2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高一下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高一下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高一下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若，下列不等式一定成立的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】‎ 若，，则，错误；‎ ‎，则，错误；‎ ‎，，则，错误；‎ ‎，则等价于，成立，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎2．已知为三条不同直线，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）‎ A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 ‎【答案】C ‎【解析】根据线线位置关系，线面位置关系，以及面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ A选项，当时，由，可得，此时由，可得或或与相交；所以A错误；‎ B选项，若，，则，或相交，或异面；所以B错误；‎ C选项，若，，，根据线面平行的性质，可得，所以C正确；‎ D选项，若，，则或，又，则，或相交，或异面；所以D错误；‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面，面面有关命题的判定，熟记空间中点线面位置关系即可，属于常考题型.‎ ‎3．函数的最大值为（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】对利用两角和正弦公式展开，合并同类项化成单个余弦函数形式.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 考查三角恒等变换、辅助角公式及余弦函数的最值.‎ ‎4．在等差数列中，若.，则（ ）‎ A．100 B．90 C．95 D．20‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到.‎ ‎【详解】‎ 数列为等差数列，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．12 B．18‎ C．24 D．30‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C．‎ ‎【考点】几何体的三视图及体积的计算．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．‎ ‎6．当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）‎ A．3 B．0 C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】求得直线所过的定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，根据斜率乘积等于列方程，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 直线可化为，故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，故，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题，考查点到直线距离的最值问题，属于基础题.‎ ‎7．已知的等比中项为2，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等比中项得：，目标式子变形为，再利用基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 等号成立当且仅当，原式的最小值为5.‎ ‎【点睛】‎ 利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件.‎ ‎8．已知过原点的直线与圆C：相交于不同的两点，且线段的中点坐标为，则弦长为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据两直线垂直，斜率相乘等于-1，求得直线的斜率为，进而求出圆心到直线的距离，再代入弦长公式求得弦长值.‎ ‎【详解】‎ 圆的标准方程为：，设圆心，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 直线的方程为：，‎ 到直线的距离，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 求直线与圆相交的弦长问题，核心是利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离.‎ ‎9．在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是 （ ）‎ A．异面直线和所成的角为定值 B．直线和平面平行 C．三棱锥的体积为定值 D．直线和平面所成的角为定值 ‎【答案】D ‎【解析】结合条件和各知识点对四个选项逐个进行分析，即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，在棱长为的正方体中，点在线段上运动 易得平面，‎ 平面，‎ ‎，故这两个异面直线所成的角为定值，故正确 ‎，直线和平面平行，所以直线和平面平行，故正确 ‎，三棱锥的体积还等于三棱锥的体积，‎ 而平面为固定平面且大小一定，‎ ‎，而平面 点到平面的距离即为点到该平面的距离，‎ 三棱锥的体积为定值，故正确 ‎，由线面夹角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时这个角是变化的，故错误 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了异面直线所成角的概念、线面平行及线面角等，三棱锥的体积的计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等这一结论，即等体积法的转换。‎ ‎10．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由诱导公式将函数化简成，再根据“左加右减”的平移原则，得到函数，因为平移后的函数为偶函数，则为它的一条对称轴.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，向右平移个单位得：‎ ‎，‎ 平移后的函数恰为偶函数，为其对称轴，‎ 时，， ，即，‎ 时，.‎ ‎【点睛】‎ 通过恒等变换把函数变成的形式，再研究三角函数的性质是三角函数题常见解题思路；三角函数若为偶函数，则该条件可转化为直线为其中一条对称轴，从而在时，函数取得最值.‎ ‎11．在中，，则一定是（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】利用余弦定理、三角形面积公式、正弦定理，求得和，通过等式消去，求得的两个值，再判断三角形的形状.‎ ‎【详解】‎ ‎，又，，‎ ‎，又，‎ ‎，又，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ 解得：或，‎ 一定是直角三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题在求解过程中对存在两组解，要注意解答的完整性与严谨性，综合两种情况，再对的形状作出判断.‎ ‎12．已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A．8 B．2 C．4 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】设点，根据条件知点均在单位圆上，‎ 由向量数量积或斜率知识，可发现，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线的距离之和有关.