2020届二轮复习高考解题的数学思想教案(1)
专题二 数学思想方法
概述 数学思想方法既是思想也是方法,“思想”是统领全局的总纲,“方法”是可以具体操作的解题方法,“思想”与“方法”是密不可分的整体.在高考中主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等数学思想方法.
1.函数思想就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.方程思想就是将所求的量设成未知数,根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决.
2.数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,主要包括以下两个方面:
(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;
(2)“以数辅形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
3.转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种方法.其应用包括以下三个方面:
(1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题;
(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;
(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
4.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终集合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.
一、函数与方程思想
函数与方程思想在不等式中的应用
【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对于∀x∈R,均有f(x)>f'(x),则有( )
(A)e2 018f(-2 018)
e2 018f(0)
(B)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)>e2 018f(0)
(D)e2 018f(-2 018)>f(0),f(2 018)f'(x),并且ex>0,
所以g'(x)<0,
故函数g(x)=在R上单调递减,
所以g(-2 018)>g(0),g(2 018)f(0),f(0),
f(2 018)1.
答案:(1)B (2)(1,+∞)
函数与方程思想在数列中的应用
【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
解:(1)设{an}的公比为q.由题设可得
解得q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由(1)可得
Sn==-+(-1)n.
由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2-+(-1)n=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
【思维建模】 数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数,可用函数与方程思想处理数列问题.涉及特殊数列(等差、等比数列),已知Sn与an关系问题,应用方程思想列方程(组)求解;涉及最值问题或参数范围问题,应用函数思想来解决.
热点训练2:设公差不为零的等差数列{an}的前5项和为55,且a2,,a4-9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<.
(1)解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d(d≠0),
则⇒
或(舍去).
故数列{an}的通项公式为an=7+2(n-1),
即an=2n+5.
(2)证明:由an=2n+5,得bn===-.
所以Sn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-=1-<.
函数与方程思想在立体几何、解析几何中的应用
【例3】 (1)(2018·广州市调研)
如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
(A)π (B)6π (C)11π (D)12π
(2)(2018·武汉市武昌区调研)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1.边DC上的动点P(包含点D,C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||=||,则·的最小值为 .
解析:(1)
由题意,记三棱锥为SABC,将该三棱锥SABC放在长方体中,如图所示,取线段AC的中点O1,过O1作直线垂直于平面ABC交长方体的上底面于点P,因为△ABC是直角三角形,所以外接球的球心O必在直线PO1上.连接SO,SP,OC,设OO1=x,外接球的半径为R,易得SP=,所以
解得x=,R2=,
所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=11π.故选C.
(2)
以点A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
设P(x,1),Q(2,y),
由题意知0≤x≤2,-2≤y≤0.
因为||=||,
所以|x|=|y|,所以x=-y.
因为=(-x,-1),=(2-x,y-1),
所以·=-x(2-x)-(y-1)=x2-2x-y+1=x2-x+1=x-2+,
所以当x=时,·取得最小值,为.
答案:(1)C (2)
【思维建模】
立体几何、解析几何中的求值问题、解析几何中的位置关系问题常应用方程思想列方程(组)求解;求范围、最值等问题常选择恰当的变量建立目标函数,然后应用有关知识,求函数的最值或值域.
热点训练3:(1)(2018·武汉市武昌区调研)已知底面半径为1,高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
(A) (B)4π (C) (D)12π
(2)(2018·南昌市调研)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作圆(x-a)2+y2=的切线,若该切线恰好与C的一条渐近线垂直,则双曲线C的离心率为 .
解析:(1)
如图,△ABC为圆锥的轴截面,则O为其外接球的球心,设外接球的半径为R,连接OB,OA,并延长AO交BC于点D,则AD⊥BC,由题意知,AO=BO=R,BD=1,AD=,
则在Rt△BOD中,有R2=(-R)2+12,
解得R=,
所以外接球O的表面积S=4πR2=.故选C.
(2)不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=x,
由题意可知该切线方程为y=-(x-c),
即ax+by-ac=0.
