2019-2020学年四川省遂宁市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省遂宁市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省遂宁市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合A=,B=，则（ ）‎ A．A=B B．AB= C．AB D．BA ‎【答案】D ‎【解析】由于，故A、B、C均错，D是正确的，选D.‎ ‎【考点】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.‎ ‎2．下列图象中，表示函数关系的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的概念，对于每一个自变量有唯一的函数值与之相对应，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据的函数的概念，对于每一个自变量有唯一的函数值与之相对应，‎ 对于A、B、C中，出现了一个自变量有两个的函数值与之相对应，所以不能表示函数，‎ 只有选项D满足函数的概念.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的概念及其应用，其中解答中熟记函数的概念是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎3．函数的定义域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的解析式，可得到函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，则需 解得，‎ 所以函数定义域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.‎ ‎4．已知扇形的面积为4，弧长为4，求这个扇形的圆心角是（ ）‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先根据扇形的面积求出所在圆的半径，再由弧长公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据扇形的面积公式，可得，解得，‎ 又由弧长公式，可得，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎5．若，则的大小关系为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由指数函数，对数函数的单调性，求出的大致范围即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，，‎ 即，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了比较指数值，对数值的大小关系，属基础题.‎ ‎6．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设幂函数的解析式为，根据幂函数的图象过点，求得，结合对数的运算性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设幂函数的解析式为，‎ 根据幂函数的图象过点，可得，解得，即，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了幂函数的概念及解析式的应用，以及对数的运算性质，其中解答中熟记幂函数的定义，求得函数的解析式，结合对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎1.625‎ ‎1.75‎ ‎1.875‎ ‎1.8125‎ ‎-6‎ ‎3‎ ‎-2.625‎ ‎-1.459‎ ‎-0.14‎ ‎1.3418‎ ‎0.5793‎ 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.‎ ‎【详解】‎ 根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.‎ ‎【点睛】‎ 不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.‎ ‎8．已知函数且）是增函数，那么函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据指数函数的性质，可得，再结合对数函数的图象与性质，以及复合函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数且）是增函数，可得，‎ 又由函数满足，解得，排除C、D项，‎ 又由函数，‎ 根据复合函数的单调性，可得函数为单调递减函数.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数、对数函数的图象与性质，结合复合函数的单调性进行求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用分式函数的常熟化，结合正弦函数的性质，求得函数的值域，结合定义，即可求得函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 因为，则，所以，则，‎ 所以函数的值域为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的值域的计算，以及分式函数的化简，其中解答中熟练应用分式函数的化简，结合正弦函数的性质，求得函数的值域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎10．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数图象平移变换的性质可知：‎ 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：‎ ‎.‎ 则函数的单调递增区间满足：，‎ 即，‎ 令可得一个单调递增区间为：.‎ 函数的单调递减区间满足：，‎ 即，‎ 令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．已知定义域为的奇函数，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由定义域为的奇函数，求得，，再结合初等函数的单调性，可得函数在定义域为单调递增函数，列出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，定义域为的奇函数，‎ 则有，解得，即定义域为，‎ 且，解得，‎ 即函数，‎ 结合初等函数的单调性，可得函数在定义域为单调递增函数，‎ 又由，即，‎ 则，解得，即不等式的解集为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性求得的值，再结合函数的单调性列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎12．若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C．（3,5］ D．（1,5]‎ ‎【答案】C ‎【解析】求得当时，函数，根据，得到函数的周期为2，把函数在区间恰有3个不同的零点，转化为即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，结合对数函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数是定义在上的偶函数，当时，，‎ 则当时，则，函数，‎ 又由对任意，都有，则，即周期为2，‎ 又由函数（）在区间恰有3个不同的零点，‎ 即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，‎ 又由，‎ 则满足且，解得，‎ 即实数的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性得到函数的解析式，以及求得函数的周期，再集合两个函数的图象的性质列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．函数恒过定点为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，，‎ 故恒过．‎ 点睛：函数图象过定点问题，主要有指数函数过定点，对数函数过定点，幂函数过点，注意整体思维，整体赋值求解．‎ ‎14．已知为第二象限角，则的值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，为第二象限角，可得，‎ 则 ‎.