皖江名校第四次大联考文科数学

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【D-020】数学(文科)试卷 　 第 1　　　　 页(共 4 页) 姓名 　 座位号 (在此卷上答题无效) 数　 学(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 2 至第 4页。 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。考生注意事项: 1. 答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时,必须使用 0. 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 ∙∙∙∙ 书写,要求字体工整、笔迹清晰。 作 图题可用铅笔在答题卡 ∙∙∙ 规定位置绘出,确认后再用 0. 5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。 必须在 题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙,在试题卷 ∙∙∙∙、草稿纸上答题无效 ∙∙∙∙∙∙∙∙。 4. 考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。 第 Ⅰ 卷(选择题　 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 复数 z 满足 1-2i ( ) z= 4+3i(i 为虚数单位),则复数 z 的模等于 A. 5 5 　 　 　 　 　 B. 5 　 　 　 　 　 C. 2 5 　 　 　 　 　 D. 4 5 2. 已知全集为 R,集合 A={-2,-1,0,1,2},B = x x-1x+2<0{ } ,则 A∩(∁U B)的元素个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知函数 f(x)在区间(a,b)上可导,则“函数 f(x)在区间(a,b)上有最小值”是“存在 x 0 ∈(a,b),满足 f ′(x 0 )= 0”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 2011 年国际数学协会正式宣布,将每年的 3 月 14 日设为国际数学节,来源于中国古代数学家祖冲之 的圆周率。 公元 263 年,中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,计算到圆内接 3072 边形的面积,得 到的圆周率是3927 1250。 公元 480 年左右,南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后 7 位 的结果,给出不足近似值 3. 1415926 和过剩近似值 3. 1415927,还得到两个近似分数值,密率355 113 和约 率22 7 。 大约在公元 530 年,印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为 9. 8684 (≈3. 14140096)。 在这 4 个圆周率的近似值中,最接近真实值的是 A. 3927 1250 B. 355 113 C. 22 7 D. 9. 8684 【D-020】数学(文科)试卷 　 第 2　　　　 页(共 4 页) 5. 已知函数 y =f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)= 1,则 f(-1)= A. -3 B. -1 C. 0 D. 2 A B C A1 B1 C1 NM 第 6 题图 6. 如图,各棱长均为 1 的正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 ,M,N 分别为线段 A 1 B,B 1 C 上的动点,且 MN∥平面 ACC 1 A 1 ,则这样的 MN 有 A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 无数条 7. 已知数列 an{ } 的通项为 an = n+1n-k,对任意 n∈N∗ ,都有 an ≥a 5 ,则正数 k 的取值范围 是 A. k≤5 B. k>5 !" #$ i= ，12 =1sum sum sum= · i i i= -1 &'sum( ) 第 8 题图 C. 40)上的一个动点,曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,点 O 是坐标原点,① | PA | = | PB | ;②△OAB 的面积为定值;③曲线 C 上存在两点 M,N 使得 △OMN 是等边三角形;④曲线 C 上存在两点 M,N 使得△OMN 是等腰直角三角形,其中真命题的个 数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 若函数 f(x)= 1 3 x3 -x2 在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数 a 的取值范围是 A. (-3,2) B. [-3,2) C. [-1,2) D. (-1,2) 第 Ⅱ 卷 注意事项:第Ⅱ卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答. 若在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在横线上. 13. 若 α,β 为锐角,且满足 cosα= 4 5 ,cos(α+β)= 3 5 ,则 sinβ 的值是 . 14. 已知三棱锥的 4 个面都是边长为 5,6,7 的三角形,则该三棱锥外接球的表面积为 . 【D-020】数学(文科)试卷 　 第 3　　　　 页(共 4 页) 15. 黎曼函数(Riemannfunction)是一个特殊函数,由德国数学家黎曼发现并提出,黎曼函数定义在[0,1] 上,其定义为:R(x)= 1p ,当 x = q p (p,q 都是正整数, q p 是不可以再约分的真分数) 0,当 x = 0,1 或者[0,1]上的无理数 ì î í ïï ïï ,若函数 f(x)是定 义在 R 上的奇函数,且 f ( x) + f (2 - x) = 0,当 x ∈ [ 0,1] 时, f ( x) = R ( x), 则 f ( 10 3 ) + f ( 3 10) = . 16. 若△ABC 的面积 S = 1 且 AB = 2AC,则边 BC 的最小值等于 . 三. 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答应写在答题卡 上的指定区域内. 17. (本小题满分 10 分) 已知等比数列 an{ } 的前 n 项和为 Sn ,S 3 = 7,S 6 = 63. (Ⅰ)求 an{ } 的通项公式; (Ⅱ)若数列{an -bn }是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 bn{ } 的通项公式和前 n 项和 Tn . A B C D P M 第 18 题图 18. (本小题满分 12 分) 如图在四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,PA = AB = BC = 3,AD= 2,点 M 在棱 PB 上,且 BM= 2 . (Ⅰ)证明:AM∥平面 PCD; (Ⅱ)求点 D 到平面 PMC 的距离. 19. (本小题满分 12 分) △ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设 A= 2B,CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D. (Ⅰ)证明:a2 -b2 =bc; (Ⅱ)若 a = 6,b = 4,求 CD 的长. 【D-020】数学(文科)试卷 　 第 4　　　　 页(共 4 页) A B C D A1 B1 C1 D1 第 20 题图 20. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,侧棱 AA 1 ,BB 1 ,CC 1 ,DD 1 都和平面 ABCD 垂直,AD∥BC,AB =BC =CD=BB 1 =DD 1 = 2,AA 1 =AD= 4,CC 1 = 1. (Ⅰ)证明:平面 B 1 C 1 D 1 ⊥平面 ABB 1 A 1 ; (Ⅱ)求多面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的体积. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 1 2 ax2 +x-2lnx(a≠0). (Ⅰ)当 a = 1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在定义域内是单调函数,求实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= e x -sinx-1,f ′(x)是 f(x)的导函数. (Ⅰ)证明:f ′(x)在(- π 4 ,0)内存在唯一的极小值点; (Ⅱ)证明:当 x∈(-π,+∞ )时,f(x)有且只有两个零点.