天津市和平区2020届高三第三次质量调查（三模）数学试题

天津市和平区2020届高三第三次质量调查（三模）数学试题

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。‎ 考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 选择题（共45分）‎ 注意事项:‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。‎ ‎2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干‎ ‎ 学校 班级 姓名 考号 ‎ 和平区2019-2020学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学学科试卷 ‎⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯密⋯⋯⋯⋯⋯⋯封⋯⋯⋯⋯⋯⋯线 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯‎ 净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3. 本卷共9小题，每小题5分，共45分。‎ 如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么 ‎ ‎ . ‎ 锥体的体积公式. 球体 ‎ 其中表示锥体的底面积, 其中R为球的半径.‎ ‎ 表示锥体的高.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ 1. 集合U={0,‎1，2，3，4，‎5}‎，A={1,2}‎，B={x∈N|x‎2‎-3x≤0}‎，则‎∁‎U‎(A∪B)=( )‎ A. ‎{0,1,‎‎2，‎3}‎ B. ‎{0,4,5}‎ ‎ C. ‎{1,2,4}‎ D. ‎‎{4,5}‎ 2. 已知p：x≥k，q：‎3‎x+1‎‎<1‎，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是‎(‎ ‎‎)‎ A. ‎[2,+∞)‎ B. ‎(2,+∞)‎ C. ‎[1,+∞)‎ D. ‎‎(-∞,-1]‎ 3. 函数f(x)=‎‎2‎x-1+lnx的图像大致为‎(‎      ‎‎)‎ A. B. C. D. ‎ 1. 三棱锥的棱长均为‎4‎‎6‎，顶点在同一球面上，则该球的表面积为‎(    )‎ A. ‎36π B. ‎72π C. ‎144π D. ‎‎288π 2. 设正实数a，b，c分别满足a·‎2‎a=1‎，blog‎2‎b=1‎，clog‎3‎c=1‎，则a，b，c的大小关系为  ‎(‎ ‎‎)‎ A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. ‎a>c>b 3. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,>0)‎的右焦点为F，虚轴的上端点为B，P为左支上的一个动点，若‎△PBF周长的最小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为‎(    )‎ A. ‎10‎‎2‎ B. ‎10‎‎5‎ C. ‎10‎ D. ‎‎2‎ 4. 若函数f(x)=cos(2x+φ)‎的图象关于点‎4π‎3‎‎,0‎成中心对称，且‎-π‎2‎<φ<‎π‎2‎，‎ 则函数y=fx+‎π‎3‎为‎(‎     ‎‎)‎ A. 奇函数且在‎0,‎π‎4‎上单调递增 B. 偶函数且在‎0,‎π‎2‎上单调递增 C. 偶函数且在‎0,‎π‎2‎上单调递减 D. 奇函数且在‎0,‎π‎4‎上单调递减 1. 已知直线l：x-y=1‎与圆：x‎2‎‎+y‎2‎-2x+2y-1=0‎相交于A，C两点，点B，D分别在圆上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为‎(    )‎ A. ‎30‎ B. ‎2‎‎30‎ C. ‎51‎ D. ‎‎2‎‎51‎ 2. 已知函数f(x)=‎log‎1‎‎2‎x,x>0‎a|x+‎1‎‎2‎|-‎15‎‎4‎,x≤0‎，函数g(x)=‎x‎3‎，若方程g(x)=xf(x)‎有4个不同实根，则实数a的取值范围为‎(    )‎ A. ‎(3,‎15‎‎2‎]‎ B. ‎(5,‎15‎‎2‎]‎ ‎ C. ‎(-3,5)‎ D. ‎‎(3,5)‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共105分）‎ 注意事项:‎ ‎1. 用黑色水笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效。‎ ‎2. 本卷共11小题，共105分。‎ 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. ‎ 3. 若复数‎2+i=(1+i)(a+bi)(a,b∈R),‎其中i是虚数单位，则b=‎                     ．‎ 4. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据‎(‎单位：件‎).‎若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x+y的值为_______．‎ 5. 