个零件都是 49 克。这 8 袋混在一起，你能用秤称一次，就把装 49 克重的零件的那一袋找出来吗？ 分析与解答：将 8 袋零件依次编上序号：1、2、3、4、5、6、7、8。从第 1 袋中取出 1 个零件，从第 2 袋 中取出 2 个零件，…，从第 8 袋中取出 8 个零件，共取出 1＋2＋3＋…＋8=36 个零件，总重量应少于 50 ×36=1800 克。将这些零件放在秤上称一下，总重量比 1800 克少几克，第几号袋中装的零件就是 49 克的。 练习 5： 1，60 只橘子分装 6 袋，每袋装 10 只，其中 5 袋里装的橘子的重量都是 50 克，另一袋装的每只的重量都 是 40 克。这 6 袋橘子混在一起，你能用秤称一次，就把装 40 克重的那一袋找出来吗？ 第 108 页 共 117 页 2，袋装的洗衣粉共有 10 堆（每堆不少于 10 袋），已知 9 堆是合格产品，每袋 1 千克，1 堆是不合格产品， 每袋 0.9 千克，从外形看不出。能否只称一次找出不合格产品？ 3，有 9 只外形完全相同的乒乓球，其中 8 只是正品，另一只是次品，且正品与次品重量不相同。如果用 天平（无砝码）称，至少几次可把次品找出来？ 第 39 周 盈亏问题 考点归纳 在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一 些，物品就有余。盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。 第 109 页 共 117 页 解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。 盈亏问题的数量关系是： （1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数 （大盈－小盈）÷两次分配差=份数 （大亏－小亏）÷两次分配差=份数 （2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量 每次分得的数量×份数－亏=总数量 典型例题 例 1：一个植树小组植树。如果每人栽 5 棵，还剩 14 棵；如果每人栽 7 棵，就缺 4 棵。这个植树小组有多 少人？一共有多少棵树？ 分析与解答：由题意可知，植树的人数和树的棵数是不变的。比较两种分配方案，结果相差 14＋4=18 棵， 即第一种方案的结果比第二种多 18 棵。这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差 7－5=2 棵。所以植树 小组有 18÷2=9 人，一共有 5×9＋14=59 棵树。 练习 1： 1，幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分 2 个，则剩下 20 个；如果每人分 3 个，则差 40 个。幼儿 园有多少个小朋友？一共有多少个积木？ 2，某校安排宿舍，如果每间 6 人，则 16 人没有床位；如果每间 8 人，则多出 10 个床位。问宿舍多少间？ 学生多少人？ 3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减少一条船，正 好每条船坐 9 人。问：这个班共有多少学生？ 例 2：学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖 9 支，则缺 45 支；如果每人奖 7 支，则缺 7 支。三好学 生有多少人？铅笔有多少支？ 分析与解答：这是两亏的问题。由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的。比较两种分配方案，结 果相差 45－7=38 支。这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差 9－7=2 支。所以，三好学生有 38÷2=19 人，铅笔有 9×19－45=126 支。 练习 2： 1，将月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插 8 朵，则缺少 15 朵；如果每瓶改为插 6 朵，则缺少 1 朵。求花 瓶的只数和月季花的朵数。 第 110 页 共 117 页 2，王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发 5 张，则少 32 张；如果每人发 3 张，则少 2 张。 美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？ 3，老师将一些练习本发给班上的学生。如果每人发 10 本，则有两个学生没分到；如果每人发 8 本，则正 好发完。有多少个学生？多少本练习本？ 例 3：有一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种 16 棵，还有 24 棵没种；如果每人种 19 棵，还有 6 棵没有种。问有多少名少先队员？有多少棵树？ 分析与解答：这是两盈的问题。由题意可知：少先队员的人数和树的棵数是不变的。比较两种分配方案， 结果相差 24－6=18 棵，这是因为两种分配方案每人种的树相差 19－16=3 棵。