高考数学圆锥曲线压轴题专题训练精华概要

高考数学圆锥曲线压轴题专题训练精华概要

学生姓名 年级 高三 授课时间 教师姓名 刘 课时 ‎ ‎ 02-圆锥曲线压轴题-分类训练 ‎【知识点】‎ ‎1. 直线方程的形式 ‎（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。‎ ‎（2）与直线相关的重要内容 ‎①倾斜角与斜率 ‎②点到直线的距离 ③夹角公式：‎ ‎（3）弦长公式 直线上两点间的距离：‎ ‎ 或 ‎（4）两条直线的位置关系 ‎①=-1 ② ‎ ‎2、圆锥曲线方程及性质 ‎(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）‎ ‎ 标准方程：‎ ‎ 距离式方程：‎ ‎ 参数方程：‎ ‎(2)、双曲线的方程的形式有两种 ‎ 标准方程：‎ ‎ 距离式方程：（3）抛物线 ‎(4)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？‎ ‎ 3.方法 ‎（1）点差法（中点弦问题）‎ 设、，为椭圆的弦中点则有 ‎，；两式相减得 ‎=‎ ‎（2）联立消元法：设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。‎ ‎【课堂练习】‎ 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线与椭圆 始终有交点，求的取值范围 解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，‎ 即。‎ 题型二：弦的垂直平分线问题。注：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。‎ 例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。‎ 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。‎ 设直线，，，。 由消y整理，得 ① 由直线和抛物线交于两点，得即 ② ‎ 由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。 线段的垂直平分线方程为： ， ‎ 令y=0,得，则 为正三角形，到直线AB的距离d为。 ‎ 解得满足②式 此时。 例题3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O、F，并且与相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。‎ ‎ ‎ 解：(I) ∵a2=2，b2=1，∴c=1，‎ F(-1，0)，l:x=-2. ‎ ‎∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-‎ ‎ 设M(-)，则圆半径：r=|(-)-(-2)|= ‎ 由|OM|=r，得，解得t=±， ∴所求圆的方程为(x+)2+(y±)2=. (II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)， 代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0 ∵直线AB过椭圆的左焦点F， ∴方程一定有两个不等实根, 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1+x1=- ‎ ‎∴AB垂直平分线NG的方程为 令y=0，得 ‎∵∴点G横坐标的取值范围为（）。 题型三：动弦过定点的问题 例题4、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为 （II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得 是方程的两个根， ‎ 则，，‎ 即点M的坐标为， 同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ‎ ‎， 直线MN的方程为：， 令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得： 又， 椭圆的焦点为 ，即 ‎ 故当时，MN过椭圆的焦点。 例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1； （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。‎ 解（I）由题意设椭圆的标准方程为 ‎， ‎ ‎（II）设，由 得：，‎ ‎，‎ ‎（注意：这一步是同类坐标变换）‎ ‎（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）‎ 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，‎ ‎，，‎ ‎，解得，且满足 当时，，直线过定点与已知矛盾；‎ 当时，，直线过定点， ‎ 综上可知，直线过定点，定点坐标为 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题。直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。‎ 例题6、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，‎ ‎，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。 解：(I) ，且BC过椭圆的中心O ， 又 ‎ 点C的坐标为。 A是椭圆的右顶点， ，则椭圆方程为： 将点C代入方程，得，椭圆E的方程为 (II) 直线PC与直线QC关于直线对称， 设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为： ，即， 由消y，整理得： 是方程的一个根， 即 同理可得： ＝＝ ＝ 则直线PQ的斜率为定值。 题型五：共线向量问题。解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过韦达定理------同类坐标变换，将问题解决。‎ 例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：+=1 于P、Q两点，且,求实数的取值范围。‎ 解：设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得(x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即 方法一：方程组消元法 又P、Q是椭圆+=1上的点 消去x2， 可得 即y2= 又在椭圆上，－2≤y2≤2， ∴ －2≤≤2 解之得：‎ ‎ 则实数的取值范围是。‎ 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得 P、Q是曲线M上的两点 ＝ ‎ 即 ① 由韦达定理得：‎ ‎ 即 ② 由①得，代入②，整理得 ， 解之得 当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或 。 总之实数的取值范围是。‎ 例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）设点，则，由得：‎ ‎，化简得.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为： .‎ 设，，又，联立方程组，消去得：‎ ‎，，故 由，得：‎ ‎，，整理得：‎ ‎，，‎ 解法二：（Ⅰ）由得：，‎ ‎， ， ‎ 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.‎ ‎（Ⅱ）由已知，，得. 则：.……①‎ 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有： .…………②‎ 由①②得：，即.‎ 题型六：面积问题 例题9、（07陕西理）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意 ，所求椭圆方程为。‎ ‎（Ⅱ）设，。 （1）当轴时，。‎ ‎（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。‎ 由已知，得。‎ 把代入椭圆方程，整理得，‎ ‎，。‎ ‎。‎ 当且仅当，即时等号成立。当时，， 综上所述。‎ 当最大时，面积取最大值。‎ 练习1、（07浙江理）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求在，的条件下，的最大值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线AB的方程。‎ 解：（Ⅰ）解：设点A的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以 当且仅当时，取到最在值1，‎ ‎（Ⅱ）解：由得 ‎ ‎ ‎ 设到的距离为，则又因为 所以代入②式并整理，得 ‎ 解得，代入①式检验，。‎ 故直线的方程是 题型七：弦或弦长为定值问题 例题10、（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）‎ 解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB 的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.