若‎(‎3‎x-‎‎3‎x‎)‎n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是______．‎ 1. 已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为 ，则 的概率是__________；随机变量 期望是__________．‎ 2. 已知正数x，y满足x‎2‎y+4xy‎2‎+6xy=x+4y，则当 ______时， xyx+4y的最大值为________．‎ 3. 如图，在四边形ABCD中，已知AB=2‎，CD与以AB为直径的半圆O相切于点D，且BC//AD，若AC‎⋅BD=-1‎，则BD=__________;此时AD‎⋅OD=‎__________．‎ 三、解答题：本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 在‎△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎2a-c=2bcos C．‎ ‎（Ⅰ）求sin‎(A+C‎2‎+B)‎的值；‎ ‎（Ⅱ）若b=‎‎3‎，求c-a的取值范围．‎ ‎ ‎ 学校 班级 姓名 考号 ‎ 和平区2019-2020学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学学科试卷 ‎⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯密⋯⋯⋯⋯⋯⋯封⋯⋯⋯⋯⋯⋯线 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯‎ 17． ‎(本小题满分14分)‎ 如图甲的平面五边形PABCD中，PD=PA，AC=CD=BD=‎‎5‎，AB=1‎，AD=2‎，PD⊥PA，现将图甲中的△PAD沿AD边折起，使平面PAD⊥‎平面ABCD得图乙的四棱锥P-ABCD.‎在图乙中 （Ⅰ）求证：PD⊥‎平面PAB； ‎（Ⅱ）‎求二面角A-PB-C的大小； ‎（Ⅲ）‎在棱PA上是否存在点M使得BM与平面PCB所成的角的正弦值为‎1‎‎3‎？并说明理由．‎ ‎18．(本小题满分15分)‎ 已知数列‎{an}‎满足：a‎1‎‎=1‎，a‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎，且‎[3+(-1‎)‎n]an+2‎-2an+2[(-1‎)‎n-1]=0‎，n∈‎N‎*‎． （Ⅰ）求a‎3‎，a‎4‎，a‎5‎，a‎6‎的值及数列‎{an}‎的通项公式； （Ⅱ）设bn‎=a‎2n-1‎⋅‎a‎2n，求数列‎{bn}‎的前n项和Sn．‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率e=‎‎2‎‎2‎，椭圆上的点到左焦点F‎1‎的距离的最大值为‎2‎‎+1‎． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）已知直线l：y=kx+t(k≠0)‎与椭圆C交于M、N两点，在y轴上是否存在点P(0,m)‎，使得‎|MP|=|NP|‎且‎|MN|=2.‎若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)=lnx-ax+1‎，g(x)=x(ex-x)‎。‎ ‎（Ⅰ）若直线y=2x与函数f(x)‎的图象相切，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）若存在x‎1‎‎∈(0,+∞)‎，x‎2‎‎∈(-∞,+∞)‎，使f(x‎1‎)=g(x‎2‎)=0‎，且x‎ ‎‎1‎‎-x‎ ‎‎2‎>1‎，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a= -1‎时，求证：f(x)≤g(x)+‎x‎2‎。 ‎ 和平区2019-2020学年度第二学期高三年级第三次质量调查 数学学科参考答案 一、选择题：（45分）.‎ ‎1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.A 9.B 二、填空题：（30分）‎ ‎10. ‎-‎‎1‎‎2‎ 11. 8 12.‎-90‎ ‎ ‎13.‎3‎‎5‎；1 14.4；‎1‎‎8‎ 15.1；‎3‎‎2‎ ‎ 三、解答题：‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 解：（Ⅰ）因为‎2a-c=2bcosC，所以‎2sinA-sinC=2sinBcosC，‎ 所以‎2sin(B+C)-sinC=2sinBcosC，整理得sinC=2cosBsinC．…………3分 因为sinC≠0‎，所以cosB=‎‎1‎‎2‎，‎ 所以B=‎π‎3‎，从而A+C‎2‎‎+B=‎‎2π‎3‎，…………5分 故sin(A+C‎2‎+B)=sin‎2π‎3‎=‎‎3‎‎2‎．……………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinB=‎‎3‎‎2‎，……………………7分 所以asinA‎=csinC=bsinB=2‎，从而a=2sinA，c=2sinC．………………9分 所以c-a=2sinC-2sinA=2sin(‎2π‎3‎-A)-2sinA ‎=‎3‎cosA-sinA=2sin(π‎3‎-A)‎‎．