所以，少先队员有 18÷3=6 名，树有 16×6＋24=120 棵。 练习 3： 1，小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背 45 发还多 260 发；另一人说每人背 50 发还多 200 发。 有多少敌人？多少发子弹？ 2，杨老师将一叠练习本分给第一小组的同学。如果每人分 7 本，还多 7 本；如果每人分 8 本则正好分完。 请算一算，第一小组有几个学生？这叠练习本一共有多少本？ 3，崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分 5 支则多 12 支；如果每人分 8 支还多 3 支。 请问每人分多少支刚好把彩色笔分完？ 例 4：学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住 12 人，则 34 人没有位置；如果每个房间住 14 人，则空出 4 个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？ 分析与解答：把“每间住 14 人，则空出 4 个房间”转化为“每间住 14 人，则少 14×4=56 人”。比较两种 分配方案，结果相差 34＋56=90 人，而每个房间相差 14－12=2 人。所房间数为 90÷2=45 间，学生人数为 12×45＋34=574 人。 练习 1： 1，某校有若干个学生寄宿宿舍，若每一间宿舍住 6 人，则多出 34 人；若每间宿舍住 7 人，则多出 4 间宿 舍。问宿舍有多少间？寄宿学生有多少人？ 第 111 页 共 117 页 2，育才小学学生乘汽车去春游。如果每车坐 65 人，则有 15 人不能乘车；如果每车多坐 5 人，恰好多余 了一辆车。问一共有几辆汽车？有多少学生？ 3，学校分配学生宿舍。如果每个房间住 6 人，则少 2 间宿舍；如果每个房间住 9 人，则空出 2 个房间。 问学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？ 例 5：少先队员去植树，如果每人挖 5 个树坑，还有 3 个坑没人挖；如果其中 2 人各挖 4 个，其余的人各 挖 6 个树坑，就恰好挖完所有树坑。少先队员一共挖多少树坑？ 分析与解答：如果每人都挖 6 个树坑，那么少（6－4）×2=4 个树坑，两次相差 4＋3=7 个树坑。这是因为 两种分配方案每人挖的相差 6－5=1 个树坑。所以，少先队员一共有 7÷1=7 人，一共挖 5×7＋3=38 个树 坑。 练习 5： 1，老师给幼儿园的小朋友分苹果。如果每个小朋友分 2 个，还多 30 个；如果其中的 12 个小朋友每人分 3 个，剩下的每人分 4 个，则正好分完。一共有多少个苹果？ 2，在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中 2 人各擦 4 块，其余每人擦 5 块，则余 22 块；如 果每人擦 7 块，则正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。 3，小红家买来一篮橘子分给全家人。如果其中二人每人分 4 只，其余每人分 2 只，则多出 4 只；如果其 中一人分 6 只，其余每人分 4 只，则又缺 12 只。小红家买来多少只橘子？小红家一共有多少人？ 第 40 周 数学开放题 考点归纳 数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。由于客观世界复杂多变，数学问题也必然复杂多变， 往往不可能得到唯一答案。 第 112 页 共 117 页 一般而言，数学开放题具有以下三个特征： 1，条件不足或多余； 2，没有确定的结论或结论不唯一； 3，解题的策略、思路多种多样。 解答数学开放题，需要我们从不同角度分析和思考问题，紧密联系实际，具体问题具体分析。我们一般可 以从以下几方面考虑： 1，以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进问题的顺利解决； 2，根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合，采用不同的方法求解； 3，避免“答案唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出现的多种情况，得出不同的答案。 典型例题 例 1：A、B 都是自然数，且 A＋B=10，那么 A×B 的积可能是多少？其中最大的值是多少？ 分析与解答：由条件“A、B 都是自然数，且 A＋B=10”，可知 A 的取值范围是 0 ~ 10，B 的取值范围的 10 ~ 0。不妨将符合题意的情形一一列举出来： 0×10=0 1×9=9 2×8=16 3×7=21 4×6=24 5×5=25 A×B 的积可能是 0、9、16、21、24、25。当 A=B=5 时，A×B 的积的最大值是 25。 从以上过程发现，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积越大。 练习 1： 1．甲、乙两数都是自然数，且甲＋乙=32，那么，甲×乙的积的最大值是多少？ 2．A、B 两个自然数的积是 24，当 A 和 B 各等于多少时，它们的和最小？ 