江苏省金陵中学丹阳高级中学无锡一中2020届高三下学期期初联考数学试题
2020届高三年级第二学期期初联考试卷
数学试题
Ⅰ试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝ ▲ ．
2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i（i为虚数单位，a∈R），若z1z2为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．
3．函数f(x)＝ln(x－1)的定义域为 ▲ ．
4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，x，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x的值为 ▲ ．
5．已知抛物线y2＝4x上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为 ▲ ．
6．已知命题p：－1
0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ▲ ．
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a1，2a2，a3成等差数列，a1＝1，则S7＝ ▲ ．
8．函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数，当0c－1的解集为(m－4，m)，则实数c的值为 ▲ ．
12．在锐角△ABC中，已知sinC＝4cosAcosB，则tanAtanB的最大值为 ▲ ．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC
的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为 ▲ ．
14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．
（1）求证：EF∥平面ABD；
A
B
C
F
E
D
（第15题）
（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．
16．（本小题满分14分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
（1）若c＝2a，求的值；
（2）若C－B＝，求sinA的值．
17．（本小题满分14分）
如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad．
（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．
A
B
O
C
D
（第17题）
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点，其离心率等于．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足MB⊥AB，且MA交椭圆E于点P．
①求证：为定值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝ax2＋lnx，g(x)＝－bx，设h(x)＝f(x)－g(x)．
（1）若f(x)在x＝处取得极值，且f ′(1)＝g(－1)－2，求函数h(x)的单调区间；
（2）若a＝0时，函数h(x)有两个不同的零点x1，x2．
①求b的取值范围；
②求证：x1·x2>e2．
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}前n项和为Sn，数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S5＝2a4＋a5，a9＝a3＋a4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若amam＋1＝am＋2，求正整数m的值；
（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．
2020届高三年级第二学期期初联考试卷
数学试题
命题单位：丹阳高级中学
审核单位：金陵中学 无锡一中
Ⅱ试题
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A= 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．
B．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．
C．选修4—5：不等式选讲
已知x，yR，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
（1）求恰有2人申请A大学的概率；
（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．
23．（本小题满分10分）
已知…，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．
期初联考试卷 数学试题参考答案及评分标准
Ⅰ试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{1，2，3，4} 2．－1 3．(1，＋∞) 4．8 5．(4，±4)
6．[5，7] 7．127 8．－2 9．3：2 10．
11．－3 12．4 13．9 14．[－1，1]
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
解：（1）因为BD∥平面AEF，BDÌ平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，
所以BD∥EF．………………3分
因为BDÌ平面ABD，EFË平面ABD，所以EF∥平面ABD．………………6分
（2）因为AE⊥平面BCD，CDÌ平面BCD，
所以AE⊥CD．………………8分
因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，………………10分
又AE∩EF＝E，AEÌ平面AEF，EFÌ平面AEF，所以CD⊥平面AEF．………………12分
又CDÌ平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．………………14分
16．（本小题满分14分）
解：（1）解法1：
在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………2分
因为c＝2a，所以＝，即＝，所以＝．………………4分
又由正弦定理得＝，所以＝．………………6分
解法2：
因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝＝．………………2分
因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，
所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分
又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，
所以＝．………………6分
（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．………………8分
又0＜B＜π，所以sinB＝＝，
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．………………10分
因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，
所以sinA＝sin(－2B)＝sincos2B－cossin2B＝．………………14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，
所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．………………2分
在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，
所以S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．………………4分
从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．………………6分
（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．
S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)．………………8分
由 S′(x)＝0，解得x＝．
从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时，S′(x)＜0 ．
因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减．………………11分
所以 当x＝，S(x)取得最大值．
答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．………………14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）由题得且，解得
所以椭圆的方程为．………………4分
（2）设，，
①直线的方程为，代入椭圆得，
由得，，………………8分
所以．……………10分
②直线过定点，理由如下：
由题得，………………12分
由得，
则的方程为，即，………………14分
所以直线过定点．………………16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）因为，所以，
