数学理（B）卷·2017届广东省清远市清城区高三上学期期末考试（2017

数学理（B）卷·2017届广东省清远市清城区高三上学期期末考试（2017

广东省清远市清城区高三第一学期期末统考（B）卷 数学（理）试题 ‎(本卷满分150分，时间120分钟)‎ 一、 选择题（60分，每题5分）‎ ‎1.已知集合、为整数集，则集合中所有元素的和为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎2．已知复数，则的虚部为（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ 3. 某高中共有2000名学生，其中各年级男生、女生的人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级中应抽取的学生人数是（ ）‎ 高一 高二 高三 女生 ‎373‎ m n 男生 ‎377‎ ‎370‎ p A. 8 B. 16 C. 28 D. 32‎ ‎4．如图所示，程序框图的输出值（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 5. 若双曲线 的渐近线方程是。则该双曲线的离心率为 ( )【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.等差数列的前项和为，若公差，，则当取得最大值时，的值为（ ）‎ A．10 B．9 C．6 D．5‎ ‎7.已知变量、满足约束条件 ,那么的最小值为（ ）‎ A. B. 8 C. D. 10‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ 俯视图 正视图 侧视图 ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ A．12 B． 24 C．40 D．72 ‎ ‎9.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是（ ）‎ A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C.函数的图象关于直线对称 D.函数在上单调递增 ‎10.平行四边形中，，点在边上，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面则该球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 一、 填空题（20分，每题5分）‎ ‎13.若实数满足，则的最小值为 ．‎ ‎14.在数列中，已知，，则其通项公式为 。‎ 15. 三棱锥中，平面，，，，‎ 若三棱錐的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．‎ ‎16.若，则 。 ‎ 二、 解答题（70分）‎ ‎17.（12分）‎ 如图，是椭圆的两个顶点，，直线的斜率为．‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （1） 设直线平行于，与轴分别交与点，与椭圆相交于．证明：的面积等于的面积；‎ ‎18.（12分）‎ 在中，的对边分别为，已知，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求周长的最大值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图（1），在平行四边形中，，，分别为，的中点，现把平行四边形沿折起，如图（2）所示，连结.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎20．（本小题满分12分）设，．‎ ‎（1)若，求的单调区间；‎ （2) 讨论在区间上的极值点个数；‎ ‎21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ D E B A O C P 已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）． （Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值．‎ ‎（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围 ‎22.（10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集包含，求的取值范围.‎ 数学（理）答案 一、1-12：CBBDC DBCDA BD 二、13. 14. 15. 16. ‎ 三、‎ ‎17.（1）解：依题意，得，解得，所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）证明：由于，设直线的方程为，‎ 将其代入，消去，整理得，设，，所以 证法一：记的面积是的面积是，‎ 由，则，‎ 因为，所以，‎ 从而；‎ 证法二：记的面积是，的面积是，‎ 则线段的中点重合 因为，所以，‎ 故线段的中点为，因为，‎ 所以线段的中点坐标亦为，从而．‎ ‎18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分12分.‎ 解法一：（Ⅰ）因为，，‎ 所以，‎ 即，‎ 即.‎ 因为，所以，‎ 故，‎ 由正弦定理得，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）在中，，‎ 由正弦定理得，，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ 因为，所以.‎ 所以当时，即时，取得最大值1.‎ 故当时，周长取得最大值.‎ 解法二：（Ⅰ）由，‎ 得，‎ 由正弦定理，得，‎ 由余弦定理，得，‎ 整理得，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）在中，，‎ 由余弦定理得，.‎ 因为，‎ 所以，即，所以，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故当时，周长取得最大值.‎ ‎19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理认证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分12分.‎ 证明：（Ⅰ）由已知可得，四边形均为边长为2的菱形，‎ 且.‎ 在图（1）中，取中点，连结，‎ 故是等边三角形，‎ 所以，‎ 同理可得，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 又因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由已知得，，‎ 所以，故，‎ 如图（2），分别以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 得，.‎ 设平面的法向量，‎ ‎，，‎ 由得，‎ 令，得，，‎ 所以平面的一个法向量.‎ 设平面的法向量，‎ ‎，，‎ 由得，‎ 令，得，，‎ 所以平面的一个法向量为.‎ 于是，‎ 因为二面角的平面角为钝角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20．‎ 解：（1）当时：，（）‎ 故 当时：，当时：，当时：．‎ 故的减区间为：，增区间为 ‎（2）‎ 令，故,‎ 显然，又当时：．当时：．‎ 故，，．‎ 故在区间上单调递增 注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定．‎ ‎①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点．‎ ‎②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．‎ 综上：当或时：在上无极值 当时：在上有唯一极值点．‎ ‎21．‎ 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为： 直线的直角坐标方程为： ‎ 圆心到直线l的距离（弦心距）圆心到直线的距离为 ： 或 5分 ‎（Ⅱ）曲线的方程可化为，其参数方程为 ‎ ‎ 为曲线上任意一点，‎ 的取值范围是 ‎ ‎22.选修4-5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类与整合思想等，满分10分.‎ 解法一：（Ⅰ）时，原不等式可化为，‎ 当时，原不等式可化为，即，‎ 此时， 不等式的解集为.‎ 当时，原不等式化为，即.‎ 此时，不等式的解集为.‎ 当时，原不等式化为，即，‎ 此时，不等式的解集为.‎ 综上，原不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）不等式的解集包含，‎ 等价于对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 所以，即对恒成立，‎ 故的取值范围为.‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以不等式可化为，‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 当时，不等式化为，解得.‎ 故当时，原不等式的解集为，‎ 由于不等式的解集包含，‎ 所以，解得.‎ 当时，原不等式的解集为，‎ 由于不等式的解集包含，‎ 所以，解得.‎ 综上，的取值范围为.‎