………………11分 因为A+C=‎‎2π‎3‎，所以‎00)‎，则e=ca=‎‎2‎‎2‎， 椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为a+c=‎2‎+1‎，…………………2分 所以，a=‎‎2‎c=1‎，则b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=1‎， 因此，椭圆C的标准方程为x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎；…………………5分 （Ⅱ）设点M(x‎1‎,y‎1‎)‎、N(x‎2‎,y‎2‎)‎， 将直线l的方程与椭圆C的方程联立y=kx+tx‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎‎,‎ 消去y并整理得‎(2k‎2‎+1)x‎2‎+4ktx+2t‎2‎-2=0‎． Δ=16k‎2‎t‎2‎-4(2k‎2‎+1)(2t‎2‎-2)=8(2k‎2‎+1-t‎2‎)>0‎，得t‎2‎‎<2k‎2‎+1‎， 由韦达定理得x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4kt‎2k‎2‎+1‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎2t‎2‎-2‎‎2k‎2‎+1‎‎,‎ …………………8分 设线段MN的中点为Q， 则x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=-‎‎2kt‎2k‎2‎+1‎，y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎‎=k⋅x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎+t=‎t‎2k‎2‎+1‎， 所以，点Q的坐标为‎(-‎2kt‎2k‎2‎+1‎,t‎2k‎2‎+1‎)‎．…………………10分 由于‎|MP|=|NP|‎，则PQ⊥MN， 直线PQ的斜率为kPQ‎=m-‎t‎2k‎2‎+1‎‎2kt‎2k‎2‎+1‎=-‎‎1‎k，得m=-t‎2k‎2‎+1‎.①‎…………………12分 ‎| 不 MN|=‎1+‎k‎2‎⋅|x‎1‎-x‎2‎| ‎‎=‎1+‎k‎2‎⋅‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎ ‎‎=‎1+‎k‎2‎⋅‎(-‎4kt‎2k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎-4×‎‎2t‎2‎-2‎‎2k‎2‎+1‎=‎2‎2‎⋅‎‎(1+k‎2‎)(2k‎2‎+1-t‎2‎)‎‎2k‎2‎+1‎=2‎， 得t‎2‎‎=‎‎2k‎2‎+1‎‎2(k‎2‎+1)‎，由‎①‎式得m‎2‎‎=t‎2‎‎(2k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎=‎1‎‎(2k‎2‎+2)(2k‎2‎+1)‎∈(0,‎1‎‎2‎)‎．…………………15分 因此，实数m的取值范围为‎(-‎2‎‎2‎,0)∪(0,‎2‎‎2‎)‎．…………………16分 ‎20.(本小题满分16分)‎ 解：（Ⅰ）设切点为‎(x‎0‎,f(x‎0‎))‎，由f'(x)=‎1‎x-a． ‎∴f'(x‎0‎)=‎1‎x‎0‎-a． ‎∴‎切线方程为：y-(lnx‎0‎-ax‎0‎+1)=(‎1‎x‎0‎-a)(x-x‎0‎)‎，‎ 即y=(‎1‎x‎0‎-a)x+lnx‎0‎．…………………2分 ‎∵‎直线y=2x与函数f(x)‎的图象相切，‎∴‎1‎x‎0‎-a=2‎，lnx‎0‎=0‎． 解得x‎0‎‎=1‎，a=-1‎． …………………4分 （Ⅱ）设u(x)=ex-x，x∈R.u'(x)=ex-1‎，可得0是函数u(x)‎的极小值点，可得u(x)≥u(0)=1>0‎． 由g(x‎2‎)=x‎2‎(ex‎2‎-x‎2‎)=0‎，解得x‎2‎‎=0‎．由x‎1‎‎-x‎2‎>1‎，‎ 即x‎1‎‎>1‎．…………………5分 由题意可得：函数f(x)=lnx-ax+1‎在x∈(1,+∞)‎上有零点． 由f'(x)=‎1‎x-a=‎‎1-axx． 当a≤0‎时，f'(x)>0‎，函数f(x)‎在x∈(1,+∞)‎上单调递增，f(x)>f(1)=1-a>0‎，‎ 此时函数f(x)‎无零点，舍去．‎ 当a>0‎时，f'(x)=‎‎-ax-‎‎1‎ax，…………………7分 当a≥1‎时，‎0<‎1‎a≤1‎，f'(x)<0‎，函数f(x)‎在x∈(1,+∞)‎上单调递减，f(x)1‎，即‎00‎， ‎∴‎函数h(a)‎在x∈(0,1)‎上单调递增， ‎∴h(a)0‎，则G'(x)=(x+1)ex>0‎． ‎∴‎函数G(x)‎在x∈(0,+∞)‎上单调递增． ‎∵G(0)=-1‎，G(1)=e-1>0‎． ‎∴‎函数G(x)‎在区间‎(0,1)‎上存在一个零点，即函数G(x)‎在区间‎(0,+∞)‎上存在唯一零点x‎0‎‎∈(0,1)‎． ‎∴‎当x∈(0,x‎0‎)‎时，G(x)<0‎，即F'(x)<0‎，此时函数F(x)‎单调递减； 当x∈(x‎0‎,+∞)‎时，G(x)>0‎，即F'(x)>0‎，此时函数F(x)‎单调递增．…………14分 ‎∴F(x‎)‎min=F(x‎0‎)=x‎0‎ex‎0‎-lnx‎0‎-x‎0‎-1‎，‎ 由G(x‎0‎)=0‎可得：x‎0‎ex‎0‎‎ =1‎． 两边取对数可得：lnx‎0‎+x‎0‎=0‎． 故F‎(x‎0‎)=1-(lnx‎0‎+x‎0‎)-1=0‎， ‎∴x‎2‎+g(x)-f(x)≥0‎，即f(x)≤g(x)+‎x‎2‎．…………………16分 ‎