由可得．
又因为在处取得极值，所以，
所以．………………2分
所以，其定义域为．
，
令得，当时，，当时，，
所以函数h(x)在区间上单调增，在区间上单调减．………………4分
（2）当时，，其定义域为．
①由得，记，则，
所以在单调减，在单调增，
所以当时，取得最小值．………………6分
又，所以时，，而时，，
所以b的取值范围是．………………10分
注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过3分．
②由题意得，
所以，
所以，………………12分
不妨设x10，若p是q
的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ▲ ．
【点评】逻辑用语，中等题。此题为改编题。
【答案】6．[5，7]
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a1，2a2，a3成等差数列，a1＝1，则S7＝ ▲ ．
【点评】等比数列公式的考查，中等题。
【答案】7．127
8．函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数，当0c－1的解集为(m－4，m)，则实数c的值为 ▲ ．
【点评】函数值域与不等式的简单综合，中等题。此题为改编题。
【答案】11．－3
12．在锐角△ABC中，已知sinC＝4cosAcosB，则tanAtanB的最大值为 ▲ ．
【点评】以正切为切入点的最值问题，中等题。此题有较多变式，后续教学应重点关注。
【答案】12．4
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为 ▲ ．
【点评】三角形中的最值问题，中等题。
【答案】13．9
14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ．
【点评】函数与导数综合，以切线为切入点，难题。此题源自南京二模。
【答案】14．[－1，1]
【填空题总评】本次考试填空题难度不大，关注基本点的考查，考生在本部分如低于60分，需要加强相关基本题的训练。此外，本次填空有多题为各市前几年的二模真题或改编题，难度略低，但考点覆盖较全面，针对近两年难度的下降，填空题难度的下降也会成为趋势。
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．
（1）求证：EF∥平面ABD；
（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．
【点评】本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，简单题。在阅卷时，应严格按照评分标准进行阅卷。对于考生在此部分答题的不规范，应严格判分。
A
B
C
F
E
D
（第15题）
【答案】
解：（1）因为BD∥平面AEF，BDÌ平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，
所以BD∥EF．………………3分
因为BDÌ平面ABD，EFË平面ABD，所以EF∥平面ABD．………………6分
（2）因为AE⊥平面BCD，CDÌ平面BCD，
所以AE⊥CD．………………8分
因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，………………10分
又AE∩EF＝E，AEÌ平面AEF，EFÌ平面AEF，所以CD⊥平面AEF．………………12分
又CDÌ平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．………………14分
16．（本小题满分14分）
在△ABC中，内角A，B， C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
（1）若c＝2a，求的值；
（2）若C－B＝，求sinA的值．
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，三角函数的相关运算，中等题。注意考生的答题规范。
【答案】
解：（1）解法1：
在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………2分
因为c＝2a，所以＝，即＝，所以＝．………………4分
又由正弦定理得＝，所以＝．………………6分
解法2：
因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝＝．………………2分
因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，
所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分
又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，
所以＝．………………6分
（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．………………8分
又0＜B＜π，所以sinB＝＝，
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．………………10分
因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，
所以sinA＝sin(－2B)＝sincos2B－cossin2B＝．………………14分
17．（本小题满分14分）
如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad．
（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．
【点评】
应用题，以三角函数为基底进行考查，中等题。此题源自南京市零模，难度不大。在高考中，预测应用题也会以三角函数为基底进行考查，关注导数或不等式。
【答案】
解：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，
所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．………………2分
在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，
所以S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．………………4分
从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．………………6分
A
B
O
C
D
（第17题）
（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．
S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)．………………8分
由 S′(x)＝0，解得x＝．
从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时，S′(x)＜0 ．
因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减．………………11分
所以 当x＝，S(x)取得最大值．
答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．………………14分
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点，其离心率等于．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足MB⊥AB，且MA交椭圆E于点P．
①求证：为定值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．
【点评】本题考查解析几何，关注向量的运算，在二模中属于热度题，中等题。定点定值题，一定要算到底，注意方法优化，本题应注意一题多解。
【答案】
解：（1）由题得且，解得
所以椭圆的方程为．………………4分
（2）设，，
①直线的方程为，代入椭圆得，
由得，，………………8分
所以．……………10分
②直线过定点，理由如下：
由题得，………………12分
由得，
则的方程为，即，………………14分
所以直线过定点．………………16分
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝ax2＋lnx，g(x)＝－bx，设h(x)＝f(x)－g(x)．
（1）若f(x)在x＝处取得极值，且f ′(1)＝g(－1)－2，求函数h(x)的单调区间；
（2）若a＝0时，函数h(x)有两个不同的零点x1，x2．
①求b的取值范围；
②求证：x1·x2>e2．
【点评】本题考查函数与导数，中等题。零点问题注意零点存在定理的使用，如不使用得分会较低。第三问考查点较为基础，在教学过程中教师应注意这类题的证法。在高考中，不会再出现这样的陈题、旧题，但这样的方法与思想应该牢牢把握。
【答案】
解：（1）因为，所以，由可得．
又因为在处取得极值，所以，
所以．………………2分
所以，其定义域为．，
令得，当时，，当时，，
所以函数h(x)在区间上单调增，在区间上单调减．………………4分
（2）当时，，其定义域为．
①由得，记，则，
所以在单调减，在单调增，
所以当时，取得最小值．………………6分
又，所以时，，而时，，
所以b的取值范围是．………………10分
注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过3分．
②由题意得，所以，
所以，………………12分
不妨设x1
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