‎ ‎【详解】‎ 设，，‎ 均在圆上，且，设的中点为，则点到原点的距离为，‎ 点在圆上，设到直线的距离分别为，‎ ‎，‎ ‎，. ‎ ‎【点睛】‎ 利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，且，则的值为______‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】，利用列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，且，‎ ‎，解得：.‎ ‎【点睛】‎ 考查向量加法、数量积的坐标运算.‎ ‎14．在平面直角坐标系 中，角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】根据三角函数的定义求得，再代入的展开式进行求值.‎ ‎【详解】‎ 角终边过点，终边在第三象限，‎ 根据三角函数的定义知：，‎ ‎【点睛】‎ 考查三角函数的定义及三角恒等变换，在变换过程中要注意符号的正负.‎ ‎15．已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_____‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1求得等式，把目标式子化成，运用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 设直线的斜率为，，‎ 直线的斜率为，，‎ 两条直线垂直，，整理得：，‎ ‎，‎ 等号成立当且仅当，的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.‎ ‎16．已知四面体的四个顶点均在球 的表面上，为球的直径，，四面体的体积最大值为____‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】为球的直径，可知与均为直角三角形，求出点到直线的距离为，可知点在球上的运动轨迹为小圆.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，四面体内接于球，‎ 为球的直径，，‎ ‎，，过作于，‎ ‎，‎ 点在以为圆心，为半径的小圆上运动，‎ 当面面时，四面体的体积达到最大，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.‎ ‎（1）求顶点的坐标；‎ ‎（2）求边所在的直线方程。‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）联立直线的方程，求出点坐标；（2）求出点，利用坐标求直线的斜率，再用点斜式求直线方程.‎ ‎【详解】‎ 由及边上的高所在直线为，‎ 得所在直线方程为 又所在直线方程为 由，得.‎ ‎（2）设，又，为中点，则，‎ 由已知得，得，‎ 又得直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 考查直线的垂直关系、直线的交点坐标、直线方程的求法等，考查运算求解能力.‎ ‎18．已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎【答案】(1) 最小正周期是 (2) ‎ ‎【解析】（1）运用辅助角公式化简得；‎ ‎（2）先计算的值为，构造，求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 所以函数的最小正周期是.‎ ‎（2）因为 ，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，则 ‎【点睛】‎ 利用角的配凑法，即进行角的整体代入求值，考查整体思想的运用.‎ ‎19．在中，角所对的边分别为，满足 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求b的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）代入条件化简得，再由同角三角函数基本关系求出；‎ ‎（2）利用余弦定理、，把表示成关于的二次函数.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，，‎ 又，‎ 解得：.‎ ‎（2），可得，‎ 由余弦定理可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以b的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 对于运动变化问题，常用函数与方程的思想进行研究，所以自然而然想到构造以是关于或的函数.‎ ‎20．数列的前n项和满足.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）若数列为等差数列，且，求数列的前n项.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】（1）利用与的关系，即要注意对进行讨论，再根据等比数列的定义，证明为常数；‎ ‎（2）利用错位相减法对数列进行求和.‎ ‎【详解】‎ 解（1）当时，，所以 因为①，所以当时，②，‎ ‎①-②得，所以，‎ 所以，‎ 所以是首项为2，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）由（1）知，，所以，‎ 因为，所以，‎ 设的公差为，则，所以 所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ 则，‎ 以上两式相减得：‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和可采用错位相减法求和，注意求和后要保证常数的准确性.‎ ‎21．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，；‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）设为棱的中点，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由题意结合正弦定理可得， 据此可证得平面，从而可得题中的结论；‎ ‎（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由空间向量的结论求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得， ‎ ‎，， ‎ ‎，‎ 平面，平面，平面平面. ‎ ‎（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎ 设平面的一个法向量为 则解得，，‎ 即 ‎ 设平面的一个法向量为 则 解得，，即 ‎ ‎ 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查面面垂直的证明方法，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22．已知数列满足=‎ ‎(1)若求数列的通项公式;‎ ‎(2)若==对一切恒成立求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1）=；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，结合可得数列为等差数列，进而可得所求；（2）由得，利用累加法并结合等比数列的前项和公式求出，化简得，再利用数列的单调性求出的最大值即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，可得=．‎ ‎∴数列是首项为1，公差为4的等差数列，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由及，‎ 得=，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又满足上式，‎ ‎∴．‎ ‎∵对一切恒成立，即对一切恒成立，‎ ‎∴对一切恒成立．‎ 又数列为单调递减数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，考查了累加法与恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力，解决数列中的恒成立问题时，也常利用分离参数的方法，转化为求最值的问题求解．‎