数学北师大版（2019）必修第二册：2-4-1 平面向量基本定理 学案与作业

数学北师大版（2019）必修第二册：2-4-1 平面向量基本定理 学案与作业

§4 平面向量基本定理及坐标表示 4.1 平面向量基本定理 课堂检测·素养达标 1.设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点,下列向量组:① 与 ;② 与 ;③ 与 ;④ 与 ,其中可作为表示这个平行四边形 所在平面内所有向量的基的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 【解析】选 B.由基的定义知,①③中两向量不共线,可以作为基. 2.如图所示,在矩形 ABCD 中, =5e1, =3e2,则 等于( ) A. (5e1+3e2) B. (5e1-3e2) C. (3e2-5e1) D. (5e2-3e1) 【解析】选 A. = = ( - )= (5e1+3e2). 3.如图,将 45°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起,其中 45°直 角三角板的斜边与 30°直角三角板的 30°角所对的直角边重合,若 =x +y ,则 x=________ ,y =________. 【解析】过点 B 作 BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E,过点 A 作 AF⊥BE 于点 F,由∠ACD=45°,∠BCA=90°,得∠BCE=45°,则 CE=BE.设 CE=BE=mCD(m>0),则 AF=ED=(m+1)CD,BF=BE-EF=(m-1)CD,AB=2AC=2 CD.由 AF2+BF2=AB2 可得 + = ,解得 m= ,故 =(1+ ) + . 答案: 1+ 4.如图,已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若 =a, =b,用 a,b 表示 , , . 【解析】 = + = + =a+ (b-a)= a+ b; = + = + =a+ (b-a)= a + b; = + = + =a+ (b-a)= a+ b. 十八 平面向量基本定理 (15 分钟 30 分) 1.已知 e1,e2 是表示平面内所有向量的一组基,则下列四个向量中,不能 作为一组基的是( ) A.e1+e2 和 e1-e2 B.3e1-2e2 和 4e2-6e1 C.e1+2e2 和 e2+2e1 D.e2 和 e1+e2 【解析】选 B.因为 4e2-6e1=-2(3e1-2e2),所以 3e1-2e2 与 4e2-6e1 共线,所 以它们不能作为一组基,作为基的两向量一定不共线. 2.在四边形 ABCD 中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,则四边形 ABCD 的 形状是 ( ) A.长方形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 【解析】选 D. = + + =-8a-2b=2 ,故为梯形. 3. 设 D,E,F 分 别 是 △ABC 的 三 边 BC,CA,AB 上 的 点 , 且 =2 , =2 , =2 ,则 + + 与 ( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 【 解 析 】 选 A. 如 图 , 因 为 = + = + , = + = + , = + = + ,所以 + + = + + = + =- . 4.设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以 表 示 为 另 一 组 基 向 量 a,b 的 线 性 组 合 , 即 e1+e2=________a+________b. 【解析】由题意,设 e1+e2=ma+nb. 因为 a=e1+2e2,b=-e1+e2, 所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定 理, 得 所以 答案: - 5.设 e1,e2 是不共线的非零向量,且 a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)已知 c=3e1+4e2,以 a,b 为基,表示向量 c; (2)若 4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值. 【解析】(1)设 c=λa+μb,则 3e1+4e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+ μ)e1+(3μ-2λ)e2,所以 解得 所以 c=a+2b. (2)4e1-3e2=λa+μb=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(3μ-2λ)e2,所 以 解得λ=3,μ=1. (20 分钟 40 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 设 向 量 e1 和 e2 是 某 一 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 , 若 3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数 y 的值为( ) A.3 B.4 C.- D.- 【 解 析 】 选 B. 因 为 3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2, 所 以 (3x-4y+7)e1+(10-y-2x)e2=0, 又 因 为 e1 和 e2 是 某 一 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 , 所 以 解得 2.如图所示,若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上,且 =4 =r +s ,则 3r+s 的值为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.因为 =4 =r +s , 所以 = = ( - )=r +s , 所以 r= ,s=- ,所以 3r+s= - = . 3.如图,O 是△ABC 的重心, =a, =b,D 是边 BC 上一点,且 =3 ,则 ( ) A. =- a+ b B. = a- b C. =- a- b D. = a+ b 【解析】选 A.如图,延长 AO 交 BC 于点 E,由已知 O 为△ABC 的重心,则 点 E 为 BC 的中点, 且 =2 , = ( + ).由 =3 ,得:D 是 BC 的四等分点,则 = + = + = × ( + )+ ( - )=- a+ b. 二、多选题(共 5 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的 得 0 分) 4.已知 e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则 a 与 b 共线的条件 可以为 ( ) A.λ=0 B.e2=0 C.e1∥e2 D.e1⊥e2 【解析】选 AC.若 e1∥e2 时,因为 e1≠0,所以 e2=t e1(t∈R),所以 a=e1+ λe2=(1+λt)e1= b,所以 a 与 b 共线.若 e1 与 e2 不共线,要使 a 与 b 共线,则 a=tb(t∈R),即 e1+λe2=2te1,即(1-2t)e1+λe2=0,所以λ=0. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知 e1 与 e2 不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且 a 与 b 是一组基,则实数λ 的取值范围是________. 【解析】当 a∥b 时,设 a=m b,则有 e1+2e2=m(λe1+e2),即 e1+2e2=mλe1+m e2, 所以 解得λ= ,即当λ= 时,a∥b. 又 a 与 b 是一组基,所以 a 与 b 不共线,所以λ≠ . 答案: ∪ 6.(2020·江苏高考)在△ABC 中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D 在边 BC 上, 延长 AD 到 P,使得 AP=9,若 =m + (m 为常数),则 CD 的长度 是________. 【解析】作 AE⊥BC,交 BC 于点 E. 设 =λ =λm +λ ,因为 C,D,B 三点共线,所以λm+λ =1,解得λ= ,所以 AD=3=AC, 所以 CD=2·AC·cos C= . 答案: 四、解答题 7.(10 分)如图,△ABC 中,点 D 是 AC 的中点,点 E 是 BD 的中点,设 =a, =c. (1)用 a,c 表示向量 ; (2)若点 F 在 AC 上,且 = a+ c,求 AF∶CF. 【 解 析 】 (1) 因 为 = - =c-a, 所 以 = = (c-a), 所 以 = ( + )= + =- a+ (c-a)= c- a. (2)设 =λ ,所以 = + = +λ =a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc.又 = a+ c,所以λ= ,所以 = ,所以 AF∶CF=4∶1. 关闭 Word 文档返回原板块