江苏省常熟市2020届高三阶段性抽测三数学试题

江苏省常熟市2020届高三阶段性抽测三数学试题

江苏省常熟市2020届高三阶段性抽测三 数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，则＝ ．‎ ‎2．若i是虚数单位，复数z＝(a＋i)(1＋2i)是纯虚数，则实数a的值为 ．‎ ‎3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为 ．‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为 ．‎ ‎5．将一枚质地均匀且各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为a和b，则点(a，b)在直线y＝2x上的概率为 ．‎ ‎6．已知为数列的前n项和，若，则＝ ．‎ ‎7．阿基米德（公元前287年—公元前 212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为 ．‎ ‎8．已知x轴为曲线的切线，则实数a的值为 ．‎ ‎9．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P是半圆O上一点（包括端点A，D），则的取值范围是 ．‎ ‎ ‎ ‎10．已知函数的最小值为e(e为自然对数的底数)，则＝ ．‎ ‎11．已知正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围为 ‎ ‎ ．‎ ‎12．已知椭圆C：(a＞b＞0)的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得，且△PF1F2的面积等于4，则ab的取值范围为 ．‎ ‎13．如图，把半椭圆：(x≥0)和圆弧：(x＜0)合成的曲线称为“曲圆”，其中点F(1，0)是半椭圆的右焦点，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴，y轴的交点，已知∠B1FB2＝120°，过点F的直线与“曲圆”交于P，Q两点，则△A1PQ的周长的取值范围是 ．‎ ‎14．已知实数a＞0，函数y＝sinx在闭区间[0，a]上最大值为M，在闭区间[a，2a]上的最大值为N，若M＝N，则a的值为 ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱柱A1B1C1—ABC中，AB＝AC，D为BC中点，平面ABC⊥平面BCC1B1，BC1⊥B1D．‎ ‎（1）求证：A1C∥平面AB1D；‎ ‎（2）求证：AB1⊥BC1．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 已知A、B、C是锐角△ABC的内角，向量＝(cos(A＋)，sin(A＋))，＝(cosB，sinB)，且⊥．‎ ‎（1）求A﹣B的值；‎ ‎（2）若cosB＝，AC＝8，求BC的长．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：(r＞0)，点M(，)，N(﹣1，﹣3)，点A在圆O上，．‎ ‎（1）求圆O的方程；‎ ‎（2）直线x＝2与圆O交于E，F两点（E点在x轴上方），点P(m，n)(0＜m＜)是抛物线上的动点，点Q为△PEF的外心，求线段OQ长度的最大值，并求出当线段OQ长度最大时，△PEF外接圆的标准方程．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 把一块边长为a(a＞0)cm的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虛线与正六边形的对应边垂直）剪去六个全等的四边形（阴影部分），折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器（焊接损耗忽略），设容器的底面边长为xcm．‎ ‎（1）若a＝16，且该容器的表面积为cm2时，在该容器内注入水，水深为5cm，若将一根长度为10cm的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于A处，另一端置于侧棱DD1上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的长度；‎ ‎（2）求该容器的底面边长a的范围，使得该容器的体积始终不大于9000cm3．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知数列、中，，，且，n，设数列、的前n项和分别为An和Bn．‎ ‎（1）若数列是等差数列，求An和Bn；‎ ‎（2）若数列是公比为2的等比数列．①求A2n﹣1；②是否存在实数m，使A4n＝m·对任意自然数n都成立?若存在，求m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数(aR)．‎ ‎（1）当a＝1时，求函数的单调减区间；‎ ‎（2）若不等式对x(0，1]恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）当a≤2时，试问过点P(0，2)可作的几条切线?并说明理由．‎