‎ 于是 ‎＝‎ ‎＝ ‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则 ‎＝.‎ ‎=＝‎ ‎ ‎ ‎=‎ 令，得为定值，故满足条件的直线l存在，‎ 其方程为，即抛物线的通径所在的直线.‎ 题型八：角度问题 例题11、（08陕西理）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．‎ ‎（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入 得，‎ 由韦达定理得，，‎ · ‎，‎ · 点的坐标为．‎ 设抛物线在点处的切线的方程为，‎ 将代入上式得， 直线与抛物线相切，，． 即．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，‎ ‎．‎ 由（Ⅰ）知：‎ ‎．‎ 轴，．‎ 又 ‎ ．‎ x A y ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ M N B O ‎，解得． 即存在，使．‎ 问题九：四点共线问题 例题12、（08安徽理）设椭圆过点，且着焦点为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 解 (1)由题意：‎ ‎ ，解得，所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ‎ ‎ ， ‎ 从而 ，（1） ，（2）‎ 又点A、B在椭圆C上，即 ‎ ‎（1）+（2）×2并结合（3），（4）得， 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零。‎ 且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2）‎ 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 ‎（3）‎ ‎ (4)‎ ‎(4)－(3) 　　　得 ‎ ‎ 即点总在定直线上 问题十：范围问题（本质是函数问题）‎ 例题13：（07四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点。‎ ‎（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）解法一：易知， 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 ‎（以下同解法一）‎ ‎（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，‎ 联立，消去，整理得：‎ ‎∴‎ 由得：或 又，∴‎ 又 ‎∵，即 ‎ ‎∴‎ 故由①、②得或 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）‎ 例题14：(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）‎ 过M（2，） ，N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即：, 则△,即：‎ ‎,要使,需使,即,所以又,所以,即或,‎ 直线为圆心在原点的圆的切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为 或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.‎ 因为,‎ 所以 ‎①当时 因为所以, 所以,‎ 所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ② 当时,.‎ ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,‎ 综上, |AB |的取值范围为即: ‎ ‎【作业】（后面有答案！）‎ ‎1. （江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. ‎ ‎ （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；‎ ‎ （2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹。‎ ‎2. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。‎ ‎ (1) 求双曲线C的方程；‎ O A B E F M ‎ (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。‎ ‎3 (重庆卷) 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。‎ ‎ (1) 求双曲线C2的方程；‎ ‎ (2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。‎ ‎4. （天津卷）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；‎ ‎（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.‎ ‎5.（辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 ‎ （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；‎ ‎ （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；‎ ‎ （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，‎ ‎ 使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2‎ ‎ 的正切值；若不存在，请说明理由.‎ 参考答案 ‎1.解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)‎ 则直线MF的斜率为－k，方程为 ‎∴由，消 解得 ‎∴(定值)‎ 所以直线EF的斜率为定值 ‎（2）直线ME的方程为 由得 同理可得 设重心G（x, y），则有 消去参数得 ‎2.解：（Ⅰ）设双曲线方程为 ‎ 由已知得故双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）将 ‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即 ① 设，则 而于是 ②‎ 由①、②得 ‎ 故k的取值范围为 ‎3.解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则 故C2的方程为 ‎（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 即 ①‎ ‎.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 ‎ ‎ 解此不等式得 ③‎ 由①、②、③得 故k的取值范围为4.解：（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为．‎ ‎（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．‎ 点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③‎ 又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．‎ 由已知得，，则．　　⑥‎ 设点的坐标为，由，则．‎ 将③式和⑥式代入上式得，即．‎ ‎∴线段的中点在轴上．‎ ‎（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．‎ 由③式知，代入得．‎ 将代入⑥式得，代入得．‎ 因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为 ‎，．‎ 于是，，‎ ‎．‎ 因为钝角且、、三点互不相同，故必有．‎ 求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即 ‎5.（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得 由，所以 ………………………3分 ‎（Ⅱ）设点T的坐标为 ‎ ‎ 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ 当|时，由，得.‎ 又，所以T为线段F2Q的中点.‎ 在△QF1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分 ‎③‎ ‎④‎ ‎ （Ⅲ）C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ ‎ 由④得 上式代入③得 ‎ 于是，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时，记，‎ ‎ 由知，所以…………14分