安徽省浮山中学等重点名校2020届高三第一次月考试题 数学（理）

安徽省浮山中学等重点名校2020届高三第一次月考试题 数学（理）

‎(在此卷上答题无效)‎ 数学(理科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 考生注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。‎ ‎2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可用铅笔在答题卡规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。‎ ‎4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数，则下列说法正确的是 A.复数z的实部为3 B.复数z的虚部为 C.复数z的共轭复数为 D.复数z的模为1‎ ‎3.椭圆的一个焦点坐标为 A.(5，0) B.(0，5) C.(，0) D.(0，)‎ ‎4.已知m＝1og40.4，n＝40.4，p＝0.40.5，则 A.m0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得△AMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率 A.存在最大值 B.存在最大值 C.存在最小值 D.存在最小值 第Ⅱ卷 注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上。‎ ‎13.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，m)，且a与a＋b垂直，则m＝ ‎ ‎14.已知所有项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S4＝a4＋21，则公比q＝ ‎ ‎15.二项式的展开式中，x4的系数为 ‎ ‎16.已知角，且满足，则＝ (用a表示)。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2C－cos2B=sin2A－sinAsinC。‎ ‎(Ⅰ)求角B的值；‎ ‎(Ⅱ)若△ABC的面积为，，求a＋c的值。‎ ‎18.【本小题满分12分】‎ 如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED//FB，DE＝BF，AB＝FB，FB⊥平面ABCD。‎ ‎(Ⅰ)设BD与AC的交点为0，求证：OE⊥平面ACF；‎ ‎(Ⅱ)求二面角E－AF－C的正弦值。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点是F，直线y＝2与C的交点到F的距离等于2。‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程；‎ ‎(Ⅱ)一直线l：x＝kx＋b(b1，k0)交C于A、B两点，其中点(b，k)在曲线(x－3)2－4y2＝8上，求证：FA与FB斜率之积为定值。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 设函数，a为常数。‎ ‎(Ⅰ)若函数f(x)在上是单调函数，求a的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)当时，证明：。‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立。若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元。‎ ‎(Ⅰ)求系统不需要维修的概率；‎ ‎(Ⅱ)该电子产品共由3个系统G组成，设为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望；‎ ‎(Ⅲ)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？‎ 请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，曲线C1的参效方程为(为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。‎ ‎(Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标。‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 己知函数。‎ ‎(Ⅰ)求不等式f(x)>6的解集；‎ ‎(Ⅱ)若恒成立，求实数m的取值范围。‎ 数学参考答案（理科）‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 D C D B A B C C A A D B ‎1.【解析】，故选D.‎ ‎2.【解析】，所以的实部为，虚部为 ，的共 轭复数为，模为，故选C.‎ ‎3.【解析】因为，所以，故双曲线的右焦点的坐标是.‎ ‎4.【解析】因为，所以.‎ ‎5.【解析】，所以，又时，，所以所求切线方程为，即 ‎6.【解析】因为，所以，又，所以公差 ‎，所以．‎ ‎7.【解析】因为， 所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选C.‎ ‎8.【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有种 选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，‎ 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故 不同的调换方法有种.而基本事件总数为,所以所求概率为.‎ ‎9.【解析】由题意可知，当时，，所以为R上的单调递增函数，故由，得，即，解得，故选A.‎ ‎10.【解析】整理得，由题意得，解得，所以直线过定点.因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，因为圆心到直线 的距离为，所以到直线的距离的最大值为.‎ ‎11.【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，则，‎ 所以，当且仅当时取等号.此时侧面积为.‎ ‎12.【解析】双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为 ‎，不妨取，设，则，.‎ 若存在过的直线与双曲线的渐近线交于一点，使得是以为直角顶点 的直角三角形，则，即，整理可得 ‎，由题意可知此方程必有解，则判别式 ‎，得，即，解得，所以离心率存在最大值.‎ ‎13. 【解析】向量，，，‎ ‎ 与垂直，，解得．‎ ‎14.【答案】4 【解析】由题意得，所以，又，所以，解得或（舍），所以.‎ ‎15.【答案】 【解析】展开式的通项公式为 ‎，令，解得，故所求系数为.‎ ‎16.【答案】 【解析】法一：由得，‎ 所以，即.‎ 结合诱导公式得.‎ 因为，所以.‎ 由诱导公式可得，易知，‎ 因为在上单调递减，所以，即.‎ 法二：由得，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 由诱导公式可得，即 因为在上单调递增，所以，即.‎ ‎17．【解析】(1) 由，‎ 得． ‎ 由正弦定理，得，即，…………………………3分 所以．………………………………………………5分 因为，所以．……………………………………………………6分 ‎（2）由（1）知，∴．①…………8分 又，…………………………………………………………9分 ‎∴，②…………………………………………………………………………10分 又，∴据①②解，得．…………………………………………12分 ‎18.【解析】（1）证明：由题意可知：面，‎ 从而，，又为中点，‎ ‎，在中，，‎ ‎，又，‎ 面．……………………………………………………………………5分 ‎（2）面，且，‎ 如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，‎ 从而，0，，，0，，，2，，，2，，，1，‎ 由（1）可知，1，是面的一个法向量，…………………………7分 设，，为面的一个法向量，‎ 由，令得，，，………………………………9分 设为二面角的平面角，‎ 则，．‎ 二面角的正弦值为．………………………………………………12分 ‎19.【解析】（1）由知到准线的距离也是2，‎ 点横坐标是，‎ 将代入，得，‎ 抛物线的方程为.………………………………………………………………5分 ‎（2）证明：联立得，‎ 设，，则，.………………………………7分 因为点在曲线上，所以代入整理可得.………8分 则.‎ ‎…………………………………………………………………………………………………12分 ‎20.【解析】（1）由得导函数，其中.‎ 当时，恒成立，‎ 故在上是单调递增函数，符合题意； ……………………2分 当时，恒成立，‎ 故在上是单调递减函数，符合题意；……………………3分 当时，由得，‎ 则存在，使得.‎ 当时，，当时，‎ ‎，所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 故在上是不是单调函数，不符合题意.‎ 综上，的取值范围是. ……………………………………………6分 （2） 由（1）知当时，，‎ 即，故.…………………………………………………………9分 令，‎ 则，‎ 当时，，所以在上是单调递减函数，‎ 从而，即.………………………………………………12分 ‎21.【解析】（1）系统不需要维修的概率为.…………2分 ‎（2）设为维修维修的系统的个数，则，且，‎ 所以.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎1500‎ 所以的期望为.…………………………………………6分 （3） 当系统有5个电子元件时，‎ 原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统的才正常工作.‎ 若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，‎ 则概率为；‎ 若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，‎ 则概率为；‎ 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，‎ 系统均能正常工作，则概率为.‎ 所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，‎ 于是由知，当时，即时，‎ 可以提高整个系统的正常工作概率.………………………………………………12分 ‎22.【解析】（I）依题意，曲线的直角坐标方程为.…………………………3分 ‎（II）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以曲线的直角坐标方程为，……………………………………7分 ‎ 联立解方程组得或 根据的范围应舍去故交点的直角坐标为.……………………………10分 ‎23.【解析】（1）依题意，，‎ 当时，原式化为，解得，故；‎ 当时，原式化为，解得，故无解；‎ 当时，原式化为，解得，故；‎ 综上所述，不等式的解集为；………………………………5分 （2） 因为，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故恒成立等价于；即，解得 故实数的取值范围为.……………………………………………………………10分