圆(x-a)2+y2=的圆心为(a,0),半径为,
则圆心到切线的距离d===,
又e=,
则e2-4e+4=0,解得e=2,
所以双曲线C的离心率e=2.
答案:(1)C (2)2
二、数形结合思想
利用数形结合思想研究函数零点问题
【例4】 已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点,则实数a的取值范围为 .
解析:函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点等价于方程f(x)-ax+a=0,
即f(x)=a(x-1)有解等价于函数y=f(x)与y=a(x-1)的图象有交点.
设直线y=a(x-1)与曲线y=f(x)在y轴右侧相切于(x0,),切线方程为y-=(x-x0),
因为切线过点(1,0),所以(1-x0)=-,
所以x0=2,所以a=e2.
当直线y=a(x-1)过点(-2,1)时,a=-,
所以a的取值范围为a≤-或a≥e2.
答案:-∞,-∪[e2,+∞)
【思维建模】 解函数零点个数问题常应用数形结合思想转化为两个函数图象交点个数问题;解函数零点和问题,常应用数形结合思想利用图象的对称性求解.
热点训练4:(1)(2017·河北保定市模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围是( )
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D)(1,3)
(2)(2018·石家庄市质检)已知M是函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和,则M的值为( )
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12
解析:(1)函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,须y1=f(x)与y2=a|x|的图象有4个不同的交点.如图所示.
由图可知,当y2=-ax(x<0)与y1=-x2-5x-4(-40时,f(x)单调递增,f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为( )
(A){x|02} (B){x|x<0或x>2}
(C){x|x<0或x>3} (D){x|x<-1或x>1}
(2)当00可转化为-11,解得02.故选A.
(2)法一 构造函数f(x)=4x和g(x)=logax,当a>1时不满足条件,当0,所以a的取值范围为,1.故选B.
法二 因为04x>1,
所以00时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.
综上,不等式f(x+1)0得a≤-5.
答案:(1)D (2)(-∞,-5]
三、化归与转化思想
特殊与一般的转化
【例7】
如图,已知四棱锥PABCD的底面为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AD=2,PA=PD=AB=2,则四棱锥PABCD的外接球的表面积为( )
(A)2π (B)4π (C)12π (D)8π
解析:
易知AB⊥平面PAD,以平面PAD为底面,AB为侧棱,将四棱锥PABCD补充为如图所示的直三棱柱PADEBC.
直三棱柱PADEBC的外接球就是四棱锥PABCD的外接球,
因为PA=PD=2,AD=2,所以∠APD=90°,
所以△PAD外接圆的半径r=AD=,
又球心到平面PAD的距离h=AB=1,
所以外接球的半径为R==,
所以外接球的表面积为S球=4πR2=12π.故选C.
【思维建模】 化一般为特殊的应用
把一般问题特殊化,解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果,既准确又迅速.要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量.
热点训练6:(1)(2017·甘肃兰州一诊)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a5+a7=24,则S9等于( )
(A)36 (B)72 (C)144 (D)288
(2)过双曲线-=1上任意一点P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于R,Q两点,则·的值为( )
(A)a2 (B)b2 (C)2ab (D)a2+b2
解析:(1)法一 因为{an}是等差数列,
又a3+a5+a7=3a5=24,所以a5=8.
S9==9a5=72.故选B.
法二 不妨设等差数列{an}的公差为0,
则由a3+a5+a7=24,
得a1=an=8,则S9=9a1=9×8=72.故选B.
(2)当直线PQ与x轴重合时,||=||=a.故选A.
函数、方程、不等式之间的转化
【例8】 (2018·惠州市二次调研)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对,则实数k的取值范围是( )
(A)(-∞,0) (B)0,
(C)(0,+∞) (D)(0,1)
解析:
依题意,函数f(x)的图象上存在关于原点对称的点,如图,可作出函数y=-ln(-x)(x<0)的图象关于原点对称的函数y=ln x(x>0)的图象,使得它与直线y=kx-1(x>0)的交点个数为2即可.当直线y=kx-1与y=ln x的图象相切时,设切点为(m,ln m),又y=ln x的导数为y'=,则解得可得切线的斜率为1,结合图象可知k∈(0,1)时,函数y=ln x的图象与直线y=kx-1有2个交点,即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对.故选D.
