2019高三数学(人教A版理)一轮课时分层训练28 平面向量的数量积与平面向量应用举例

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2019高三数学(人教A版理)一轮课时分层训练28 平面向量的数量积与平面向量应用举例

课时分层训练(二十八) 平面向量的数量积与平面向量应用举例 ‎(对应学生用书第300页)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.在边长为1的等边△ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=(  )‎ A.-       B.0‎ C. D.3‎ A [依题意有a·b+b·c+c·a=++=-.]‎ ‎2.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为 (  )‎ A.- B.-3 C. D.3 C [因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为 ‎||cos〈,〉===.]‎ ‎3.(2018·海口调研)若向量a=(2,-1),b=(3-x,2),c=(4,x)满足(6a-b)·c=8,则x等于(  )‎ A.4   B.5 C.6    D.7‎ D [因为6a-b=(9+x,-8),所以(6a-b)·c=36+4x-8x=8,‎ 解得x=7,故选D.]‎ ‎4.已知O为坐标原点,向量=(3sin α,cos α),=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈,且⊥,则tan α的值为(  ) 【导学号:97190158】‎ A.- B.- C. D. A [由题意知6sin2α+cos α·(5sin α-4cos α)=0,即6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,上述等式两边同时除以cos2α,得6tan2α+5tan α-4=0,由于α∈,‎ 则tan α<0,解得tan α=-,故选A.]‎ ‎5.(2016·山东高考)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(  )‎ A.4 B.-4‎ C. D.- B [∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,‎ 即tm·n+|n|2=0,‎ ‎∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2=0.‎ 又4|m|=3|n|,∴t×|n|2×+|n|2=0,‎ 解得t=-4.故选B.]‎ 二、填空题 ‎6.(2016·全国卷Ⅰ)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.‎ ‎-2 [∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2,‎ ‎∴a·b=0.‎ 又a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.]‎ ‎7.(2018·合肥一检)若非零向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥(3a-b),则a与b夹角的余弦值为________.‎  [由(a+b)⊥(3a-b)可得(a+b)·(3a-b)=0,又|a|=1,|b|=2,则可得a·b=,设a,b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ==.]‎ ‎8.已知向量a=,=a-b,=a+b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积为________. 【导学号:97190159】‎ ‎1 [由题意得,|a|=1,又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,所以⊥,||=||.由⊥得(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,‎ 由||=||得|a-b|=|a+b|,所以a·b=0.‎ 所以|a+b|2=|a|2+|b|2=2,‎ 所以||=||=,故S△OAB=××=1.]‎ 三、解答题 ‎9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|;‎ ‎(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b).‎ ‎[解] 由已知得,a·b=4×8×=-16.‎ ‎(1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=4.‎ ‎②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,‎ ‎∴|4a-2b|=16.‎ ‎(2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)·(ka-b)=0,‎ ‎∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,‎ 即16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.‎ 即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.‎ ‎10.如图431,已知O为坐标原点,向量=(3cos x,3sin x),=(3cos x,sin x),=(,0),x∈.‎ 图431‎ ‎(1)求证:(-)⊥;‎ ‎(2)若△ABC是等腰三角形,求x的值.‎ ‎[解] (1)证明:-=(0,2sin x),‎ ‎∴(-)·=0×+2sin x×0=0,‎ ‎∴(-)⊥.‎ ‎(2)若△ABC是等腰三角形,则AB=BC,‎ ‎∴(2sin x)2=(3cos x-)2+sin2x,‎ 整理得2cos2x-cos x=0,‎ 解得cos x=0,或cos x=.‎ ‎∵x∈,∴cos x=,x=.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎11.(2018·广州综合测试(二))已知两点A(-1,1),B(3,5),点C在曲线y=2x2上运动,则·的最小值为(  )‎ A.2 B. C.-2 D.- D [设C(x0,2x),因为=(4,4),=(x0+1,2x-1),所以·=8x+4x0=8 ‎-≥-,‎ 即·的最小值为-,故选D.]‎ ‎12.(2017·课标全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(  )‎ A.-2 B.- C.- D.-1‎ B [法一:(解析法)‎ 图①‎ 建立坐标系如图①所示,则A,B,C三点的坐标分别为A(0,),B(-1,0),C(1,0).‎ 设P点的坐标为(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),‎ ‎∴·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2(x2+y2-y)=2≥2×=-.‎ 当且仅当x=0,y=时,·(+)取得最小值,最小值为-.‎ 故选B.‎ 法二:(几何法)‎ 图②‎ 如图②所示,+=2(D为BC的中点),则·(+)=2·.‎ 要使·最小,则与方向相反,即点P在线段AD上,则(2·)min=-2||||,问题转化为求||||的最大值.‎ 又||+||=||=2×=,‎ ‎∴||||≤==,‎ ‎∴[·(+)]min=(2·)min=-2×=-.‎ 故选B.]‎ ‎13.(2017·山东高考)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________.‎  [由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,‎ ‎|e1-e2|= ‎===2.‎ 同理|e1+λe2|=.‎ 所以cos 60°= ‎===,‎ 解得λ=.]‎ ‎14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-c)·=c·. 【导学号:97190160】‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若|-|=,求△ABC面积的最大值.‎ ‎[解] (1)由题意得(a-c)cos B=bcos C.‎ 根据正弦定理得(sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,‎ 所以sin Acos B=sin(C+B),‎ 即sin Acos B=sin A,因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.‎ ‎(2)因为|-|=,所以||=,‎ 即b=,根据余弦定理及基本不等式得6=a2+c2-ac≥2ac-ac=(2-)ac(当且仅当a=c时取等号),‎ 即ac≤3(2+),‎ 故△ABC的面积 S=acsin B≤,‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎
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