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15．若函数的值域为，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可 ‎【详解】‎ 当时，，；‎ 当时，是减函数，，要满足，此时应满足 ，即 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题 ‎16．已知函数满足，对任意的都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】构造新函数，求得函数为上的偶函数，得出，在由任意的都有恒成立，得到函数在为单调递增函数，结合函数的取值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设函数，‎ 因为函数满足，即，‎ 则，所以函数为上的偶函数，‎ 又由，则，‎ 因为对任意的都有恒成立，‎ 则函数在为单调递增函数，‎ 所以当时，，此时，‎ 当时，，此时，‎ 所以的解集为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的综合应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数，结合函数的奇偶性和单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，，全集.‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）已知非空集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）求得集合，根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解；‎ ‎（2）由，所以，结合集合的包含关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，集合，‎ 因为集合，则，‎ 所以， .‎ ‎（2）由题意，因为，所以，‎ 又因为，，所以，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集、并集和补集的运算，以及利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合的基本运算，以及合理利用集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知函数是定义在上的奇函数，当时有.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】（1）当时，则，可得，进而得到函数的解析式；‎ ‎（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当时，则，可得，‎ ‎　因为函数为奇函数，所以，‎ ‎　所以函数的解析式为.‎ ‎（2）函数在为单调递增函数． ‎ 证明：设，则 ‎ 因为，所以 ‎ 所以，即 故在为单调递增函数．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的单调性的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及熟练应用的函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知角α的终边经过点，且为第二象限角．‎ ‎（1）求、、的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；；（2）.‎ ‎【解析】（1）由三角函数的定义和为第二象限角，求得，即点，再利用三角函数的定义，即可求解；‎ ‎（2）利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式化简，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由三角函数的定义可知，解得，‎ 因为为第二象限角，∴，即点，则，‎ 由三角函数的定义，可得.‎ ‎（2）由（1）知和，‎ ‎ 可得 ‎=.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的定义，熟练应用三角函数的诱导公式，准确计算是解答的关键你，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0.7‎ ‎1.6‎ ‎3.3‎ 为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b．‎ ‎（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；‎ ‎（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．‎ ‎【答案】（1）选择函数模型，函数解析式为；（2）以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.‎ ‎【解析】（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；‎ ‎（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，‎ 这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．‎ 若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，‎ 所以不选择该函数模型．‎ 从而只能选择函数模型，由试验数据得，‎ ‎，即，解得 故所求函数解析式为：．‎ ‎（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），‎ 则所需时间为（小时），其中，‎ 结合（1）知，‎ 所以当时，．‎ 答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.‎ ‎21．函数，若函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，且图象的一条对称轴是直线．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设集合, 若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）由函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，求得函数的周期，得到，再由图象的一条对称轴是直线，求得，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）由，把不等式恒成立，转化为，结合三角函数的性质，求得函数的最值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，‎ 可得, 解得，又由，所以， ‎ 又由图象的一条对称轴是直线，可得，‎ 且，解得，‎ 所以 ‎ ‎（2）由集合，‎ 因为若，即当时，不等式恒成立， ‎ 所以，‎ 因为，则，‎ 当，即，函数取得最小值，最小值为；‎ 当，即，函数取得最大值，最大值为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎22．如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.‎ ‎（1）证明点是函数的对称中心；‎ ‎（2）已知函数（且，）的对称中心是点.‎ ‎①求实数的值；‎ ‎②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）①， ②.‎ ‎【解析】（1）求得，根据函数的定义，即可得到函数的图象关于点对称.‎ ‎（2）①根据函数函数的定义，利用，即可求得. ‎ ‎②由在上的值域，得到方程组，转化为为方程的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数，可得，‎ 所以函数的图象关于点对称.‎ ‎（2）①因为函数（且，）的对称中心是点，‎ 可得，即，解得（舍）. ‎ ‎②因为，∴，可得，‎ 又因为，∴. ‎ 所以在上单调递减， ‎ 由在上的值域为 所以，，‎ 即，即，‎ 即为方程的两个根，且， ‎ ‎ 令，‎ 则满足，解得，所以实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的新定义，函数的基本性质的应用，以及二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，合理利用函数的性质，以及二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