- 2021-04-14 发布 |
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文档介绍
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数二次函数y=ax2+k的图象和性质课件
第二十二章 二次函数 人教版 九年级数学上册 二次函数y=ax2+k的图象和性质 这个函数的图象 是如何画出来的? 情境引入 x y 21 840y x 导入新课 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a>0)一 做一做:画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ,y=2x2-1的图 象,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶 点高低、函数最值、函数增减性. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2-1 … …3.5 1 -0.5 1-0.5-1 3.5 5.5 1.53 1.51 3 5.5 讲授新课 -2 2 2 4 6 4-4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 观察上述图象,说说它有哪些特征. 探究归纳 解:先列表: x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 例1 在同一直角坐标系中,画出二次函数 与 的图象. 21 2y x 21 12y x 21 2y x 21 12y x 9 2 11 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 3 3 2 1 3 2 3 11 2 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 21 2y x 21 12y x 描点、连线,画出这两个函数的图象 观察与思考 抛物线 , 的开口方向、对称轴和 顶点各是什么? 21 2y x 21 12y x 21 2y x 21 12y x 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 (0,0) (0,1) y轴 y轴 想一想:通过上述例子,函数y=ax2+k(a>0) 的性质是什么? y -2 -2 4 2 2 -42 3 1xy 23 1 2 1 xy 23 1 2 2 xy x0 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a<0)二 做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象: 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ 抛物线 向下 直线x=0 ( 0,0)( 0,2) ( 0,-2) (5)顶点都是最____点,函数都有最____值,从上而下 最大值分别为_______、_______﹑________ (6) 函数的增减性都相同: __________________________ _____________________________ 高 大 y=0 y= -2y=2 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的性质 y=ax2+k a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 (0,k) (0,k) 最值 当x=0时,y最小值=k 当x=0时,y最大值=k 增减性 当x<0时,y随x的 增大而减小;x>0 时,y随x的增大而 增大. 当x>0时,y随x的增 大而减小;x<0时, y随x的增大而增大. 知识要点 例2:已知二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时, 函数值相等,则当x=x1+x2时,其函数值为________. 解析:由二次函数y=ax2+c图象的性质可知,x1, x2关于y轴对称,即x1+x2=0.把x=0代入二次函数表 达式求出纵坐标为c. c 【方法总结】二次函数y=ax2+c的图象关于y轴 对称,因此左右两部分折叠可以重合,函数值相 等的两点的对应横坐标互为相反数. 解析式 y=2x2 y=2x2+1y=2x2-1 +1-1 点的坐标 函数对应值表 x … … y=2x2-1 … … y=2x2 … … y=2x2+1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2x2 2x2-1 (x, ) (x, ) (x, )2x2-1 2x2 2x2+1 从数的角度探究 二次函数y=ax2+k的图象及平移三 2x2+1 4-2 2 2 4 6 -4 8 10 -2 y = 2x2+1 y = 2x2-1 可以发现,把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长 度,就得到抛物线 ;把抛物线 y=2x2 向 平 移1个单位长度,就得到抛物线 y=2x2-1. 下y=2x2+1 上 从形的角度探究 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平 移得到: 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 二次函数y=ax2 与y=ax2+k(a ≠ 0)的图象的关系 u上下平移规律: 平方项不变,常数项上加下减. 知识要点 二次函数y=-3x2+1的图象是将( ) A.抛物线y=-3x2向左平移3个单位得到 B.抛物线y=-3x2向左平移1个单位得到 C.抛物线y=3x2向上平移1个单位得到 D.抛物线y=-3x2向上平移1个单位得到 解析:二次函数y=-3x2+1的图象是将抛物线 y=-3x2向上平移1个单位得到的.故选D. 练一练 D 想一想 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步? 第一种方法:平移法,两步即第一步画y=ax2的图 象,再向上(或向下)平移︱k ︱单位. 第二种方法:描点法,三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小;k决定顶点的纵坐标. 例3:如图,抛物线y=x2-4与x轴交于A、B两点,点 P为抛物线上一点,且S△PAB=4,求P点的坐标. 解:抛物线y=x2-4,令y=0,得到x=2或-2, 即A点的坐标为(-2,0),B点的坐标为(2,0), ∴AB=4. ∵S△PAB=4,设P点纵坐标为b, ∴ ×4|b|=4,∴|b|=2,即b=2或-2. 当b=2时,x2-4=2,解得x=± , 此时P点坐标为( ,2),(- ,2); 当b=-2时,x2-4=-2,解得x=± , 此时P点坐标为( ,2),(- ,2). 1 2 6 6 6 2 2 2 当堂练习 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位,就得到抛物 线 . 2.填表: y = 2x2-4 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点 y = 3x2 y = 3x2+1 y = -4x2-5 向上 向上 向下 (0,0) (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 3.已知(m,n)在y=ax2+a(a不为0)的图象上,(-m,n) ___(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图 象上. 4. 若y=x2+(k-2)的顶点是原点,则k____;若顶点 位于x轴上方,则k____;若顶点位于x轴下方,则 k . 在 =2 >2 <2 5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题: (1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线 y=-x2. (2)函数y=-x2+1,当x 时, y随x的增大 而减小;当x 时,函数y有最大值,最大 值y是 ,其图象与y轴的交点坐标是 ,与x 轴的交点坐标是 . (3)试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐 标. 向下平移1个单位. >0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标(0,-3). 6.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+k和二次 函数y=ax2+k的图象大致为( ) 方法总结:熟记一次函数y=kx+b在不同情况下 所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质(开 口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键. D 能力提升 7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而 增大,则m=____. 8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为(0,2) 则a=____. 9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A(-2,0)﹑B两点,与y轴 交于点C(0,-4),则三角形ABC的面积是_______. 2 -2 8查看更多