【思维建模】 函数、方程与不等式相互转化的应用
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.
热点训练7:(1)(2018·山东省、湖北省部分重点中学质检)已知函数f(x)=ln +x2,则关于m的不等式f(m-1)-ln 3-≥0的解集为( )
(A)-∞,∪,+∞
(B)0,∪,2
(C),+∞
(D)-1,
(2)(2018·福州市质检)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)+f(-x)=0,fx+为偶函数,当00时,-log2[3-(2-a)]=1,
解得a=-,舍去.
所以f(a)=-2.故选A.
(2)由题意得q2==9,q=±3,
①当q=3时,a2+a5+a8=3(a1+a4+a7)=6,
S9=2+6+18=26;
②当q=-3时,a2+a5+a8=-3(a1+a4+a7)=-6,
S9=2-6+18=14,
所以S9=14或26.
答案:(1)A (2)14或26
【思维建模】 数学概念运算公式中常见的分类
(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义,直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论;
(2)由除法运算中除数不为零,不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论;
(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论.
热点训练9:(1)(2018·湖南省湘东五校联考)已知函数f(x)=g(x)=x2-2x,设a为实数,若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,则实数a的取值范围为( )
(A)[-1,+∞)
(B)(-∞,-1]∪[3,+∞)
(C)[-1,3]
(D)(-∞,3]
(2)在等比数列{an}中,已知a3=4,S3=12,则a1= .
解析:(1)当-7≤x≤0时,f(x)=|x+1|∈[0,6],当e-2≤x≤e时,f(x)=ln x单调递增,得f(x)∈[-2,1],
综上,f(x)∈[-2,6].
若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,
则有-2≤2g(a)≤6,
即-1≤a2-2a≤3⇒-1≤a≤3.故选C.
(2)设等比数列{an}的公比为q,
①当q=1时,an=a1,此时S3=3a1=3a3=12,
符合题意.
②当q≠1时,S3=a1+a2+a3
=++a3
=++4
=12,
即2q2-q-1=0,解得q=-或q=1(舍去),
所以a1===16.
所以a1=16或4.
答案:(1)C (2)16或4
由图形位置或形状引起的分类讨论
【例11】 (2017·全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
(A)(0,1]∪[9,+∞) (B)(0,]∪[9,+∞)
(C)(0,1]∪[4,+∞) (D)(0,]∪[4,+∞)
解析:当点M为短轴的端点时,∠AMB最大;03时,A(0,-),B(0,),M(-,0).
由题意可知∠AMO≥60°,
所以|OA|≥3,|-|≥3,≥3,m≥9.故选A.
【思维建模】 图形位置或形状的变化中常见的分类
圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论;相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.
热点训练10:已知双曲线的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率为 .
解析:当双曲线的焦点在x轴上时,=,此时离心率为e==,当双曲线的焦点在y轴上时,=,此时离心率为e==.
答案:或
由变量或参数引起的分类讨论
【例12】 (2018·南昌市摸底)设函数f(x)=2ln x-mx2+1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当f(x)有极值时,若存在x0,使得f(x0)>m-1成立,求实数m的取值范围.
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=-2mx=,
当m≤0时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当m>0时,令f'(x)>0,
则0,
所以f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减.
(2)由(1)知,当f(x)有极值时,m>0,且f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减.
所以f(x)max=f=2ln -m·+1=-ln m,
若存在x0,使得f(x0)>m-1成立,
则f(x)max>m-1.
即-ln m>m-1,ln m+m-1<0成立,
令g(x)=x+ln x-1(x>0),
因为g'(x)=1+>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
且g(1)=0,
所以0
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