2013届高考数学一轮复习 空间几何体的表面积和体积

2013届高考数学一轮复习 空间几何体的表面积和体积

‎2013届高考一轮复习 空间几何体的表面积和体积 一、选择题 ‎1、设长方体的长、宽、高分别为‎2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) ‎ A.3 B‎.6 C.12 D.24 ‎ ‎2、已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是 ( ) ‎ ‎ ‎ A. B. ‎ C. D.6 ‎ ‎3、长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是( ) ‎ A. ‎ B. ‎ C.11 ‎ D.12 ‎ ‎4、一正三棱锥的侧面都是直角三角形,底面边长为a,该三棱锥的表面积是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、圆台上、下底面面积分别是、4,侧面积是6,则圆台的体积是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、已知A、B为球面上的两点,O为球心,且AB=3,则球的体积为( ) ‎ A. B. ‎ C.36 D. ‎ ‎7、设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度h随时间t变化的图象是( ) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎8、如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球体积是 . ‎ ‎9、圆柱形容器内盛有高度为‎8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm. ‎ ‎10、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 . ‎ ‎ ‎ ‎11、已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,若圆M的面积为3,则球O的表面积等于 . ‎ ‎12、如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为 . ‎ ‎13、体积为8的一个正方体,其表面积与球O的表面积相等,则球O的体积等于 . ‎ 三、解答题 ‎14、如图所示,在斜三棱柱ABC-中侧棱与底面所成的角为,BC=4.求斜三棱柱ABC的体积V. ‎ ‎15、 已知正方体的棱长为a,E、F分别为棱与的中点,求四棱锥的体积. ‎ ‎16、如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形. ‎ ‎(1)证明:; ‎ ‎(2)若PC=4,且平面平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积. ‎  ‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 B ‎ 解析:由已知,球O的直径2R等于长方体的对角线, ‎ ‎∵ ‎ ‎∴球的表面积S=4. ‎ ‎2、C ‎ 解析:由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱.‎ ‎. ‎ ‎3、A ‎ 解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,‎ 则有ab=2,bc=6,ac=9,‎ ‎∴. ‎ ‎4、 A ‎ 解析:设正三棱锥的侧棱长为b,‎ 由题意知此正三棱锥的侧面都是等腰直角三角形,则有 ‎ ‎∴. ‎ ‎5、D ‎ 解析:∵,∴r=1,R=2, ‎ ‎=(r+R)l,∴l=2,∴. ‎ ‎∴V= . ‎ ‎6、 B ‎ 解析:△AOB为等腰三角形,腰长为球的半径,AB=3,通过解三角形解出OA和OB,即从而求出球的体积为,故选B. ‎ ‎7、 B ‎ 解析:由三视图可知杯子是圆柱形的,由于圆柱形的杯子上下均匀,所以当向杯中匀速注水时,其高度随时间的变化是相同的,反映在图象上,只有选项B符合题意.故选B. ‎ 二、填空题 ‎8、 ‎ 解析:依题意,设这个三棱锥的侧棱分别为a、b、c,则有ab=12,bc=8,ac=6,解得a=3,b=4,c=2.这个三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为长、宽、高的长方体的外接球,所以外接球的直径为所求体积为. ‎ ‎9、 4 ‎ 解析:设球的半径为r, ‎ 则. ‎ ‎10、3 ‎ 解析:该三视图对应的几何体是直四棱柱, ‎ 所以. ‎ ‎11、16 ‎ 解析:由题意得圆M的半径设球的半径为R,又球心到圆M的距离为由勾股定理得∴R=2,则球的表面积为4,故填16. ‎ ‎12、 ‎ 解析:将几何体补充出来,如图所示.最长棱为PB=. ‎ ‎ ‎ ‎13、 ‎ 解析:设正方体棱长为a,球的半径为R,则 ‎ ‎∴a=2. ‎ ‎∵∴∴. ‎ ‎. ‎ 三、解答题 ‎14、解:在Rt△中, ‎ tan. ‎ 作平面ABC,垂足为H,则 ‎ 在Rt△中sin ‎ sin. ‎ ‎∴. ‎ ‎15、 解:因为,‎ 所以四棱锥的底面是菱形,连结EF,则△EFB≌△‎ 由于三棱锥EFB与三棱锥等底同高,‎ 所以. ‎ ‎16、 (1)证明:∵△PAB是等边三角形, ‎ ‎∴PA=PB. ‎ ‎∵,PC=PC, ‎ ‎∴Rt△PBC≌Rt△PAC,∴AC=BC. ‎ 取AB的中点D,连接PD、CD, ‎ 则 ‎ 又∵PD与CD交于D点,∴平面PDC, ‎ ‎∵平面PDC,∴. ‎ ‎(2)解:作垂足为E,连接AE. ‎ ‎∵Rt△PBC≌Rt△PAC, ‎ ‎∴. ‎ 由已知,平面平面PBC, ‎ 故.∵AB=PB,BE=BE, ‎ ‎∴Rt△AEB≌Rt△PEB.∴PE=AE=BE, ‎ 又PE=CE,∴BE=CE. ‎ ‎∴△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形. ‎ 由已知PC=4,得AE=BE=2, ‎ ‎∴△AEB的面积 ‎ ‎2=2, ‎ ‎∵平面AEB,‎ ‎∴三棱锥P-ABC的体积.