3．A、B、C 三个数都是自然数，且 A＋B＋C=18，那么 A×B×C 的积的最大值是多少？ 例 2：把 1 ~ 5 五个数分别填 图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是 9。 分析与解答：每条直线上三个圆圈内各数的和是 9，两条直线上数的和等于 9×2=18（其中中间圈内的数 重复加了一次）。而 1、2、3、4、5 的和为 15，18－15=3。所以，中间圈内应填 3。这样，两条直线上的 圆圈中可以分别填 1、3、5 与 2、3、4。 这个解我们也叫做基本解，由这个基本解很容易得出其余的七个解。 练习 2： 1，把 1 ~ 5 五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是 10。 第 113 页 共 117 页 2，把 3 ~ 7 五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和相等而且最大。 3，把 1 ~ 7 七个数分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。 例 3：把 1 ~ 6 六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于 9。 分析与解答：每边上三个数的和都等于 9，三条边上数的和等于 9×3=27，27－（1＋2＋3＋4＋5＋6）=6。 所以，三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为 6。在 1 ~ 6，只有 1＋2＋3=6，故三个顶点只能填 1、 2、3。这样就得到一组解：1、5、3；1、6、2；3、4、2。 练习 3： 1，把 1 ~ 6 六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于 12。 2，把 1 ~ 8 八个数分别填入图中的八个圆圈中，使每个圆圈上五个数的和都等于 21。 第 114 页 共 117 页 3，把 1 ~ 9 这九个数分别填入图中的九个圆圈中，使每条边上四个数的和相等而且最小。 例 4：在一次羽毛球比赛中，8 名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军。共打了多少场比赛？（两名运动员 之间比赛一次称为一场） 分析与解答：8 名运动员进行淘汰赛，第一轮赛 4 场后，剩下 4 名运动员；第二轮赛 2 场后，剩下 2 名运 动员；第三轮只需再赛 1 场，就能决出冠军。所以，共打了 4＋2＋1=7 场球。 还可以这样想：8 名运动员进行淘汰赛，每淘汰 1 名运动员，需要进行 1 场比赛，整个比赛共需要淘汰 8 －1=7 名运动员，所以共打了 7 场比赛。 练习 4： 1，在一次乒乓球比赛中，32 名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共打了多少场球？ 2，在一次足球比赛中，采取淘汰制，共打了 11 场球，最后决出冠军。共有多少支足球队参加了这次比赛？ 3，有 13 个队参加篮球赛，比赛分两个组。第一组 7 个队，第二组 6 个队。各组先进行单循环赛（即每队 都要与其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共 4 个队再分成两组进行淘汰赛，最后决出冠、亚军。 共需比赛多少场？ 例 5：一个学生从家到学校，如果以每分钟 50 米的速度行走，就要迟到 8 分钟；如果以每分钟 60 米的速 度前进，就可以提前 5 分钟到校。这个学生出发时离上学时间有多少分？ 分析与解答：解答这道题，可以以不同的时间为标准，选择的标准不同，解答方法也有所不同。例如，如 第 115 页 共 117 页 果直接以这个学生出发时离上学的时间为标准。可这样分析：由“每分钟行 50 米，要迟到 8 分钟”，可知 学校上课时，这个学生还离学校 50×8=400 米；由“每分钟行 60 米，可以提前 5 分钟到校”，可知距学校 上课时，他还可走 60×5=300 米。两种不同的速度，在相同的时间内路程相差 400＋300=700 米，而两种 速度每分钟相差 60－50=10 米。因此，这个学生出发时离上课时间为：700÷10=70 分钟。 解法一：（50×8＋60×5）÷（60－50）=70 分； 解法二：60×（5＋8）÷（60－50）－8=70 分； 解法三：50×（8＋5）÷（60－50）＋5=70 分。 练习 5： 1，李老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟 80 米，他将迟到 5 分钟；如果骑自 行车，每分钟行 200 米，他可以提前 7 分钟到校。李老师出发时离上班时间有多少分？ 2，一位小学生从家到学校，如果以每分 50 米的速度行走，就迟到 3 分钟；如果以每分 70 米的速度行走， 就可以提前 5 分到校。求他家到学校的距离。 3，一个学生从家到学校上课，先用每分钟 80 米的速度走了 3 分钟，发现这样走下去将迟到 3 分钟；于是 他就改用每分钟 110 米的速度前进，结果比上课提前了 3 分钟。这个学生家离学校有多远？