【推荐】专题06 探索离心率问题-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（选修2-1）x

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一、选择题 ‎1．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】因为一条渐近线方程为，又离心率为，所以，所以渐近线方程为，由知圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故选C.‎ ‎2．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】过双曲线右焦点作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3．【天津市耀华中学2018届高三第一次月考】已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离线率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得 ,选D.‎ ‎4．【山西省山大附中等晋豫名校2018届高三第四次调研诊断考试】已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上， ， ，则椭圆的离心率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎5．设、分别为双曲线（， ）的左、右焦点， 为双曲线右支上任一点．若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由定义知： ‎ 当且仅当，设时取得等号，‎ ‎ 即 ‎ 又双曲线的离心率,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线的定义给出的数量关系，再依据条件结合基本不等式求得最小值时的取值，确定限制条件求得离心率，注意双曲线的离心率大于1.‎ ‎6．【北京市西城育才中学2016-2017学年高二上期中】椭圆的一个焦点与抛物线焦点重合，则椭圆的离心率是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. ‎ ‎7．【河南省商丘市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】为等边三角形，不妨设 为双曲线上一点， ‎ 为双曲线上一点, ‎ 由 在中运用余弦定理得：‎ ‎,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。‎ ‎8．【南宁市2018届高三毕业班摸底联考】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎9．【山西省大同市第一中学2017届高三上学期11月月考】已知双曲线C： -=1（a＞0，b＞0）的右焦点F和A（0，b）的连线与C的一条渐近线相交于点P，且，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. 3 B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，右焦点为。设点P的坐标为，则 ‎∵，‎ ‎∴,‎ 解得，故点P的坐标为，‎ 又点P在渐近线上，‎ ‎∴，即。‎ ‎∴。选D。‎ ‎10．【云南省红河州2017届高三毕业生复习统一检测】已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且|AB|=4，则此双曲线的离心率为（　 　）‎ A. 5 B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：圆的方程已经确定，那就可以根据点到直线的距离计算出的数量关系。在处理解析几何的题目时往往要转化为点点距离或者点线距离，有弦长时还可以考虑弦长公式。‎ ‎11．【江西省南昌市2018届高三上学期摸底】已知双曲线 的左右焦点分别为， 为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线 的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，渐近线方程为，对称点为，即有，且，解得，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即有e2=5，解得，故选C．‎ 点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出的坐标，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.‎ ‎12．【云南省红河州2017届高三毕业生复习统一检测】已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若坐标原点恰为的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 即，则，即，‎ ‎∵ ∴，则 则离心率，故选：C．‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎13．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】已知F1,F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 将 和代入椭圆方程得 ‎ 即 解得 ‎ 故选 C ‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，特别是椭圆离心率的求法，利用已知几何条件建立关于 的等式，是解决本题的关键 ‎14．【江西省抚州市南城县第二中学2016-2017学年高二下学期第一次月考】设 分别是双曲线 的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使 ，且 ，则双曲线离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线定义可知，所以，由的余弦定理，可得即，选B.‎ 二、填空题 ‎15．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知双曲线，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．‎ ‎【答案】2或 点睛：求双曲线离心率的常用方法 ‎（1）根据题意直接求出，由求解；‎ ‎（2）根据条件求得间的关系，由求解；‎ ‎（3）根据条件得到间的二次关系式，然后利用化为关于的二次方程求解。‎ ‎16．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中】已知， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则_______．‎ ‎【答案】4‎ 点睛：求双曲线离心率的常用方法 ‎（1）根据题意直接求出，由求解；‎ ‎（2）根据条件求得间的关系，由求解；‎ ‎（3）根据条件得到间的二次关系式，然后利用化为关于的二次方程求解。‎ ‎17．【北京市海淀区育英学校2017学年高二上学期期中】已知，是椭圆在左，右焦点，是椭圆上一点，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率等于__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由是等腰直角三角形，若为直角顶点，即有，‎ 即为，即有．则．‎ 角或角为直角，不妨令角为直角，此时，代入椭圆方程，得．又等腰直角，得，故得，即，即．得，又，得．‎ 故椭圆离心率为或．‎ 点睛：这个题目考考查了分类讨论的思想，已知是等腰直角三角形，可得到要讨论哪个角是直角，若为直角顶点，可得，进而求得离心率。令角为直角，此时，代入椭圆方程得到基本量的关系。‎ ‎18．【2016-2017北京西城14中高二上期中】已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎19．【北京朝阳工大附2016-2017学年高二上学期期中】在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心， 为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ ‎20．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题知．‎ ‎21．【北京市西城育才中学2016-2017学年高二上期中】设椭圆的两个焦点分别为， ，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆离心率等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设到位于轴上方，坐标为，‎ ‎∵为等腰直角三角形，‎ ‎∴，即，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴．‎ ‎22．【北京市西城育才中学2016-2017学年高二上期中】双曲线的焦点坐标为__________‎ ‎；离心率为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵，焦点坐标为；‎ ‎∴．‎ ‎23．【北京通州潞河中学2016-2017高二上学期期中】椭圆的离心率是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎24．【2018届云南省名校月考】已知是双曲线的一个焦点， 为坐标原点， 是上一点，若是等边三角形，则的离心率等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设， 是等边三角形，所以，代入化简得： ，所以的离心率，故答案为.‎ ‎25．【江西省南城县第二中学2016-2017学年高二上学期第二次月考】已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 在 中， 即有 故点的坐标为代入双曲线方程得 即为 ，即 则 ‎ 故答案为 ‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质：离心率，在解题时根据题意求得注意运用点满足双曲线的方程是解题的关键，‎